摘要：HPM課例開發(fā)首先要選取合適的數(shù)學史料。依據(jù)相關文獻中的數(shù)學教學原則，結合數(shù)學史的六類教育價值，提煉出用于教學的數(shù)學史料的選取原則：趣味性、可學性、有效性、人文性和科學性。趣味性、有效性和人文性原則能夠確保數(shù)學史教育價值的最大化，而可學性原則能夠保證數(shù)學史教育價值的產(chǎn)生，科學性原則能夠確保數(shù)學史料的真實性。選取五個典型的HPM課例作為對象，分析上述五項原則在數(shù)學史料選取中的體現(xiàn)。結果表明，相應的數(shù)學史料可學性、有效性和科學性較強，而趣味性和人文性較弱。

關鍵詞：HPM數(shù)學史料選取原則課例分析

近年來，數(shù)學史融入數(shù)學教學的實踐研究已經(jīng)成為數(shù)學史與數(shù)學教育（HPM）領域的重要課題。隨著實踐研究的深入開展，HPM課例開發(fā)日益增多。HPM課例開發(fā)的第一步是搜集、占有足夠的數(shù)學史料（“巧婦難為無米之炊”），從中選取可以用于教學的（對其進行裁剪、加工）。這就涉及數(shù)學史料的選取問題。

在國內已經(jīng)發(fā)表的HPM課例文章中，我們很少能看到數(shù)學史料的具體選取過程和依據(jù)。因此，需要建立一個數(shù)學史料選取的方法或標準，以便能夠更好地指導HPM課例開發(fā)。有鑒于此，筆者嘗試依據(jù)相關文獻中的數(shù)學教學原則，結合數(shù)學史的教育價值，提煉數(shù)學史料選取的原則；并選取典型的HPM課例，分析其中數(shù)學史料的選取是否符合這些原則，同時檢驗這些原則的合理性。

一、數(shù)學史料選取的五項原則

（一）相關文獻中的數(shù)學教學原則

美籍匈牙利著名數(shù)學家和數(shù)學教育家G.波利亞（G.Pólya，1887～1985）提出數(shù)學教學的三個原則：主動學習原則（P1）、最佳動機原則（P2）和循序漸進原則（P3）。其中，主動學習原則指的是在給定的條件下應當讓學生盡可能多地靠自己去發(fā)現(xiàn)；最佳動機原則指的是應當注意選擇好的問題（這些問題最好是有趣的、帶有一些實際應用特色的），從而激發(fā)學生的學習興趣；循序漸進原則指的是學習過程應當從行動和感知開始，進而發(fā)展到詞語和概念，并以養(yǎng)成合理的思維習慣結束。

美國著名數(shù)學家和數(shù)學教育家M.克萊因（M.Kline，1908～1992）提出數(shù)學課程的四個原理：興趣原理（K1）、動機原理（K2）、直觀原理（K3）和文化原理（K4）。其中，興趣原理指的是數(shù)學課程應該激發(fā)學生的學習興趣；動機原理指的是數(shù)學課程應該揭示相關知識的必要性，激發(fā)學生的學習動機；直觀原理指的是數(shù)學課程應該直觀地揭示每個數(shù)學思想或過程的含義；文化原理指的是數(shù)學課程應該反映數(shù)學與其他知識領域（科學、哲學、藝術等）之間的關聯(lián)性。

（二）數(shù)學史的教育價值

充分挖掘知識的教育價值，是實施有效教學的要求。將數(shù)學史融入數(shù)學教學時，教師要深刻認識數(shù)學史的教育價值。已有的實踐研究表明，數(shù)學史具有六類教育價值“知識之諧”（V1）、“方法之美”（V2）、“探究之樂”（V3）、“能力之助”（V4）、“文化之魅”（V5）和“德育之效”（V6）。其中，“知識之諧”是指數(shù)學史揭示了知識自然發(fā)生、發(fā)展的過程，揭示了數(shù)學的本質，符合學生的認知規(guī)律，能促進學生對數(shù)學的理解；“方法之美”是指數(shù)學史展現(xiàn)了數(shù)學方法的多樣性和數(shù)學思維的靈活性，能培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維；“探究之樂”是指數(shù)學史作為數(shù)學問題的寶藏，為學生提供了豐富的探究機會；“能力之助”是指數(shù)學史有助于發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生數(shù)學閱讀、表達、轉換等多方面的能力；“文化之魅”是指數(shù)學史揭示了數(shù)學與現(xiàn)實世界以及人類其他知識領域之間的聯(lián)系、數(shù)學文化的多元性以及數(shù)學活動的本質；“德育之效”是指數(shù)學史能激發(fā)學生的興趣和信念，培養(yǎng)學生尊重、包容、正直、誠實等良好的個性品質。

