何聲清，鞏子坤

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7～9年級學(xué)生概率比較的策略及其發(fā)展

何聲清1，鞏子坤2

（1．北京師范大學(xué)教育學(xué)部，北京 100875；2．杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 310036）

以204名7~9年級學(xué)生為被試考察概率比較的策略及其發(fā)展．結(jié)果表明，7~9年級學(xué)生在概率比較任務(wù)中主要表現(xiàn)出兩種正確策略和5種樸素策略．其中，正確策略如“基于精確的樣本空間”的使用頻率隨年級逐級遞增；樸素策略如“認(rèn)為概率無法預(yù)測和量化”、“基于數(shù)量或比例關(guān)系”、“第I類等可能性偏見”等的使用頻率隨年級逐級減少，而“基于模糊的樣本空間”、“第II類等可能性偏見”等的使用頻率隨年級不降反升．對教學(xué)的建議有：針對性地消除學(xué)生的錯誤策略；加強(qiáng)學(xué)生對于古典概率“理論先驗性”和“可度量性”的理解；通過直觀圖示發(fā)展學(xué)生對復(fù)雜事件概率的理解．

7~9年級學(xué)生；概率比較；策略；發(fā)展

1 研究緣起

概率素養(yǎng)（probability literacy）[1]是當(dāng)今世界公民必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，人們需要在紛繁的信息世界里辨識隨機(jī)現(xiàn)象，并對不確定性事件進(jìn)行概率比較（probability comparison）以作出合理推斷．在課程方面，概率內(nèi)容自20世紀(jì)末開始相繼進(jìn)入各國中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（如，AEC[2]，NCTM[3]）．中國2001年頒布的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》[4]也第一次將其納入義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程．2011年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》[5]進(jìn)一步對其難度和要求進(jìn)行調(diào)整，在第三學(xué)段才要求進(jìn)行概率比較．在教材方面，以人民教育出版社教材[6]（以下簡稱人教社教材）為例，該教材在九年級上冊設(shè)置了概率比較的內(nèi)容，即“用列舉法求概率”．以古典概型為例，概率比較是建立在演繹推理之上的，決策者從理論上即可構(gòu)造隨機(jī)試驗的所有可能結(jié)果進(jìn)而計算事件的概率，因而它具有先驗性．在教學(xué)方面，作為義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程新近引入的內(nèi)容，它一方面對教師的概率知識提出了一定的挑戰(zhàn)，“許多教師在其自身基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)課程中都尚未學(xué)習(xí)概率知識”[7]；另一方面，它對教師“關(guān)于學(xué)生概率認(rèn)知的知識”提出了較高的要求，教師不僅要明晰概率內(nèi)容在數(shù)學(xué)課程中的定位，還要關(guān)注學(xué)生是如何學(xué)習(xí)和理解概率的[8]．研究者曾對5~8年級（11~14歲）學(xué)生概率比較的水平進(jìn)行了初步研究[9]，結(jié)果表明，5~8年級學(xué)生概率比較的水平先后經(jīng)歷了緩慢發(fā)展、倒退發(fā)展及停滯發(fā)展3個階段，學(xué)生在較復(fù)雜的問題情境中（如“摸出2個球”）遇到了困難．然而，一個尚待解決的問題是：學(xué)生在這些問題情境中為什么遇到了困難？他們是如何進(jìn)行概率比較的？有哪些典型的樸素策略？這些策略是如何發(fā)展的？這里將對以上問題進(jìn)行考察，為概率內(nèi)容的課程及教學(xué)設(shè)計提供參考．

2 研究設(shè)計

2.1 研究對象

研究以北京市某學(xué)校7-9年級的204名學(xué)生（7年級69人，8年級74人，9年級61人）為被試，其中男性被試113人，女性被試91人．所有被試采用四位數(shù)（即，ABCD）進(jìn)行編碼．A表示年級（7、8、9）、B表示性別（1代表男性，2代表女性）、CD表示被試的序號．例如9113號，表示該被試是9年級男性13號被試．

