摘要：在2017年江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中，執(zhí)教《橢圓的幾何性質(zhì)》一課的選手教學(xué)的亮點主要有：創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力的問題情境；引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究理解與建構(gòu)；設(shè)置“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展思維；強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。教學(xué)的不足主要有：對于“讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正地發(fā)生”沒有深刻的認(rèn)識；對于“教給學(xué)生正確的數(shù)學(xué)研究思路”沒有深刻的認(rèn)識。本課教學(xué)理應(yīng)從橢圓方程出發(fā)，通過研究方程得到橢圓的性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：橢圓的幾何性質(zhì)問題情境探究學(xué)習(xí)思想方法

兩年一度的江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動，既為青年教師發(fā)展搭建了平臺，也展示了我省數(shù)學(xué)教師對課堂教學(xué)研究的最新成果。選手們在比賽中展現(xiàn)的教學(xué)理念、教學(xué)思想、教學(xué)方式、教學(xué)設(shè)計、數(shù)學(xué)理解、學(xué)生認(rèn)識等有很多都值得我們學(xué)習(xí)與借鑒的地方。

在2017年江蘇省高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課觀摩與評比活動中，來自全省13個大市的14名選手分兩組執(zhí)教了高二的課，課題為“橢圓的幾何性質(zhì)”。作為本次活動高二組的評委之一，縱觀這14節(jié)課，筆者有如下看法。

一、教學(xué)亮點

除了充分運用信息技術(shù)，幫助學(xué)生學(xué)習(xí)（如，有的選手借助幾何畫板進(jìn)行動態(tài)演示，幫助學(xué)生形成離心率的概念，形象直觀；有的選手制作精美PPT課件，與板書設(shè)計相匹配，給人美感；有的選手直接投影學(xué)生實時的解答，錄制播放學(xué)生之前的操作，生動自然），滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)育人價值（如，一些選手呈現(xiàn)衛(wèi)星運行軌道的情境和問題；一些選手引用數(shù)學(xué)家關(guān)于解析幾何內(nèi)容與價值的名言；一些選手介紹離心率產(chǎn)生的歷史背景）之外，本次活動中教學(xué)的亮點主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

（一）創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動力的問題情境

情境產(chǎn)生問題，問題引起思考，學(xué)習(xí)從思考開始。絕大部分選手都基于學(xué)生的已有經(jīng)驗與認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)了能夠較好地引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、熱情的問題情境。

有的選手呈現(xiàn)地球衛(wèi)星運行軌道的圖片，同時指出：“我們知道，衛(wèi)星運行軌道是以地球的中心為一個焦點的橢圓?？茖W(xué)家們想知道它是什么樣子的，也想知道它離地面的最近距離（近地點）與最遠(yuǎn)距離（遠(yuǎn)地點）分別是多少（在哪里）。那么，他們怎么知道呢？這就涉及橢圓有怎樣的幾何性質(zhì)。顯然，研究這個性質(zhì)不能通過幾何測量的方式，而要利用代數(shù)運算的方法（即利用橢圓的方程）?！庇纱?，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考橢圓的幾何性質(zhì)。

有的選手開門見山，直接從數(shù)學(xué)的內(nèi)部提出問題：“前面學(xué)習(xí)了橢圓的哪些知識？接下來要研究什么？”引導(dǎo)學(xué)生思考應(yīng)學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)。

有的選手從畫橢圓開始，設(shè)置任務(wù)：“給你兩個大頭釘和一根細(xì)繩，你能畫出一個橢圓嗎？”“請你在準(zhǔn)備好的紙上，依據(jù)方程畫出橢圓?！薄缓笞寣W(xué)生觀察畫出的橢圓，發(fā)現(xiàn)它們的幾何特征。學(xué)生畫出了（不同的）圖形，自然產(chǎn)生了了解圖形性質(zhì)的想法。