（三）五項原則

依據(jù)相關文獻中的數(shù)學教學原則，結合數(shù)學史的六類教育價值，我們提煉出用于教學的數(shù)學史料的選取原則：趣味性、可學性、有效性、人文性和科學性。這五項原則的內涵以及對應的數(shù)學教學原則、數(shù)學史教育價值見表1。

表1

原則內涵數(shù)學教

學原則數(shù)學史

教育價值趣味性選取的數(shù)學史料應該能夠激發(fā)學生的學習興趣和動機P2、K1、

K2V6可學性選取的數(shù)學史料應該符合學生的認知基礎P3V1有效性選取的數(shù)學史料應該有助于學生理解、掌握和運用相關知識P1、K3V1、V2、

V3、V4人文性選取的數(shù)學史料應該與數(shù)學家相關聯(lián)，反映數(shù)學的人文精神；或與其他知識領域相聯(lián)系，揭示數(shù)學的文化價值K4V5、V6科學性選取的數(shù)學史料應該有明確的文獻出處，符合史實—V1、V2、

V3、V4、

V5、V6首先，根據(jù)趣味性、有效性和人文性原則來選取數(shù)學史料，能夠確保數(shù)學史教育價值的最大化，避免為歷史而歷史。其次，教師也要關注學生的認知基礎，因為很多數(shù)學史料并非像教師想象的那樣簡單易懂。一則數(shù)學史料若不具備可學性，就不可能產(chǎn)生應有的教育價值。最后，科學性原則能夠確保數(shù)學史料的真實性。離開科學性，將數(shù)學史融入數(shù)學教學就成了一句空話。因此，教師需要參考原始文獻或權威的二手文獻。這對中小學教師來說難度很大。不過，大學研究者和中小學教師合作，能夠很好地解決這個難題。

二、五項原則在HPM課例中的體現(xiàn)

我們選取《對數(shù)概念：從歷史到課堂》《數(shù)列概念：通過歷史體現(xiàn)“奇、趣、本、用”》《HPM視角下“數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入”課例研究》《“正弦定理”：用歷史拓思維、潤情感》《兩角和差的三角公式推導——數(shù)學史融入數(shù)學教學的實例研究》這五篇文章中的五個HPM課例作為對象，分析上述五項原則在數(shù)學史料選取中的體現(xiàn)。這些課例涉及代數(shù)和三角學，均為新授課。

（一）“對數(shù)概念”課例分析

本課例首先通過特殊正整數(shù)的乘法，讓學生感受計算之繁；其次通過以2為底的正整數(shù)指數(shù)冪與指數(shù)對應的數(shù)表，讓學生體會乘法可以簡化為加法；再次引出天文學上的大數(shù)運算，讓學生看到相乘的兩個大數(shù)不在數(shù)表中（即不是2的正整數(shù)指數(shù)冪），因而數(shù)表失效；然后嘗試尋找相應的指數(shù)，讓學生發(fā)現(xiàn)這樣的指數(shù)難以精確求得，需要定義新的數(shù)，由此引入對數(shù)定義；最后通過指數(shù)與對數(shù)的互化，鞏固對數(shù)概念。整節(jié)課運用了四則史料。

1.等差和等比數(shù)列之間的對應關系。

15～16世紀，歐洲許多數(shù)學家在各自的著作中都運用了等差和等比數(shù)列的對應關系，將乘除運算簡化為加減運算。比如，法國數(shù)學家許凱（N.Chuquet，1445～1488）在《算學三部》中給出了雙數(shù)列之間的對應關系，如表2所示，即等比數(shù)列的乘除運算對應等差數(shù)列的加減運算。由于等比數(shù)列中相鄰兩項的間隔太大，這樣的對應關系效用并不大。其后，蘇格蘭數(shù)學家納皮爾（J.Napier，1550～1617）構造了相鄰兩項的間隔很小的等比數(shù)列，從而發(fā)明了對數(shù)。