2.2 研究材料

測試材料共設(shè)計了5個“球—盒模型”概率比較的題目．“球—盒模型”在考察中小學(xué)生概率認(rèn)識方面有諸多優(yōu)點：一方面摸球游戲?qū)τ趦和允潜容^熟悉的，另一方面摸球模型可以避免日常模型（如，下雨、陰天）的不規(guī)范．在“球—盒模型”中，常常按照“摸出球的個數(shù)”區(qū)分出“摸出1個球”和“摸出2個（或多個）球”等問題情境．研究[9]表明，學(xué)生在“摸出1個球”的問題情境中往往有較好的表現(xiàn)，而在“摸出2個球”的問題情境中則遇到了困難．據(jù)此，該研究的測試僅考慮“摸出2個球”的問題情境．各題目按照“球的顏色種類”、“球的總數(shù)”及“盒子個數(shù)”等變量設(shè)置情境．測試題目的結(jié)構(gòu)如表1所示．

2.3 研究方法

研究采用問卷調(diào)查和訪談相結(jié)合的方法．研究者在問卷中不僅要求被試對事件的概率進(jìn)行比較，還要求其詳細(xì)寫出理由．在訪談環(huán)節(jié)，選取了持典型策略的被試進(jìn)行深入交流，詳細(xì)了解概率比較時的思維過程．

每個題目的T1按照0、1兩級計分，正確記1分，錯誤記0分；關(guān)于T2的編碼，研究者首先對被試的理由進(jìn)行定性分析，概括出典型的策略類型，然后對不同策略按類別進(jìn)行編碼．

以Cronbach系數(shù)為指標(biāo)，對各題目T1的內(nèi)部一致性進(jìn)行了分析．結(jié)果表明，該問卷具有較高的同質(zhì)性信度（=0.812）．

3 結(jié)果與分析

3.1 7~9年級學(xué)生概率比較的策略類型及其分布

兒童在概率比較任務(wù)中共表現(xiàn)出7種主要的策略（該7種策略是學(xué)生作答中典型的或者頻率較高的策略．除此之外，尚有16.27%的其它作答（如，基于主觀猜測、無關(guān)或空白作答，等）在此未作討論）．其中正確策略兩種，樸素策略5種．對T1的得分率和T2的正確策略率進(jìn)行了對比（表2）．結(jié)果表明，各年級學(xué)生在各道題目上的T1得分率均明顯高于T2的正確策略使用頻率．換言之，7~9年級學(xué)生在概率比較任務(wù)中正確策略的使用頻率不高（僅20.98%），然而盡管如此，學(xué)生的得分率均值（40.1%）卻高于正確策略的使用頻率近一倍．這說明，即使學(xué)生尚未發(fā)展正確的概率比較策略，他們也能做出正確判斷．這直觀地說明，在所有能作出T1正確結(jié)果的學(xué)生中，有一半是基于其它策略（樸素策略甚至錯誤策略）進(jìn)行判斷的．具體數(shù)據(jù)見表2．

表1 測試題目的結(jié)構(gòu)

注：各題目題干均是“1個（2個）不透明的盒子里（分別）有×個白球、×個黑球和（和×個綠球），它們除顏色外都相同．閉上眼睛，搖一搖盒子后，從盒子里摸出2個球（各摸出1個球）．

表2 被試T1任務(wù)得分率與T2任務(wù)正確策略使用頻率（%）的對比

為了證實這一點，該研究以兩種正確策略為預(yù)測因子對學(xué)生“概率比較”得分進(jìn)行回歸分析．兩因子的共線性系數(shù)值為0.981，值為1.019，表明推翻共線性假設(shè)，二者適合作為獨立預(yù)測因子．在模型匯總（表3）中，調(diào)整后的2（57%）與樣本報告的2（57.4%）差別不大，說明樣本和總體的擬合較好，模型能夠解釋57%的變異．(2, 201)=135.675（＜0.001），表明模型可接受．