有的選手從數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)任務(wù)與方法入手，提出：“我們已經(jīng)用解析法研究了直線、圓的幾何性質(zhì)。解析幾何的基本思想是用代數(shù)方法研究幾何問題。它包含兩個方面：一是根據(jù)曲線定義求出曲線方程；二是通過曲線方程研究曲線性質(zhì)。因為曲線的幾何性質(zhì)是由曲線上的點所具有的特性決定的，所以解析幾何的思想就是將曲線上的點所具有的特性轉(zhuǎn)化為曲線方程的解的特征，進(jìn)行研究?！币龑?dǎo)學(xué)生研究曲線方程的解的特征。

（二）引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究理解與建構(gòu)

這節(jié)課的任務(wù)是教學(xué)橢圓的幾何性質(zhì)。怎樣教學(xué)，即通過什么方式教學(xué)呢？各位選手的認(rèn)識基本是一致的：采用探究式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，通過實踐、思考、表達(dá)、交流等活動，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，創(chuàng)造表達(dá)，從而獲得體驗感悟，加深知識理解，實現(xiàn)意義建構(gòu)。

絕大部分選手都先讓學(xué)生觀察橢圓圖形，啟發(fā)思考，然后引導(dǎo)學(xué)生研究橢圓方程，得到橢圓性質(zhì)。這樣，先獲得感性認(rèn)識，再形成理性認(rèn)識，學(xué)習(xí)相對輕松。其中，有的選手開放度比較大，讓學(xué)生發(fā)散思考，自主探究；學(xué)生發(fā)現(xiàn)什么性質(zhì)，就研究什么性質(zhì)。這里，有的學(xué)生先發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，有的學(xué)生先發(fā)現(xiàn)橢圓的范圍，有的學(xué)生先發(fā)現(xiàn)橢圓的“圓扁”程度。當(dāng)然，更多選手注意設(shè)計問題引導(dǎo)學(xué)生沿著教材中的順序探究學(xué)習(xí)。

比如，一位選手在學(xué)生畫出橢圓x24+y2=1后，這樣展開教學(xué)——

師你所畫的圖形為什么不過點（3，0）呢？說出你的理由。

生代入橢圓的方程，等式不成立。

師那說明什么？

生說明橢圓是有范圍的。

師你能得到橫坐標(biāo)x的范圍嗎？說說你的想法。

生由橢圓的方程x24+y2=1，得y2=1-x24≥0。

師為什么？根據(jù)是什么？

生平方的非負(fù)性。

師還可以怎么處理？

生由x24=1-y2≤1，得x2≤4，所以-2≤x≤2。

師很好！能得到y(tǒng)的范圍嗎？

生同理，x24=1-y2≥0，所以-1≤y≤1。

師橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）呢？

生-a≤x≤a，-b≤y≤b。

（教師提問“所畫的圖形美不美”，引導(dǎo)學(xué)生提出橢圓具有對稱性。然后，教師追問“憑什么說橢圓是軸對稱圖形且是中心對稱圖形”，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)用方程說明問題。）

需要特別指出的是，在橢圓離心率概念的形成這一難點上，很多選手都舍得花時間讓學(xué)生探究，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識參數(shù)a、b、c的幾何意義以及它們?nèi)绾斡绊憴E圓的“圓扁”程度，取得了較好的效果。

比如，一位選手這樣引導(dǎo)學(xué)生探究——

提問：觀察橢圓的方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），它與我們學(xué)習(xí)過的哪種曲線的方程相像？

過渡：當(dāng)a、b越來越接近R時，橢圓的方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）就越來越接近圓的方程x2R2+y2R2=1（R>0）。因此，橢圓的形狀可能與a、b有關(guān)。

提問：如果給出不同的常量a、b，對應(yīng)不同的橢圓方程，那么對應(yīng)的橢圓形狀有什么不同？

過渡：我們從幾個具體的橢圓來看。

例題：寫出下列橢圓的范圍、長軸長、短軸長、頂點坐標(biāo)，并用描點法畫出橢圓。（1）x24+y2=1；（2）x29+y2=1；（3）x29+y24=1。（學(xué)生口答幾何性質(zhì)，投影展示圖形。）

提問：（將畫出的三個橢圓移動到同一直角坐標(biāo)系中）上面給出了三組不同的常量a、b，對應(yīng)了三個不同的橢圓方程，那么對應(yīng)的橢圓形狀有什么不同？我們可以用什么量來刻畫它們的“圓扁”程度？（學(xué)生交流、討論。）