表2

1248163264128…1 048 57601234567…20本課例中，教師從學生熟悉的正整數(shù)乘法出發(fā)，通過數(shù)表的作用和局限，再現(xiàn)了對數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程，揭示了對數(shù)的必要性，促進了學生對對數(shù)的理解，也為對數(shù)運算學習埋下伏筆。此外，教師還展示了數(shù)學與天文學之間的關系。因此，這一史料的選取符合趣味性、可學性、有效性和人文性原則。

2.古巴比倫泥板上的利息問題。

古巴比倫泥板上載有以下問題：年息20%，一定數(shù)目的錢經(jīng)過多長時間后的本利和變?yōu)樵瓉淼膬杀叮?/p>

這個問題與生活實際息息相關，切合了對數(shù)的定義，反映了對數(shù)的用途，符合趣味性和有效性原則。

3.對數(shù)的歷史故事。

納皮爾經(jīng)過整整20年的努力，終于在1614年發(fā)明了對數(shù)。翌年，英國數(shù)學家布里格斯（H.Briggs，1561～1630）從倫敦赴愛丁堡拜訪他。這場“曠世之約”導致了常用對數(shù)的誕生。

這個故事激發(fā)了學生的興趣，并留下了人生的啟迪，符合人文性原則。

4.對數(shù)的辭源。

17世紀，法國數(shù)學家笛卡兒（R.Descartes，1596～1650）發(fā)明了冪的記號，指數(shù)概念由此而生。17世紀末，人們認識到對數(shù)可以定義為冪指數(shù)。此后，瑞士數(shù)學家歐拉（L.Euler，1707～1783）創(chuàng)用了“l(fā)ogaN”這一記號。中國明代數(shù)學家薛鳳祚（？～1680）在《比例對數(shù)表》（1653）中首次將納皮爾的“l(fā)ogarithm”一詞譯為“對數(shù)”。清代康熙皇帝主持編寫的《數(shù)理精蘊》的下編卷第38條“對數(shù)比例”對雙數(shù)列之間的關系做了詳細的介紹。

本課例中，教師追溯了對數(shù)的辭源，幫助學生理解了“對數(shù)”中“對”字的含義。在小結環(huán)節(jié)，教師引用《數(shù)理精蘊》中的一段話作為結尾：“對數(shù)……以假數(shù)與真數(shù)對列成表，故名對數(shù)表。其法以加代乘，以減代除；以加倍代自乘，故折半即開平方；以三因代再乘，故三歸即開立方；推之至于諸乘方，莫不皆以假數(shù)相乘而得真數(shù)。蓋為乘除之數(shù)甚繁，而以假數(shù)代之甚易也?！闭f明了對數(shù)的運算法則，為后續(xù)學習埋下伏筆。因此，這一史料的選取符合有效性原則。

（二）“數(shù)列概念”課例分析

本課例以古巴比倫泥板上的月相表、萊因德紙草書中的財產(chǎn)問題以及根據(jù)約瑟夫故事改編的課堂小游戲為引例，歸納出數(shù)列的定義；在對概念進行辨析并給出不同的表征后，引入數(shù)列通項的概念；在例題和練習環(huán)節(jié)，聚焦數(shù)列的通項公式；最后，通過微視頻展現(xiàn)數(shù)列在天文學上的應用。整節(jié)課運用了四則史料。

1.古巴比倫泥板上的月相表。

大英博物館所收藏的巴比倫泥板K90（公元前7世紀）記錄了一張月相表：將滿月分成240個部分，則從新月開始每天的月相情況構成了一個數(shù)列，如表3第二行所示，其前5項構成公比為2的等比數(shù)列，第5～15項構成公差為16的等差數(shù)列。

表3

12345678510204080961121289101112131415—144160176192208224240—其實，古巴比倫泥板中含有許多與數(shù)列相關的內容。這里，教師選用月相表作為引例，目的是呈現(xiàn)數(shù)列與生活之間的密切聯(lián)系，從而突出數(shù)列學習的必要性，激發(fā)學生的學習動機；同時，月相變化規(guī)律反映了數(shù)列的“序”的本質特征，有助于學生對數(shù)列的理解。因此，這一史料符合趣味性、人文性和有效性原則。

2.萊因德紙草書中的財產(chǎn)問題。

萊因德紙草書（約抄錄于公元前1650年）上載有如下問題：一位富人家里有7間儲藏室，每間儲藏室里有7只貓，每只貓捉了7只老鼠，每只老鼠吃了7棵麥穗，每棵麥穗長出了7個體積單位的麥粒，則儲藏室、貓、老鼠、麥穗、麥粒數(shù)各有多少？這是與等比數(shù)列7，72，73，74，75相關的財產(chǎn)問題。