表3 模型匯總b

注：a. 預(yù)測變量：（常量），分步試驗法，基于精確的樣本空間策略；b. 因變量：“概率比較”得分水平

以上分析表明，學(xué)生T1的得分率均值較低（40.1%），在這些能夠正確作答的學(xué)生中，僅一半學(xué)生使用了正確的策略．換言之，如果把“是否采用了正確的策略”作為“學(xué)生概率比較能力”的判斷標(biāo)準(zhǔn)，近80%的7~9年級學(xué)生尚未發(fā)展正確的策略．需要指出的是，9年級被試尚未學(xué)習(xí)（在進(jìn)行該測試時，被試尚未學(xué)習(xí)到“概率初步”章節(jié)）“用列舉法求概率”，該年級學(xué)生正確策略的使用頻率也不高．

（1）正確的策略．

基于精確的樣本空間（17.87%），是指構(gòu)造試驗的所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合，并據(jù)此計算事件的概率．對于古典概型而言，樣本空間是概率比較的前提：在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，試驗的所有可能結(jié)果的個數(shù)叫做樣本空間（記為），事件A包含的可能結(jié)果個數(shù)記為，則事件A發(fā)生的概率(A)=/．在古典概型（如“球—盒模型”）中，各事件的概率是可以通過理論計算的，因而它具有先驗性，包含了一定的推理成分．因此，基于樣本空間策略代表了學(xué)生思維的較高層次．以Q2為例，被試8209認(rèn)為“1個黑球和1個白球”的可能性大，因為“1個黑球和1個白球占的可能性為2/3，2個白球的可能性為1/6，2/3比1/6大，1個黑球和1個白球的可能性就大”．

分步試驗法（3.11%），是指用“慢動作”設(shè)想摸球的過程，把事件分解為一系列子事件加以模擬．在不放回試驗中（如該研究中的Q1~Q5），把“同時摸出2個球”分解為“先摸出1個球，再摸出1個球”，對于結(jié)果的判斷沒有影響．事實上，將“同時摸球”分解為“先后摸球”更易于學(xué)生理解．因為在組合運算中，盡管它對“組合的結(jié)果”的順序不作要求，但是按照一個邏輯清晰的順序進(jìn)行組合會避免重復(fù)或遺漏的情況，進(jìn)而能夠準(zhǔn)確列舉試驗的所有可能結(jié)果．以Q2為例，被試8113（如圖1）認(rèn)為“1個黑球和1個白球”的可能性大，“因為先摸出1個球，如果是白球，則摸到另1個白球的可能性占1/3，黑球的可能性為2/3；如果是黑球，摸到白球的可能性占2/3．綜合分析，摸出‘1個黑球和1個白球’的可能性大”．

圖1 “分步試驗法”思維過程模擬

在該題中，“分步試驗法”不僅具有合理性，也符合學(xué)生的思維水平．在訪談中，對被試8113的回答提出了追問：“題目要求的是‘同時’摸出2個球，你這樣是分開摸的，不是嗎？”被試8113解釋道：“我把手伸進(jìn)去一個一個地摸球，拿出來的時候我同時拿出來就好了．”

需要指出的是，兒童的策略常常是不穩(wěn)定的．例如，被試8226認(rèn)為，“有可能第一次摸到白的，第二次就摸到黑的，因為黑的比白的幾率多，但不排除會摸到白球的可能；如果第一次摸到黑的，第二次白比黑幾率多，但也不排除摸到黑球的可能．”該被試盡管對“摸出2個球”的動作進(jìn)行了分解，在“摸出第1個球”時也進(jìn)行了分類討論，然而在最終決策時遇到了困難：她沒有意識到，如果第一次摸出的是白球，第二次摸出黑球的理論概率比摸出白球的大；同理，如果第一次摸出的是黑球，第二次摸出白球的理論概率比摸出黑球大．這表明，兒童盡管具備了樸素的理論概率思維，然而其不良的直覺干擾了其概率決策．

