摘要：在2017年江蘇省高中青年數學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中，執(zhí)教《函數的奇偶性》一課的選手創(chuàng)設的問題情境主要有“現(xiàn)實生活”“單刀直入”“認知沖突”“方法引領”四種類型；幫助學生建構概念時主要有“快速滑過”“一步到位”兩個問題；引導學生應用知識時主要有“僅設置教材中的例1”“增加概念辨析和教材中的例2”“增加根據奇偶性畫圖的練習”“增加既是奇函數又是偶函數的問題”四種做法。針對普遍存在的問題提出教學建議：自主而不是控制；真思而不是誘思；建構而不是解讀。

關鍵詞：函數的奇偶性問題情境概念建構知識應用

兩年一度的江蘇省高中青年數學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動，為青年才俊搭建了很好的展示才華的平臺，為高中數學教育工作者提供了極為豐富和精彩的研究素材，有力地推動了高中數學課堂教學的改革。高中數學教育工作者應該在這項活動中合作交流、內化吸收，促進自身教學水平的不斷提升。

在2017年江蘇省高中青年數學教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中，來自全省13個大市的13名選手分兩組執(zhí)教了高一的課，課題為“函數的奇偶性”。作為此次活動高一組的評委之一，縱觀這13節(jié)課，筆者有如下認識。

一、課題理解與賽前期盼

“函數的奇偶性”是學生在學習函數的單調性后要學習的又一個重要性質。筆者認為，這節(jié)課的教學重點是從函數圖像的對稱特征中抽象建構出奇偶函數的概念。上好這節(jié)課，要明晰兩條主線：一條是知識生成的主線，這是一條明線；另一條是函數性質研究的一般方法主線，這是一條暗線。我們希望學生學完單調性、奇偶性后，能夠在此基礎上掌握函數性質研究的一般范式，形成函數性質研究的基本活動經驗。

比賽之前，筆者參與了南通市賽課教師的備課工作，見證了教師們?yōu)楸荣愖龀龅姆N種辛苦努力，深感上好課不易。對本次比賽，筆者懷有很多期盼：期盼著學生的主體地位能真正得到落實，能呈現(xiàn)精彩的數學活動；期盼著數學抽象、符號化的過程能有創(chuàng)新的做法，能產生引領性的教學范式；期盼著數學運用能關注“四基”，既不唯高考，但又能落地生根……

二、賽況反饋

（一）關于問題情境

本次比賽中選手創(chuàng)設的問題情境主要有以下四種類型：

第一種是現(xiàn)實生活型：從現(xiàn)實生活中的對稱現(xiàn)象切入，然后轉到數學中的對稱問題。例如：

你能從以下圖片（圖1）中感受到怎樣的對稱之美？

我們現(xiàn)在正在學習的函數圖像，是否也會具有對稱的特性呢？是否也體現(xiàn)了圖像對稱的美感呢？

從數學外部問題過渡到數學內部問題，這種情境是自然的，符合“用數學的眼光觀察世界”這一理念。很多教師在創(chuàng)設問題情境時比較習慣這種做法，但是這節(jié)課并不完全適用。學生在初中階段研究軸對稱和中心對稱時，早已對生活中的對稱現(xiàn)象進行了較廣泛的研究。本節(jié)課若再濃墨重彩地從生活情境入手，對高中學生的認知基礎來說，則顯得有些幼稚了。

第二種是單刀直入型：直接從數學內部問題出發(fā)，通過f（x）=x2，f（x）=1x等函數的圖像，直接引出函數圖像的對稱性，直奔主題。例如：

觀察下列函數的圖像（圖2），除了得到函數的單調性之外，你還有什么發(fā)現(xiàn)？

這種做法的優(yōu)點在于簡明高效，能迅速切入主題；不足之處在于不利于揭示“為什么要學習奇偶性”這一問題。

第三種是認知沖突型：從數學內部問題出發(fā)，呈現(xiàn)學生相對陌生、圖像未知的函數，引發(fā)學生的認知沖突，最后首尾呼應；或呈現(xiàn)從直觀上不能準確判斷對稱性、容易引起視覺誤差的圖像。分別例如：

