摘要：任何一道數(shù)學題目都有“條件”和“目標”兩個信息源，并且這兩個信息源之間總有差異。數(shù)學解題可以運用如下策略：目標誘導方向（明確我要干什么），條件啟發(fā)手段（分析我已經(jīng)知道什么）；實施差異分析（關注目標與條件之間有何差異），有效整合信息（尋求合適的路徑消除上述差異）。通過幾個例子，具體闡述如何運用“目標導向，差異分析”策略探求解題思路，調(diào)控、切換解題方向。

關鍵詞：數(shù)學解題條件目標差異

美國著名數(shù)學家和數(shù)學教育家G.波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數(shù)學就意味著善于解題。”對于數(shù)學教師而言，教學數(shù)學不僅意味著善于自己解題，還意味著善于引導學生解題。為此，數(shù)學教師要善于發(fā)現(xiàn)有效的解題策略（思想、方法），獲得相應的解題教學模式（理念、步驟）。

解題策略不同于解題方法，因為解題方法只是對某類問題的一種相對套路化的解題程序，尚處于對解題的識別、模仿等較低能力層級；也不同于解題思想，因為解題思想是對整個過程的宏觀把控，在解題中具有統(tǒng)領作用，但是對于具體解題思路、方向的指導性不強。從這個角度看，當解題陷入困境時，真正起作用的往往是解題策略。

基于上述認識，筆者對高中數(shù)學解題及其教學進行了一些探索與實踐，提出了“目標導向，差異分析”的解題策略，形成了相應的教學模式。

一、基本觀點

任何一道數(shù)學題目都有“條件”和“目標”兩個信息源，并且這兩個信息源之間總有差異（否則就不成為問題了）。從目標發(fā)出的信息預告須知并誘導解題方向，從條件發(fā)出的信息預示可知并啟發(fā)解題手段。解題者只需借助一些圖形或記號等對這些信息進行分析、加工，進而在兩者之間建立聯(lián)系（即消除差異）。分析、加工時，通?？梢运伎歼@樣一些問題：本題的目標是什么？得到這個目標需要什么？本題的條件是什么？根據(jù)這個條件能夠得到什么？目標和條件之間有什么差異？如何消除這些差異？……這樣對目標進行集中導向，對條件進行發(fā)散處理（如圖1所示），從而只要數(shù)種方案中有一種能夠溝通（即消除差異），問題即可獲解。

這一解題策略概括成口訣就是下面的兩句話：目標誘導方向（明確我要干什么），條件啟發(fā)手段（分析我已經(jīng)知道什么）；實施差異分析（關注目標與條件之間有何差異），有效整合信息（尋求合適的路徑消除上述差異）。

二、具體案例

“目標導向，差異分析”是一種比較有效的解題策略。下面從不同的視角，通過幾個例子進行具體的闡述。

（一）解題思路的探求

我們經(jīng)常會遇到這樣的一些問題（主要是一些情境比較新穎的問題）：題目讀完一遍（甚至幾遍）之后，仍然一頭霧水，找不到解決的突破口。此時，我們應該冷靜下來，從目標出發(fā)，逐步尋求使得目標實現(xiàn)的充分條件。

例1甲乙兩人做游戲，游戲規(guī)則是：兩人輪流從1開始連續(xù)報數(shù)，每人一次最少報1個數(shù)，最多報7個數(shù)（如，一個人先報數(shù)“1，2”，則下一個人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”七種報數(shù)方法），誰先報到100誰獲勝。如果從甲開始，那么甲要想必勝，第一次報的數(shù)應該是。

這是一個報數(shù)益智游戲。先報的人怎樣報數(shù)才能必勝呢？如果從條件入手（從1開始），分類討論模擬報數(shù)，那么情況太過復雜，幾乎不可能解。于是，我們從目標入手（以100結(jié)束），看看會有什么樣的發(fā)現(xiàn)。依題意，甲要想獲勝，必須搶到100；而要想搶到100，必須把乙可能報到的數(shù)控制在{93，94，95，96，97，98，99}范圍內(nèi)，于是必須搶到92……依此類推，必須搶到84，76，68，60，52，44，36，28，20，12，4。所以，甲要想必勝，第一次報的數(shù)應該是“1，2，3，4”。這樣，問題的解決就像抽絲剝繭一樣漸趨明朗，最終形成一個等差數(shù)列。這就是所謂的“目標導向，差異分析”策略。