（2）樸素的策略．

等可能性偏見[10]（22.98%），是指把“所有結(jié)果都有可能發(fā)生”泛化理解為“所有結(jié)果的發(fā)生都是有可能的，并且發(fā)生的可能性相等”．進(jìn)一步，有研究[11]把該策略劃分為兩種具體的表現(xiàn)形式．這在該研究中也得到了證實，為了討論方便，把這兩種形式稱為第I類等可能性偏見和第II類等可能性偏見．前者認(rèn)為所有事件的可能性大小是“相等的”且均為50%；后者也認(rèn)為事件的所有可能性大小是“相等的”且均為1/（是指其列舉的所有可能結(jié)果個數(shù)）．

以Q2為例，被試7123認(rèn)為“1個黑球和1個白球”與“2個白球”的可能性一樣大，因為“摸出1個黑球和1個白球是50%，摸出兩個白球也是50%”．被試9102也認(rèn)為二種情況的可能性一樣大，但給出了不同的解釋，“因為有3種可能，因此‘1個黑球和1個白球’和‘2個白球’的可能性一樣大，1/3=1/3”．不難發(fā)現(xiàn)，前者是第I類等可能性偏見，后者是第II類等可能性偏見．進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，7~9年級學(xué)生第I類等可能性偏見和第II類等可能性偏見的使用頻率分別為13.29%和9.69%．這表明，持有第I類等可能性偏見的學(xué)生比例要比持有第II類等可能性偏見的學(xué)生比例更高．

基于數(shù)量或比例關(guān)系（20.77%），是指依據(jù)球的數(shù)量、比例（比率）判斷概率大小及比較概率．以Q2為例，被試7109認(rèn)為“1個黑球和1個白球”與“2個白球”的可能性一樣大，“因為盒子里裝的白球和黑球的數(shù)量均勻”．

需要指出的是，在“摸出1個球”試驗中，基于數(shù)量或比例關(guān)系基本可視為一種較規(guī)范的策略．因為所有的可能結(jié)果數(shù)恰好是球的總個數(shù)，抽取的樣本即是“1”，不需要進(jìn)行組合運算．然而，對于“摸出2個球”試驗，這顯然是一種錯誤的策略．因為決策者需要進(jìn)行組合運算，樣本的形態(tài)也變成一個“組合”，僅僅從單一的球的個數(shù)去解釋事件的概率是沒有理解“樣本”的表現(xiàn)．

認(rèn)為概率無法預(yù)測和量化[12]（8.57%），認(rèn)為概率是不可預(yù)測和比較的．以Q2為例，被試7130無法對事件的概率大小做出判斷，因為“都有可能但不能準(zhǔn)確確定．”被試7229則認(rèn)為：“人類目前還沒有可以預(yù)知未來的能力，所以我不確定．”

基于模糊的樣本空間[9]（5.6%），是指將外部特征相同的樣本合并為一種情況，該策略具體表現(xiàn)為兩種形式．為了討論方便，將其區(qū)分為第I類模糊的樣本空間和第II類模糊的樣本空間．以Q2為例，被試9132認(rèn)為“1個黑球和1個白球”與“2個白球”的概率一樣大，“因為只有3種可能，黑白、白白、黑黑”（第I類模糊的樣本空間）．被試7241則認(rèn)為“1個黑球和1個白球”的概率大，“因為1黑1白有黑白、白黑兩種可能，白白是有1種可能”（第II類模糊的樣本空間）．需要指出的是，盡管后者能夠使被試在概率比較時做出正確判斷，但這種策略和前者一樣，均沒有窮盡事件的所有可能結(jié)果，因此不是正確的策略．

