摘要：學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展必須通過自身的知識建構來完成。數(shù)學教學的主要任務是為學生搭建知識建構的腳手架，營造知識建構的環(huán)境，讓學生自覺地去構建知識，從而發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。擷取一位特級教師的《數(shù)列》和《點到直線的距離公式》兩課教學片段，考察如何在知識建構中促進學生邏輯推理、數(shù)學運算能力的發(fā)展。

關鍵詞：核心素養(yǎng)知識建構邏輯推理數(shù)學運算

數(shù)學核心素養(yǎng)是指具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關鍵能力。普通高中數(shù)學課程標準修訂稿指出，高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。

數(shù)學核心素養(yǎng)的提出給數(shù)學課堂教學帶來了新挑戰(zhàn)，即如何發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。從課程標準修訂稿給出的框架可以看出，數(shù)學核心素養(yǎng)的本質是能力（思想方法）。事實上，能力（思想方法）是無法直接獲得（傳授）的，其發(fā)展（培養(yǎng)）與知識形成（以及問題解決）的過程密切相關。依照建構主義的觀點，學生知識的形成只能通過基于自身認知結構的同化和順應來實現(xiàn)。喻平教授認為學科核心素養(yǎng)的發(fā)展要經(jīng)歷知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新三個階段，而這三個階段都與知識的建構密切相關。從這個意義上說，學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展必須通過自身的知識建構來完成。基于這種認識，數(shù)學教學的主要任務是為學生搭建知識建構的腳手架，營造知識建構的環(huán)境，讓學生自覺地去構建知識，從而發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。具體來說，可以設置有利于學生探究的問題情境和課堂氛圍，讓學生自由探索、嘗試自己的觀點思路，充分解釋、表達自己的思維過程。

下面，擷取南京師范大學附屬中學

特級教師劉明老師的一些課堂教學片段，考察如何在知識建構中促進學生邏輯推理、數(shù)學運算能力的發(fā)展。

一、在知識建構中發(fā)展邏輯推理能力

邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。高中數(shù)學教學，要使學生能夠提出和論證數(shù)學命題，掌握邏輯推理的基本形式，理解事物之間的關聯(lián)，把握知識結構，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質和理性精神，增加交流能力。為此，教師需要構建前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在知識建構的過程中學會思考面對一個新的研究對象，從哪些角度發(fā)現(xiàn)和提出值得研究的問題，按照怎樣的線索、用什么方法研究問題等數(shù)學認知問題，經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展邏輯推理能力。比如，劉明老師設計、實施的《數(shù)列》教學過程：

【片段1】 突出認知，建構概念

（教師出示問題1：根據(jù)前面的學習，結合學過的方法，你覺得應如何研究“數(shù)列”這一新的概念？）

生首先要研究它的定義，從它的定義出發(fā)，研究它的性質和其他的一些東西，有時還會涉及表示方法和運算。

生首先是定義，然后是表示方法；再與已有的概念進行比較，研究概念之間的聯(lián)系，可以用已有的概念研究新概念。

師 大家總結得非常好！經(jīng)過前面的學習，我們知道，研究一個

新的數(shù)學概念，往往需要經(jīng)歷這樣的一個研究過程（投影圖1

并講解）。那么，我們想一想，在建立一個新的概念時，我們

通常的路徑是什么？現(xiàn)在能不能形成概念？

生（齊）不能。

師不能，應該怎么辦？大家說說看。

生給出概念和它的一些注意情況。

師給出一個定義，然后看看它是什么，是這樣嗎？有同學有不同

看法嗎？

生我覺得應該由特殊情況歸納到一般情況。

師非常好！在建立概念時，往往是由特殊對象歸納到一般概念的；而有了一般概念以后，再通過一些特殊的對象來加深對它的理解。我們學習概念就是在重復這件事情，處理這種關系。那么是怎樣的一些特殊對象呢？請大家看書第31頁上這樣的幾個具體的例子。