古埃及紙草書上不乏有關數(shù)列的內容。選擇財產(chǎn)問題，顯然是因為它是一個趣味性的數(shù)學問題，并且適合用作關于通項公式的例題。因此，這一史料符合趣味性和有效性原則。

3.約瑟夫故事。

在公元前4世紀的一部著作里，海格希普斯講述了約瑟夫運用智慧自救的故事。當羅馬人攻陷Jotapat后，約瑟夫和另外40個猶太人躲到一個山洞里避難?？墒?，除了約瑟夫和他的一位好朋友之外，其余39人都決定自殺，以避免落入羅馬人之手而遭受折磨。約瑟夫提出在臨死之前大家不妨玩一個游戲娛樂一下。他提出的游戲規(guī)則如下：所有人排成一圈，隨機從某一位置開始點數(shù)，將逢三者拉出圈子殺掉，最后剩下的兩個人自殺。約瑟夫將他自己和好朋友分別安排在16和31號位置上，成功地避開了死神。

本課例中，教師將約瑟夫的故事改編成了課堂小游戲：10個同學排成一圈，隨機從某一位同學開始，逢三點數(shù)，點到者出列，讓最后剩下的兩位同學請大家吃薯愿。這個游戲既有趣，又突出了“序”的本質特征，符合趣味性和有效性原則。

4.提丟斯—波德律。

18世紀，德國數(shù)學家提丟斯（J.D.Titius，1729～1796）用一個特殊的數(shù)列4，7，10，16，28，52，100，196，388，772來表示太陽系行星與太陽之間的相對距離。該數(shù)列被后人稱為“提丟斯—波德律”。對“28”這一項所對應的可能“行星”的尋找，導致了谷神星的發(fā)現(xiàn)。

本課例中，教師以微視頻展現(xiàn)了數(shù)列在天文學上的這一應用，進一步揭示了數(shù)列學習的必要性以及數(shù)學和天文學的密切聯(lián)系。因此，這一史料符合趣味性、有效性和人文性原則。

（三）“復數(shù)概念”課例分析

本課例首先利用現(xiàn)實情境，讓學生求和為10、積為24的兩個數(shù)，進而引出16世紀意大利數(shù)學家卡丹的問題，讓學生發(fā)現(xiàn)問題沒有實數(shù)解；接著給出16世紀意大利數(shù)學家邦貝利的三次方程求根問題，進一步讓學生面對“兩數(shù)之和為實數(shù)，但這兩個數(shù)都不是實數(shù)”的事實，由此引出虛數(shù)概念。整節(jié)課運用了三則史料。

1.卡丹問題。

1545年，意大利數(shù)學家卡丹（G.Cardan，1501～1576）在《大術》中提出了如下問題：將10分成兩部分，使其乘積為40。作為嘗試，卡丹給出了形如“5+-15”和“5--15”的解，但他并未接受“負數(shù)平方根”這樣的數(shù)。

卡丹問題揭示了復數(shù)的必要性，激發(fā)了學生的學習動機；并且，二次方程的解法為學生所熟悉。因此，這一史料符合趣味性、可學性、有效性和人文性原則。

2.邦貝利的三次方程求根。

16世紀，意大利數(shù)學家邦貝利（R.Bombelli，1526～1572）在用求根公式解三次方程x3=15x+4時，遇到了一個“矛盾”：32+-121+32--121=4，即一個實數(shù)等于兩個非實數(shù)之和。正是這一矛盾促使邦貝利對“負數(shù)平方根”這種“新數(shù)”進行了深入的探究，從而導致虛數(shù)概念的誕生。

很多教師認為，三次方程求根問題太難，不符合可學性原則。本課例中，教師分別呈現(xiàn)運用三次方程求根公式得到的根以及通過因式分解得到的根，從而降低了難度。通過三次方程的根來引入虛數(shù)概念是最令人信服的，符合趣味性、有效性和人文性原則。

3.虛數(shù)的辭源。

1777年，歐拉用“imaginary”一詞的首字母“i”來表示虛數(shù)，本意是指虛數(shù)只存在于“想象之中”。

本課例中，教師向學生解釋虛數(shù)的辭源，讓學生體會歷史上數(shù)學家對于虛數(shù)的困惑，從而感受虛數(shù)概念緩慢而艱辛的發(fā)展歷程。因此，這一史料符合人文性原則。