局部的分步試驗法（4.66%），是指在列舉事件的“組合結(jié)果”時表現(xiàn)出了“分步”的思想，但沒有窮盡所有可能的結(jié)果．實際上，在“分步”過程中，“第1步”之前的工作是“分類”，即第1步本身有多種可能性．而學(xué)生常常忽略了第1步結(jié)果的多種可能性．該策略的局限在于，它對于概率比較任務(wù)“時靈時不靈”，取決于其“第1步”的假設(shè)．以Q2為例，被試8232認(rèn)為“1個黑球和1個白球”的概率大，“因為肯定要摸1個白球，所以把它排除了．就剩下兩個黑球1個白球，摸到黑球的幾率是2/3，白球是1/3．1/3＜2/3，所以摸1個黑球和1個白球的可能性大．”實際上，該被試對Q2的題意進(jìn)行了如下轉(zhuǎn)化：既然“白球”在上述兩種情況中都有，因此把白球“固定”（第一步先想象摸出白球），接下來只需判斷第2步是黑球的概率大還是白球的概率大．然而，這種轉(zhuǎn)化忽略了“第1步是黑球”的可能性，它并不是一直有效．該被試在Q1作答中的類似理由就顯得蒼白無力，“我認(rèn)為二者的可能性一樣大，因為一共3個球，肯定要拿到一個白球，那就把它排除掉，就剩下1白1黑，被拿到的幾率都是1/2，所以可能性一樣大．”該被試認(rèn)為“肯定要拿到一個白球”，先入為主地把“第1步”的結(jié)果限定為“只能是白球”，這顯然忽略了另一種可能性，而導(dǎo)致了錯誤的判斷．

3.2 7~9年級學(xué)生概率比較策略的發(fā)展

對7~9年級學(xué)生各策略的使用頻率進(jìn)行了統(tǒng)計（圖2）．由于部分策略的使用頻率在各年級中均不高，以下僅對主要的策略發(fā)展作討論．

（其中：策略1，認(rèn)為概率無法預(yù)測和量化；策略2，基于數(shù)量或比例關(guān)系；策略3，基于模糊的樣本空間；策略4，分步試驗法；策略5，基于精確的樣本空間；策略6，局部的分步試驗法；策略7，等可能性偏見）

（1）認(rèn)為概率無法預(yù)測和量化．7、8年級學(xué)生有近12%的被試認(rèn)為概率是無法預(yù)測和量化的；9年級學(xué)生在這一策略上的比例明顯減少（不足2%）．

（2）基于數(shù)量或比例關(guān)系．7年級學(xué)生關(guān)于這一策略的比例較高（近30%），8、9年級學(xué)生在此策略上的比例則顯著下降了近一半（15%左右）．

（3）基于模糊的樣本空間．7、8及9年級學(xué)生此策略的使用頻率分別為5.48%、2.46%和8.86%，9年級學(xué)生在此策略上的使用頻率不降反升．這表明這一樸素策略比較頑固，難以消除．

（4）分步試驗法和局部的分步試驗法．學(xué)生在此策略上的使用頻率一直不高，但學(xué)生在沒有學(xué)習(xí)“列舉法求概率”的情況下能夠使用該策略，足以說明了學(xué)生的創(chuàng)造力，以及該策略對學(xué)生而言是有效的．當(dāng)然，學(xué)生在分步的過程中常常忽略第1步的多種可能性，從側(cè)面反映了其尚缺乏分類討論的思想，這需要在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中加以滲透．

（5）基于精確的樣本空間．該策略的使用頻率在7、8及9年級被試中逐級遞升（分別為9.82%、16.24%及27.56%），這說明隨著對隨機(jī)性和概率內(nèi)容認(rèn)識的加深，學(xué)生越來越好地掌握了概率比較策略．

（6）等可能性偏見．總體而言，學(xué)生在該策略的使用頻率始終處于較高水平（23%左右），且比較頑固，難以消除．這也得到了已有研究[10]的支撐．進(jìn)一步對兩類等可能性偏見的發(fā)展進(jìn)行了深入分析．可以發(fā)現(xiàn)，在7、8及9年級被試中，第I類等可能性偏見的使用頻率是逐漸減少的（分別為14.76%、14.6%及10.5%），而第II類等可能性偏見的使用頻率是逐漸增加的（分別為7.5%、9.76%及11.8%）．

4 討論與建議

4.1 針對性地消除學(xué)生的錯誤策略

學(xué)生在面臨概率問題時已然形成和發(fā)展了諸多經(jīng)驗或信念[13]，學(xué)生在正式學(xué)習(xí)概率比較相關(guān)內(nèi)容之前所持有的“非正式知識”[14]往往偏離了概率問題的實質(zhì)，需要在教學(xué)中予以糾正．在兒童的認(rèn)知發(fā)展進(jìn)程中，始終存在一些頑固的、難以消除的錯誤策略（如，第II類等可能性偏見），而糾正這些策略有一定難度，這需要研究者在教學(xué)以及后續(xù)研究中持續(xù)關(guān)注[15~21]．