……

劉老師這節(jié)概念課的引入方式很特別：循序漸進地引導學生建構學習概念的方法體系。其意圖是，通過問題1，引導學生將前面已經(jīng)初步形成的研究概念的基本策略類比遷移到建立數(shù)列概念的過程中，從而進一步發(fā)展學生的元認知。從以上教學過程中可以看到，問題1引發(fā)了學生的思考。這不是簡單解決一個問題的思考，而是整合解決一類問題的思考：先歸納出一般情況，再演繹出特殊情況，從而形成一定的知識體系。這樣的教學體現(xiàn)了建構主義的觀點：讓學生通過高級思維活動來學習，即針對各種信息進行加工、轉換，基于新舊經(jīng)驗進行綜合、概括，從而建構知識。正是這種思維過程，使得學生的邏輯推理

能力在知識建構中得到發(fā)展。

【片段2】 注重關聯(lián)，理解概念

（教師出示問題2：數(shù)列{an}中的各項ak與各項序號k（k=1，2，3，…，n，…）之間存在著如圖2所示的對應關系，從該對應關系中，你能發(fā)現(xiàn)什么？）

師請大家思考一下，之后可以相互討論。

生數(shù)列是函數(shù)。

師數(shù)列是函數(shù)？為什么呢？

生因為對數(shù)列中的每一個項數(shù)1，2，3，…，n，…，都有唯一的項a1，a2，a3，…，an，…與它對應，所以數(shù)列是一個函數(shù)。

師其他同學認同這個結論嗎？

（學生大多點頭認同。）

師依據(jù)函數(shù)的定義，我們可以發(fā)現(xiàn)：數(shù)列確實是一個函數(shù)。因此，當我們學習新知識時，要關注它與原有的知識之間有無內(nèi)在的聯(lián)系，以利于我們從整體上來認識和把握數(shù)學，形成一個系統(tǒng)化的知識體系。

師我們知道了數(shù)列是一個函數(shù)，那么，我們應當繼續(xù)研究數(shù)列的哪些問題呢？

生我們應當研究它的定義域、表示法和相應的性質。

師你是怎樣想到研究這些內(nèi)容的呢？

生模仿函數(shù)的研究內(nèi)容。

師回答得很好！既然數(shù)列是一個函數(shù)，我們就可以用類似于研究函數(shù)的方法來研究數(shù)列。那么，數(shù)列的定義域是什么呢？

生數(shù)列的定義域是正整數(shù)集N*或它的有限子集{1，2，3，…，k}。

師很自然地，數(shù)列的值域是什么呢？

生數(shù)列的值域難以確定，因為有些數(shù)列是由一些隨機的數(shù)構成的，比如我們用計算機產(chǎn)生一組隨機數(shù)，它們可以構成一個數(shù)列；有些數(shù)列可能是由一組有一定規(guī)律的數(shù)構成的，如細胞分裂的個數(shù)。

師

數(shù)列與我們前面研究過的基本初等函數(shù)（如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）相比較是有區(qū)別的：前面所研究的基本初等函數(shù)通常是連續(xù)型的函數(shù)；而數(shù)列則是一種離散型的函數(shù)，它的值域規(guī)律性有時較弱。（稍停）數(shù)列的表示法有哪些呢？

生由于函數(shù)的表示法有列表法、解析法、圖像法，而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，那么它也應當有這三種表示法。

師很好！上面的問題2就是一個列表法表示數(shù)列的例子。類似地，我們還可以用以n為自變量的函數(shù)解析式f（n）來表示數(shù)列{an}，即an=f（n），我們把它叫作數(shù)列{an}的通項公式。下面請同學們完成例1。

……

這里，劉老師通過問題2，引導學生發(fā)現(xiàn)數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，即可類比函數(shù)的研究內(nèi)容和研究方法，進一步研究數(shù)列。這樣的設計可以促使學生從整體上認識數(shù)學，把所學的數(shù)學知識與方法串成一個完整的系統(tǒng)。

綜合來看，上面兩個教學片段有兩個特點：其一，教學設計環(huán)環(huán)相扣、層層遞進，邏輯關系清晰、明確，這就為發(fā)展學生的邏輯推理能力創(chuàng)設了外部環(huán)境；其二，由學生通過聯(lián)想、類比、歸納形成概念，這一過程不僅使學生建構了概念，而且突出了邏輯思維的訓練。