總結(jié)：如果用ba來刻畫橢圓的“圓扁”程度，那么，ba越大，橢圓越“圓”；ba越小，橢圓越“扁”。

提問：然而，在橢圓的定義中，b是引入量，即b2=a2-c2（b>0），a、c才是原始量，那么，能否用a和c來刻畫它們的“圓扁”程度呢？（學(xué)生交流、討論。）

總結(jié)：因為c2a2=a2-b2a2=1-b2a2，所以，ca越大，橢圓越“扁”；ca越小，橢圓越“圓”。

定義：焦距與長軸長的比ca叫作橢圓的離心率，記為e，即e=ca∈（0，1）。

又如，一位選手這樣引導(dǎo)學(xué)生探究——

提問：剛才同學(xué)們提到畫出的橢圓有些比較“扁”，有些比較“圓”，那么，橢圓的“圓扁”程度與橢圓的方程又具有怎樣的關(guān)系呢？

提問：回顧之前的畫法，所用的繩長是一樣的，為什么畫出的橢圓有些比較“扁”，有些比較“圓”？

發(fā)現(xiàn)：a不變，c越大，橢圓越“扁”；c越小，橢圓越“圓”。

總結(jié)：利用a、c這兩個量，可以刻畫橢圓的“圓扁”程度。

提問：如果a、c這兩個量都在變呢？

定義：我們把橢圓的焦距和長軸長的比ca稱為橢圓的離心率，用e表示，即e=ca。

提問：（1）e的范圍是什么？（2）如何用e刻畫橢圓的“圓扁”程度？

總結(jié)：因為a>c>0，所以0

（三）設(shè)置“問題串”，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展思維

問題引起思考，學(xué)習(xí)由思考深入。在探究式教學(xué)的過程中，絕大部分選手都注意發(fā)揮問題的導(dǎo)向作用，設(shè)置一系列遞進(jìn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生不斷深入地思考，通過問題的解決，完成知識的學(xué)習(xí)。

比如，一位選手設(shè)置如下“問題串”來引導(dǎo)學(xué)生：

1.你打算怎樣研究橢圓的幾何性質(zhì)？

2.按照這樣的方向與步驟，請你采用適當(dāng)?shù)姆椒?，研究橢圓的幾何性質(zhì)。

（1）你是怎么畫圖的？怎樣取點？為什么這樣取點？

（2）大家剛剛在研究過程中發(fā)現(xiàn)了橢圓的哪些性質(zhì)？僅僅根據(jù)圖形來判斷橢圓的性質(zhì)準(zhǔn)確嗎？如何用代數(shù)方法驗證所得到的結(jié)論？

（3）從具體的方程中得到的結(jié)論能否推廣到一般的情況？你能得到哪些結(jié)論？

（4）我們得到了a、b的幾何意義，那么c的幾何意義是什么？

3.請大家觀察自己所畫的橢圓，它們的形狀都相同嗎？

（1）我們可以引入什么量來刻畫橢圓的“圓扁”程度？我什么可以利用這個量來刻畫？

（2）你覺得用哪個量去刻畫橢圓的“圓扁”程度更好呢？

4.一般地，以x2a2+y2b2=1（a>b>0）為例，橢圓具有哪些幾何性質(zhì)？

問題1的意圖是引導(dǎo)學(xué)生回顧以前的研究經(jīng)驗，從而獲得新問題的研究方向與步驟：由特殊到一般；先幾何猜想，再代數(shù)論證。問題2的意圖是放手讓學(xué)生進(jìn)行研究，在學(xué)生獨立思考的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生合作交流。問題3的意圖是通過對不同橢圓的觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要引入一個量來刻畫橢圓的“圓扁”程度，引出離心率概念。問題4的意圖是通過對特殊情況的研究獲得結(jié)論，歸納、推廣得到一般情況下橢圓的幾何性質(zhì)。