4.2 幫助學(xué)生建立可靠的數(shù)學(xué)模型

在正式學(xué)習(xí)概率內(nèi)容之前，學(xué)生的認(rèn)識不是一塊白板，他們已經(jīng)發(fā)展了某種程度的前概念．第一，加強(qiáng)學(xué)生對于古典概率“理論先驗性”和“可度量性”的理解．研究中，一些被試認(rèn)為概率不能被預(yù)測和量化，堅信它和運氣沒有差別且無規(guī)律可循，想要度量和預(yù)測機(jī)會是不可能的．教學(xué)需要幫助其及時擺脫這種樸素信念，引導(dǎo)其認(rèn)識到理論概率的先驗性和可度量性．第二，通過直觀圖示發(fā)展學(xué)生對復(fù)雜事件概率的理解．學(xué)生在“摸出2個球”問題情境中進(jìn)行概率比較時遇到了困難，而這些困難一方面源于其無法處理重復(fù)樣本，一方面源于其難于列舉所有的可能結(jié)果[9]．也因如此，他們在概率比較時表現(xiàn)出種種錯誤策略及不良直覺．為此，建議教學(xué)嘗試設(shè)計直觀圖示幫助學(xué)生建立可靠的概率比較模型，充分發(fā)揮樹狀圖、二維表及模擬重復(fù)試驗等直觀方法在學(xué)生發(fā)展概率思維中的作用．

5 不足與展望

研究的被試僅從北京市一所學(xué)校選取，研究結(jié)果的代表性存在一定局限．后續(xù)研究將對學(xué)生概率比較的具體策略進(jìn)行更深入的考察，如等可能性偏見在不同復(fù)雜程度問題中的表現(xiàn)及其潛在原因，等等．

致謝：感謝北京市民族學(xué)校黃兵彥老師在數(shù)據(jù)收集及北京師范大學(xué)劉夢靈同學(xué)在數(shù)據(jù)錄入方面所做的工作．

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[17] 史寧中．試論數(shù)學(xué)推理過程的邏輯性——兼論什么是有邏輯的推理[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（4）：1-16．

[18] 朱哲民，賈冰．?dāng)?shù)學(xué)探究教學(xué)SIRA評價標(biāo)準(zhǔn)建立的嘗試[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（1）：57-60．

[19] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（3）：1-5．

[20] 喻平．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實證研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（6）：1-6．

[21] 陳蓓．課例研究與教師數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識（MPCK）的發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（4）：74-78．

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Probability Comparison Strategy and Its Development for 7-9th Students

HE Sheng-qing1, GONG Zi-kun2

(1. Faculty of Education, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. Faculty of Science, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 310036, China)

This study selected 204 7thto 9thgraders as the subjects and focused on strategy and its development on the topic of probability comparison. The study showed that 2 correct and 5 informal strategies were typically used in the probability comparison questions, among which “based on accurate sample space” strategy was developed with grade while some informal strategies (e.g. holding that probability is unpredictable, based on the number relationship, equiprobability bias I) could be eliminated, but still, other informal strategies (e.g. based on partial sample space, equiprobability bias II) were so stubborn that difficult to be eliminated. Suggestions to teaching werere: Eliminating students’ errors gradually and systematically; Strengthening students’ understanding of the “theoretical” and “computability” of probability; Developing students’ understanding of complex probability using visual representations.

7thto 9thgraders; probability comparison; strategy; development

G632

A

1004–9894（2017）02–0041–05

2017–01–09

教育部人文社會科學(xué)研究規(guī)劃基金項目——6—15歲兒童的概率概念認(rèn)知策略及其發(fā)展研究（15YJA880020）；北京師范大學(xué)教育學(xué)部博士生項目——7~9年級學(xué)生的概率素養(yǎng)及其發(fā)展研究（15秋-03-13）

何聲清（1988—），男，安徽安慶人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．