（四）“正弦定理”課例分析

本課例通過流星測量問題來引入正弦定理；在利用“作高法”證明正弦定理后，引入梅文鼎簡化的“同徑法”；在探究邊與對角正弦的比值時，引入韋達的“外接圓法”；最后簡要介紹了正弦定理的歷史。整節(jié)課涉及了以下史料。

1.流星測量方案。

10世紀，阿拉伯天文學家阿爾·庫希（alKuhi）曾經(jīng)提出流星的測量方案：位于不同地點的兩個測量者觀測同一顆流星，通過兩地的距離、仰角，可以求得流星距離大地的高度。

本課例中，教師將這一方案改編成流星測量問題，由此揭示了正弦定理的必要性以及數(shù)學與天文學的聯(lián)系，符合趣味性、有效性和人文性原則。

2.簡化的“同徑法”。

歷史上，正弦定理的幾何推導方法可以分為“同徑法”和“外接圓法”?！巴瑥椒ā弊钤鐬?3世紀阿拉伯數(shù)學家納綏爾?。∟asirEddin，1201～1274）和15世紀德國數(shù)學家雷格蒙塔努斯（Regiomontanus，1436～1476）所采用。17～18世紀，中國數(shù)學家家梅文鼎（1633～1721）和英國數(shù)學家辛普森（T.Simpson，1710～1761）各自獨立地簡化了“同徑法”。

這一方法使正弦定理更加直觀，促進了學生對該定理的理解，因而符合可學性與有效性原則。

3.“外接圓法”。

“外接圓法”最早為16世紀法國數(shù)學家韋達（F.Viète，1540～1603）所采用。20世紀初，“外接圓法”演化為“輔助直徑法”。

這一方法能讓學生感受數(shù)學思維的靈活多樣性，幫助學生更好地理解和掌握推廣的正弦定理（任意三角形一邊與其對角的正弦之比等于該三角形外接圓的直徑），因而符合有效性原則。

4.有關數(shù)學家。

本課例中，教師簡要介紹了正弦定理的歷史以及數(shù)學家韋達和梅文鼎的故事，揭示了數(shù)學背后的人文精神，符合人文性原則。

（五）“兩角和差的三角公式”課例分析

本課例根據(jù)古希臘數(shù)學家帕普斯的和角公式幾何模型設計一系列問題，幫助學生利用幾何圖形推導兩角和的正、余弦公式，并引導學生進一步推導兩角差的正、余弦公式；又根據(jù)韋達和差化積公式的證明，引導學生進一步證明其余和差化積公式。整節(jié)課主要采用了兩則史料。

1.和角正弦公式的推導。

3世紀末，古希臘數(shù)學家帕普斯（Pappus，3世紀末）在《數(shù)學匯編》第5卷第4部分給出了如下命題：如圖1，設H是以AB為直徑的半圓上的一點，CE是半圓在點H處的切線，CH=HE；CD和EF為AB的垂線，D、F為垂足，則（CD+EF）·CE =AB·DF。當α+β<π2時，即得圖2所示的和角公式幾何模型。

有了帕普斯的幾何模型，學生可以從直角三角形的邊角關系出發(fā)，自主得出兩角和與差的正、余弦公式。因此，這一史料促進了學生對公式的理解和記憶，符合可學性和有效性原則。

2.和差化積公式的推導。

韋達曾用幾何方法證明了和差化積公式：如圖3，在單位圓O中，有sin α+sin β=AD+CE=AF=AC·cos α-β2=2sin α+β2·cos α-β2。

韋達的方法直觀易懂，符合可學性與有效性原則。

總之，對上述五個課例所選取的數(shù)學史料的分析表明：絕大多數(shù)史料都符合學生的認知基礎；都能揭示知識的必要性，促進學生對相關知識的理解；都符合史實，有明確的文獻出處。因此，這些史料滿足可學性、有效性和科學性原則。但是，一些史料的趣味性和人文性較弱。究其原因：一方面，教師更關注數(shù)學史料對數(shù)學理解的幫助，更關注數(shù)學史料所蘊含的思想方法，而并不刻意追求趣味性和人文性；另一方面，雖然數(shù)學史料豐富多彩，但是要選擇一則同時滿足五項原則的數(shù)學史料并非易事。

本文系上海市教育科學研究重大項目“中小學數(shù)學教科書的有效設計”的子課題“中小學數(shù)學教科書中數(shù)學文化素材的案例設計”（編號：D1508）的階段性研究成果。

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