二、在知識建構中發(fā)展數(shù)學運算能力

數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。

主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果。高中數(shù)學教學，要使學生能夠進一步

發(fā)展數(shù)學運算能力，有效借助運算方法解決實際問題，通過運算促進數(shù)學思維發(fā)展，形成程序化思考問題的品質，養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神?？梢姡瑪?shù)學運算實質上是在理解數(shù)學知識的基礎上，運用概念、判斷、推理等思維形式思考數(shù)學問題的過程；運算能力并非一種單一的數(shù)學能力，而是運算技能與邏輯思維能力乃至空間想象能力的一種獨特的結合。其實，按照算法規(guī)則按部就班地進行運算只是數(shù)學運算的一個簡單、基礎的方面，構造、設計或選擇算法才是數(shù)學運算的更為困難、關鍵的方面。因此，培養(yǎng)數(shù)學運算能力，不僅要教會學生按照常規(guī)的程序實施運算的“技能、技巧”，更加要引導學生經(jīng)歷構造、設計或選擇算法的探索過程，體會其中的創(chuàng)造性思維。為此，教師需要引導學生綜合運用相關的知識和方法，深入挖掘蘊藏在抽象符號、圖形以及不同數(shù)學對象之間的關系或模式，探求如何從運算目標出發(fā)產(chǎn)生判斷，發(fā)現(xiàn)適當（優(yōu)化）的變形方向，最終確定合理（簡潔）的運算路徑。比如，劉明老師設計、實施的《點到直線的距離公式》教學過程：

【片段3】 初步交流，引發(fā)深度思考

（教師立足于定量研究，從兩條相交直線的交點問題過渡到兩條平行直線的距離問題，引出點到直線的距離問題，

再轉化得到求兩點之間的距離這一基本思路。）

師下面請同學們獨立地推導點P（x0，y0）到直線l：Ax+By+C=0的距離公式。

（學生充分思考后，教師引導交流——）

生（投影展示）過點P作直線l的垂線PQ，垂足為Q，則直線PQ的方程為Bx-Ay-Bx0+Ay0=0，聯(lián)立直線l和PQ的方程，解得點Q的坐標為B2x0-ABy0-ACA2+B2，

-ABx0+A2y0-BCA2+B2，所以點P到直線l的距離為PQ=（x-x0）2+（y-y0）2=

[-A（Ax0+By0+C）]2（A2+B2）2

+[-B（Ax0+By0+C）]2（A2+B2）2=

|Ax0+By0+C|A2+B2

。

師這種解法是一種最基本的想法，其他同學對他的解法有沒有疑問？

生他忽略了系數(shù)A、B是否為零。這里應該對系數(shù)A、B是否為零進行分類討論。

生沒有必要考慮系數(shù)A、B是否為零。他這樣寫沒有問題。

生我覺得這樣求點Q的坐標太難算了。由于PQ=（x-x0）2+（y-y0）2，所以沒有必要具體地求出點Q的坐標

，只要求出x-x0和y-y0就可以了?？梢园阎本€l和PQ的方程分別化為①A（x-x0）+B（y-y0）=-（Ax0+By0+C），②B（x-x0）-A（y-y0）=0。然后，由①×A+②×B得x-x0=-A（Ax0+By0+C）A2+B2，由①×B-②×A得y-y0=-B（Ax0+By0+C）A2+B2。

師這位同學在運算時，利用了整體思想，減小了運算量。今后，在解析幾何的相關計算中，要逐步形成整體意識，以減小運算量。其他同學有沒有問題？

生受他的方法的啟發(fā)，我發(fā)現(xiàn)，可以不解出x-x0和y-y0，由①2+②2得到（A2+B2）[（x-x0）

2+（y-y0）2]=（Ax0+By0+C）2，就可以得到距離公式了。

這里，基于知識結構的生長，引出研究問題的基本思路后，劉老師要求學生自主嘗試推導點到直線的距離公式，經(jīng)歷構造、設計或選擇算法的探索過程，以發(fā)展數(shù)學運算能力。根據(jù)研究問題的基本思路，學生自然地得到了一種推導方法，并感受到其計算量十分可觀。于是，劉老師引導學生對此展開交流，得到了利用整體思想簡化的兩種推導方法。由此，學生初步體會到運用適當?shù)乃枷敕椒梢院喕\算過程，而運算方法選擇