（二）解題方向的調(diào)控

上述問題雖然比較常見，但是在一份試卷中畢竟是少數(shù)。我們在實際解題時遇到得更多的困惑往往是“入手還比較順利，解著解著就凌亂了”。這時，我們還是要做到“不忘初心，牢記目標”，實時調(diào)控解題的方向。

例2已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為12，且左頂點到右焦點的距離為3。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）若過點P（0，m）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，且AP=3PB，求實數(shù)m的取值范圍。

第（1）小問答案為x24+y23=1，求解非常簡單，此處不再贅述。

第（2）小問很明顯應該設直線l的斜截式方程，優(yōu)先考慮斜率不存在的情況。我們按照常規(guī)思路往前推進。

當直線l的斜率不存在時，不難得到m=±32。當直線l的斜率存在時，設其為k，由y=kx+m，

3x2+4y2=12，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，得Δ=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12）。由Δ>0，得4k2-m2+3>0，得4k2>m2-3①。設A（x1，y1）、B（x2，y2），則x1+x2=-8km3+4k2②，x1x2=4m2-123+4k2③。由AP=3PB，得-x1=3x2④。

至此，很多學生“就容易凌亂了”：這么多式子，這么多字母，怎么辦？還是要從目標入手，進行“差異分析”。目標是什么？求實數(shù)m的取值范圍。于是結(jié)合①式，需要把k用m表示。至于x1、x2，更是多余，應該用k和m換掉?？紤]到②③④這三個方程，借助方程思想，自然可以實施如下方案：

把④代入②③，可得-34km3+4k22=4m2-123+4k2，整理后得16m2k2-12k2+3m2-9=0，所以k2=9-3m216m2-12。把它代入①，可得4k2=9-3m24m2-3>m2-3，即4m2（m2-3）4m2-3< 0，解得34

（三）解題方向的切換

由于長期的解題總結(jié)，我們可能獲得了很多解題經(jīng)驗，進而形成了許多解題方法（也就是，遇到某類問題就自動化地實施某種解題程序）。這固然可以迅速切入解題實施，從而減少解題分析的時間，但是有時候也會由于缺少目標的引領，多走一些彎路。如果我們能夠拋去一些方法的束縛，仍然遵循“目標導向，差異分析”的策略，靈活切換條件的應用，確定解題的方向，或許會有新的發(fā)現(xiàn)。

例3已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，an+1=2Sn，n∈N*。

（1）{an}的通項公式為；

（2）若bn=an+log3Sn，n∈N*，則數(shù)列{bn}的前n項和為。

對于第（1）小問，由于要求的是an，而題干中同時出現(xiàn)an與Sn，我們需要消去Sn，保留an。很自然地，我們會想到利用an與Sn之間的關系an=Sn-Sn-1（n∈N*，n≥2）。于是，我們采取“遞推相減”的手段。

因為an+1=2Sn，n∈N*，所以an=2Sn-1，n∈N*，n≥2。兩式相減得an+1-an=2（Sn-Sn-1）=2an，n∈N*，n≥2，所以an+1=3an，n∈N*，n≥2。又因為a1=1，a2=2≠3a1，所以an=1，

2×3n-2，n=1；

n≥2。

對于第（2）小問，在第（1）小問已經(jīng)解決的基礎上，一種很樸素的想法是：先根據(jù)an求出Sn，進而求出bn，再求數(shù)列{bn}的前n項和。這種思路很自然，也一定行得通，但是，由于an本身是分段的，所以每次處理都得十分小心，以防出現(xiàn)錯誤。那么，有沒有更好的解決方案呢？我們還是從目標入手，進行“差異分析”。要求的是數(shù)列{bn}的前n項和，由于前面已經(jīng)求出an，現(xiàn)在只需求出Sn。這個思路應該沒有問題。但是，我們是不是只能根據(jù)an求出Sn？不一定！我們完全可以再次回到原點an+1=2Sn，換掉其中的an+1來直奔目標。具體解題過程如下：

因為an+1=Sn+1-Sn=2Sn，n∈N*，所以Sn+1=3Sn，n∈N*。又因為S1=1，所以Sn=3n-1，n∈N*。所以bn=an+log3Sn=an+n-1，n∈N*。設數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，則Tn=（a1+a2+a3+…+an）+[0+1+2+…+（n-1）]=Sn+n（n-1）2=3n-1+n（n-1）2。

可見，當題目條件中同時出現(xiàn)an與Sn時，需要利用an=Sn-Sn-1（n∈N*，n≥2）對條件進行轉(zhuǎn)化：如果要求的是an，一般采取“遞推相減”處理；如果要求的是Sn，一般可以直接代換。