設計1你能判斷函數f（x）=x4+3x2的圖像的對稱性嗎？

設計2若下列（圖3）圖（1）、圖（2）分別表示函數的圖像，你能判斷函數圖像是否對稱嗎？你是如何判斷的？

這種認知沖突型問題情境有效地解決了“為什么要學習奇偶性”這一問題，能夠形成認知沖突，激發(fā)學生的探究欲望。

第四種是方法引領型：回顧單調性研究的歷程，提煉從圖像特征中進行數學抽象、符號化函數性質的一般方法，以此指導奇偶性的探究。例如：

閱讀下表（表1）中的函數圖像，完成表格。

執(zhí)教教師從學生已經學過的函數單調性出發(fā)，喚起學生對函數圖像增減特征與數學語言之間關系的記憶；然后將兩個圖像合二為一，引發(fā)學生對對稱性問題的進一步研究，實現(xiàn)從基本活動經驗到數學概念的遷移。這種“方法引領，任務驅動”的做法，是一種“先行組織者”策略，是基本活動經驗遷移的有效措施。

（二）關于概念建構

幫助學生建構偶函數概念時，選手基本上都采用了由特殊到一般的方式，而對于奇函數概念，則采用了類比的方法。但是，選手對于由特殊到一般的理解并不完全一致。筆者認為，本節(jié)課的由特殊到一般體現(xiàn)在兩個方面：一方面由特殊函數到一般函數，另一方面由特殊點到一般點。但是，實際教學中存在以下兩個問題：

一種是淡化建構過程，由特殊點簡單歸納，特殊函數稍做說明，即得出一般結論，有滑過現(xiàn)象。例如：

出示任務：已知函數f（x）=x2，請計算一組函數值（如表2）。

x-2-1-121212f（x）出示問題：通過填表，你有什么發(fā)現(xiàn)？（f（-x）=f（x））

追問：對定義域R內的每一個值，這個等式都成立嗎？

追問：你能證明這個結論嗎？

出示問題：你能用文字語言描述等式f（-x）=f（x）嗎？

出示問題：你能給偶函數下個定義嗎？

板書提煉：如圖4。

執(zhí)教教師意圖從一個“低起點”的計算函數值問題開始，讓學生經歷觀察、歸納、概括、論證的數學發(fā)現(xiàn)過程，感受數量關系對函數圖像對稱性的精確刻畫。教學過程順暢，板書提煉清晰深刻，但是研究過程思維量不大，學生在教師鋪設的研究道路上順利前行，沒能充分發(fā)揮數學建構在思維訓練中應發(fā)揮的作用。

另一種是與前一種情況相反，一般性研究過于抽象，完全從一般函數、一般點入手，追求一步到位。例如：

出示問題：圖像可以看作是滿足某種條件的點的集合，如何從點的角度描述“圖像關于y軸對稱”？

得到研究方案1：在關于y軸對稱的函數y=f（x）的圖像上任取一點P（x，f（x）），那么在圖像上一定存在點P′（-x，f（-x）），P′與P關于y軸對稱，兩個點的坐標關系為f（-x）=f（x）。

得到研究方案2：在關于y軸對稱的函數y=f（x）的圖像上取一個點（x，f（x）），則它關于y軸的對稱點（-x，f（x））一定在函數的圖像上，所以有f（-x）=f（x）。

以上問題較好地揭示了對稱性的本質，反映了教師良好的研究素養(yǎng)。但是，高一學生沒有解析幾何學習的基礎，這樣的要求超越了學生的能力水平。

（三）關于知識應用

本次比賽中，選手設計的應用問題能級要求不盡相同，主要存在以下四種做法。

第一種是僅設置了教材中的例1（例1題目見下）。

執(zhí)教教師重視了數學建構的過程，在建構中重視理清“為什么學”“怎么學”，但是由于教學過程略顯拖沓，導致基礎訓練未能完成。課堂教學中，固然應重視“為什么學”“怎么學”，同時要關注“如何用”。學以致用，才能幫助學生有效鞏固。