得恰當與否常常直接決定著運算量的大小、運算的繁雜程度，甚至能否得出正確的運算結果。

【片段4】 合作交流，展示不同方法

師剛才這兩位同學通過求出點P在直線l上的射影坐標的方法，推導出了點到直線的距離公式，通過相互啟發(fā)，使計算變得越來越簡單。請同學們再考慮有沒有其他的推導方法？先獨立思考，在得到推導的方法后和組內(nèi)其他同學交流，然后和全班同學交流。

生我利用直角三角形中角的關系。（出示圖3）易得

PA=Ax0+By0+CB，

PB=Ax0+By0+CA。

由PHPA2+

PHPB2=1，可得

PH=|Ax0+By0+C|A2+B2。

師這一方法是過點P分別作與兩條坐標軸平行的直線PA、PB，分別交直線l于點A、B，把所要求的“斜線段”PH的長度轉化成與坐標軸平行的線段PA、PB的長度，并利用由∠1+∠2=90°得到的（sin∠1）2+（sin∠2）2=1

求出了距離。它體現(xiàn)了解析幾何中求線段長時常用的一種方法——化斜為直，即把“不與坐標軸平行的線段”轉化成“與坐標軸平行的線段”。還有沒有其他不同的方法？

生我的解法和上面的解法有相近的地方，也是化斜為直，求出與坐標軸平行的線段PA、PB的長。所不同的是，我利用勾股定理AB2=PA2+PB2求出了AB的長，再通過面積法12PA·PB=12AB·PH求出了PH的長。

師這一解法利用面積相等得到了點P到直線l的距離。利用面積法求三角形的高是平面內(nèi)求距離的一種基本方法。在空間中，有沒有類似的方法？

生用體積法求三棱錐的高。

師很好！其他同學還有別的方法嗎？

生我是利用向量的方法來做的。過點P作直線l的垂線，垂足為Q，設

Q（x1，y1），則

QP=（x0-x1，y0-y1）。因為直線l的一個法向量

n=（A，B），所以

n∥QP，所以|n·QP|=|

n| |

QP|，可得|QP|=

|n·QP|

|n|

=|Ax0+By0-（Ax1+By1）|A2+B2。因為點Q（x1，y1）在直線l上，所以Ax1+By1+C=0，所以Ax1+By1=-C。所以點P到直線l的距離為PQ=

|Ax0+By0+C|

A2+B2。

師向量是一種重要的數(shù)學工具，是溝通數(shù)與形的橋梁。剛才這位同學利用向量巧妙地

得到了點到直線的距離公式，避免了代數(shù)運算。另外，還有其他幾位同學給出了其他幾種方法，限于時間，這里不一一展示，課后張貼在教室的張貼欄內(nèi)，供同學們相互交流。

……

讓學生參與到促進學習的事件和活動中去，經(jīng)歷數(shù)學知識的自我建構過程，才能真正地發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。這里，劉老師進一步給予

學生自主探究與合作交流的時間和空間，讓他們在推導出點到直線的距離公式的同時發(fā)展數(shù)學運算能力。主體地位的凸顯使得學生的思維很活躍、發(fā)散，給出了教師很難全部預設的直接法、三角函數(shù)法、三角形面積法、向量法等近10種推導

方法。之前整體思想的運用使得學生產(chǎn)生了探索改進算法的意識，于是，學生想到了三角函數(shù)、三角形面積、向量等各種相關的知識，從而對所求距離進行了相應的轉化，使運算過程得到了不同的改進?？傊馔就瑲w的推導點到直線距離公式的探索過程使得學生進一步體會到算法的探索改進、運算的過程技巧，提升了數(shù)學運算能力。

綜合來看，上面兩個教學片段體現(xiàn)了解析幾何的核心思想——數(shù)形結合，使得學生在通過數(shù)學運算方法解決直觀想象問題的知識建構過程中學會了合理構造、設計或選擇算法，在直觀想象素養(yǎng)的滲透中提升了數(shù)學運算的素養(yǎng)，在成功快樂的體驗中增強了數(shù)學學習的興趣。

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