（四）強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。解析幾何的本質(zhì)是通過建立坐標(biāo)系實現(xiàn)幾何問題代數(shù)化，從而運用代數(shù)方法研究幾何問題。教學(xué)“圓的方程”時，由于圓具有特殊性，很多平面幾何的方法都用得上，因此很難也不必讓學(xué)生對解析法有深刻的感受。而教學(xué)“橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”時，由于橢圓是“壓扁的圓”，很多平面幾何的方法都用不上，因此可以也必須讓學(xué)生對解析法有更深刻的認(rèn)識?？梢哉f，這節(jié)課是學(xué)生認(rèn)識這一思想方法的重要起點。

絕大部分選手都能夠正確認(rèn)識本課的內(nèi)容，把握本課的主題，強調(diào)解析幾何的思想方法，幫助學(xué)生把握解析幾何的本質(zhì)：引導(dǎo)學(xué)生從方程入手，用方程“說話”，通過研究橢圓的方程，獲得橢圓的幾何性質(zhì)。

比如，一位選手這樣引導(dǎo)學(xué)生研究橢圓的對稱性、范圍——

觀察、分析橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），假設(shè)常量a、b給定，解決下列問題：

1.變量x、y受到怎樣的限制？這種限制對應(yīng)到圖形上體現(xiàn)了橢圓具有怎樣的幾何性質(zhì)？

2.如果（x，y）是方程的解，那么，還有哪些緊密相關(guān)的表示也是方程的解？這種關(guān)系對應(yīng)到圖形上體現(xiàn)了橢圓具有怎樣的幾何性質(zhì)？

又如，一位選手這樣引導(dǎo)學(xué)生研究橢圓的范圍、對稱性——

問題1：我們已經(jīng)知道了橢圓是對稱圖形，那么，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程具有怎樣的特點呢？利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何研究橢圓的對稱性呢？一般地，我們怎么利用曲線的方程研究曲線的對稱性呢？

問題2：我們知道橢圓是一個封閉的幾何圖形，這說明橢圓中的變量x、y的取值是有范圍的，你能利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的范圍嗎？

二、教學(xué)不足

（一）對于“讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正地發(fā)生”沒有深刻的認(rèn)識

教學(xué)要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正地發(fā)生，就是要落實學(xué)生的主體地位，就是要基于學(xué)生的認(rèn)知與思維進(jìn)行引導(dǎo)，就是要讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、理解、建構(gòu)知識。應(yīng)該說，無論什么樣的課堂，學(xué)生的學(xué)習(xí)都會發(fā)生，只是發(fā)生的多少、層次不同。對此，教師要深入思考自己教與不教有多大區(qū)別，從而把握好教的度，多教學(xué)生自己（看書）學(xué)不到、學(xué)不會的東西，讓學(xué)生自己（看書）學(xué)習(xí)學(xué)得到、學(xué)得會的東西。

這次活動中，有些選手還是講得太多、太碎，很多環(huán)節(jié)引導(dǎo)過度，牽著學(xué)生走，看似探究式教學(xué)，實則告知式教學(xué)，看似“自主探險”，實則“帶領(lǐng)游玩”。這樣以講代學(xué)，即使講得清楚，也會導(dǎo)致學(xué)生缺乏體驗，完整的獨立探究不多，充分的合作探究太少，學(xué)習(xí)沒有真正地發(fā)生，也沒有達(dá)到深度。比如，在“橢圓圓扁程度的刻畫”“離心率概念的產(chǎn)生”上，一些選手沒有放手讓學(xué)生思考到底怎樣刻畫比較好，選擇一個量還是兩個量，所選的兩個量又是什么關(guān)系，是和、差、積、商還是平方和等。