第二種是設置了概念辨析和教材中的例1、例2：

概念辨析對于定義在R上的函數f（x），下列判斷是否正確？

（1）若f（x）是偶函數，則f（-2）=f（2）；

（2）若f（-2）=f（2），則函數f（x）是偶函數；

（3）若f（-2）≠f（2），則函數f（x）不是偶函數。

例1判定下列函數是否為偶函數或奇函數：

（1）f（x）=x2-1；

（2）f（x）=2x；

（3）f（x）=2|x|；

（4）f（x）=（x-1）2。

例2判斷函數f（x）=x3+5x是否具有奇偶性。

總結你能總結一下判斷函數奇偶性的主要步驟嗎？（得到圖5）

執(zhí)教教師通過問題的解決，加深概念的理解，總結判斷奇偶性的方法和一般步驟，題量適中，重視基礎知識的達成訓練。筆者認為這種要求比較合適。

第三種是增加了根據奇偶性畫圖的練習：

練習已知函數y=f（x）的定義域為R，根據函數的奇偶性，補充完整函數圖像：

（1）f（x）為偶函數（如圖6）；

（2）f（x）為奇函數（如圖7）。

這種練習豐富了函數奇偶性的簡單應用，加深了對概念的理解。用時不多，作為必要的補充，不失為一種比較好的做法。

第四種是在研究了既不是奇函數也不是偶函數的問題之后，又提出既是奇函數又是偶函數的問題：

問題判定函數f（x）=（x-1）2是否為偶函數或奇函數。

追問是否存在既是奇函數、又是偶函數的函數，你能舉出這樣的例子嗎？

總結奇函數與偶函數的分類關系如下（圖8）。

以上教學設計具有整體性，彰顯了教師的研究能力。但是，通過舉反例的方式解決上面的例題，對于初學者來說，在理解上存在較大的難度。這節(jié)課提出既是奇函數、又是偶函數這一問題的研究，要求有些高了，建議在第2課時進行相關研究。

（四）關于總結提煉

本次比賽中，各位選手均比較重視在教學的各個環(huán)節(jié)做好必要的總結提煉，盡量做到融深刻性、結構性、可視性于一體。

在概念建構環(huán)節(jié)，除了圖4所示的總結提煉，令人印象深刻的還有圖9所示的總結提煉。

在數學應用環(huán)節(jié)，除了圖5、圖8所示的總結提煉，令人印象深刻的還有圖10所示的總結提煉。

此外，在課堂總結環(huán)節(jié)，令人印象深刻的還有圖11、圖12所示的提煉總結。圖10

三、教學建議

本次賽課中雖然出現(xiàn)了不少亮點，但是從課標落實、素養(yǎng)達成等高標準、嚴要求的角度看，能視作范例的課尚不多見。針對普遍存在的問題提出如下建議：

（一）自主而不是控制

在比賽中，普遍存在“教師控制、再控制”的現(xiàn)象。教師過于強勢，扼殺了學生的創(chuàng)造性。課堂主要看的是學生的聰明才智，而不能僅有教師的聰明才智。課堂教學中，我們應給予學生足夠的自主空間。這種自主表現(xiàn)為：問題要讓學生自主發(fā)現(xiàn)，研究方案要讓學生自主確定，研究過程要讓學生親自經歷，研究結果要讓學生自主提煉。教師在研究中，應充當好合作者、指導者，而不是牽引者、控制者。

（二）真思而不是誘思

在課堂上，可以采用問題串的形式引導學生思考。但是，提出的問題必須是核心問題、主干問題，要有引領作用、思考價值，臺階不宜太小，不能稚化學生的思維。只有當學生遇到障礙時，教師才能根據最近發(fā)展區(qū)原則，結合實際困難將核心問題分解成若干子問題，適當降低思維難度，搭建必要的探究“腳手架”。

教育研究與評論中學教育教學/2017年第12期本刊特稿（三）建構而不是解讀

概念是基于問題建構、探究出來的，必須重視建構、探究的過程。學生數學素養(yǎng)的培養(yǎng)以及對數學本質的理解都是在建構、生成的過程中逐漸形成的。教學中應堅決摒棄那種忽視過程、簡單呈現(xiàn)結論，然后采用關鍵詞解讀法對概念進行解釋的做法。這種做法替代了學生的真學習，不利于數學思維的培養(yǎng)。