（二）對于“教給學(xué)生正確的數(shù)學(xué)研究思路”沒有深刻的認(rèn)識

數(shù)學(xué)是自然的、清楚的，是人性化的、講道理的。數(shù)學(xué)教學(xué)要教給學(xué)生數(shù)學(xué)研究最基本的思路（思維過程與方法）。以本課為例，要讓學(xué)生研究橢圓的幾何性質(zhì)，就一定要讓學(xué)生明白為什么要研究、怎樣研究、為什么這樣研究。為此，一方面要讓學(xué)生清楚，從幾何圖形的學(xué)習(xí)規(guī)律看，學(xué)習(xí)過一個圖形的定義后都要研究它的性質(zhì)，之前幾何圖形的學(xué)習(xí)都是這樣安排的；另一方面要讓學(xué)生清楚，有些圖形比較簡單，可以利用幾何方法研究性質(zhì)，有些圖形比較復(fù)雜，必須利用代數(shù)方法研究性質(zhì)。橢圓的性質(zhì)很難通過幾何方法來研究，必須通過橢圓方程來研究，而很多不規(guī)則圖形的性質(zhì)（如函數(shù)f（x）=x3+5x圖像的特征等），更是只能通過解析式來研究。此外，還要重點引導(dǎo)學(xué)生從橢圓方程出發(fā)，研究方程的解，看看能夠得到什么性質(zhì)，這些性質(zhì)反映到圖形上是什么樣的。

這次活動中，很多選手對于利用方程研究橢圓幾何性質(zhì)的必要性關(guān)注不夠。而且，一些選手引導(dǎo)學(xué)生先觀察圖形，發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，再利用方程驗證。這樣，表現(xiàn)出的過程和方法就容易被誤解為利用幾何圖形研究方程問題。雖然觀察圖形有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)、理解，但是具體的性質(zhì)必須通過代數(shù)方法得到、說明。此外，一些選手對離心率概念的形成處理得不夠自然。比如，直接讓學(xué)生觀察幾何畫板展示的變化的橢圓，發(fā)現(xiàn)影響橢圓“圓扁”程度的要素，沒有讓學(xué)生先想象一下，不利于學(xué)生的體驗、感悟。又如，通過數(shù)字“0”較圓，數(shù)字“1”較扁來類比，幫助學(xué)生形象記憶離心率越趨于0，橢圓越圓，離心率越趨于1，橢圓越扁，沒有回到定義去畫橢圓，雖然便于記憶，但是不利于理解。

三、課題思考與賽后設(shè)計

為了凸顯學(xué)生的主體地位，體現(xiàn)解析幾何的本質(zhì)思想，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，本課教學(xué)理應(yīng)從橢圓方程出發(fā)，通過研究方程得到橢圓的性質(zhì)。下面給出筆者簡單的教學(xué)設(shè)計及思考。

講述：同學(xué)們知道方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）是表示橢圓，以方程的解為坐標(biāo)的點都在橢圓上，橢圓上的點的坐標(biāo)都滿足方程。因此，要研究橢圓的性質(zhì)，就要研究方程解的特點。

[意圖：讓學(xué)生明白方程與橢圓的對應(yīng)關(guān)系以及從方程入手研究橢圓的必然性。]

提問：請同學(xué)們思考方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）有多少組解，這些解又有什么特征？

[意圖：由此，學(xué)生可以通過x2、y2的非負(fù)性得到橢圓的范圍，也能夠通過（-x）2=x2，（-y）2=y2得到橢圓的對稱性。如果學(xué)生基礎(chǔ)較差，則教師可以適度引導(dǎo)。]

補充：橢圓方程的所有解中，x和y都有最大值與最小值，此時解所對應(yīng)的點正是橢圓對稱軸與橢圓的交點，是兩對特殊的點，即橢圓頂點。

引導(dǎo)：顯然，對應(yīng)橢圓方程中不同的a，b，橢圓的形狀有變化，即“圓扁”程度不同。若a不變，b變小，則橢圓明顯變“扁”，但是根據(jù)c=a2-b2，此時c變大，即橢圓焦點逐漸偏離橢圓中心。因此，可以把比值e=ca定義為離心率：離心率變大，橢圓焦點逐漸偏離橢圓中心。

[意圖：這樣形成離心率的概念比較自然，能讓學(xué)生既理解離心率的概念，也知道其變化情況與橢圓“圓扁”的關(guān)系。]

提問：你還希望研究橢圓的哪些性質(zhì)？

[意圖：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步研究。]

這樣處理比從橢圓圖形出發(fā)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時可能困難一點，甚至可能不知道如何利用方程研究、從哪些角度研究、研究什么，但是學(xué)生能夠形成從方程出發(fā)研究圖形性質(zhì)的意識，學(xué)會研究問題，收獲更大。

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“提升高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計研究”（編號：D/2016/02/06）的階段性研究成果。課程改革