吳 駿

?

基于HPM教學(xué)的學(xué)生認(rèn)知發(fā)展個案研究

吳 駿

（云南師范大學(xué)初等教育學(xué)院，云南昆明 650092）

數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史是一個重要的研究課題．在八年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，進(jìn)行數(shù)學(xué)史融入統(tǒng)計(jì)概念教學(xué)的實(shí)驗(yàn)研究，選取6名學(xué)生作為個案研究對象，對其認(rèn)知發(fā)展進(jìn)行定性分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：參與研究的5名學(xué)生的認(rèn)知水平得到明顯提高，而有1名學(xué)生的認(rèn)知依舊停留在原有的水平．研究表明，數(shù)學(xué)史融入統(tǒng)計(jì)教學(xué)加強(qiáng)了學(xué)生對統(tǒng)計(jì)概念的理解，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展，不過，并非所有學(xué)生的認(rèn)知水平都得到明顯提升，可能某些學(xué)生收效甚微．

HPM；認(rèn)知發(fā)展；個案研究；SOLO分類法

1 問題提出

數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性歸根到底要經(jīng)過課堂實(shí)踐的檢驗(yàn)．因此，HPM的一項(xiàng)重要研究工作就是教學(xué)實(shí)驗(yàn)．其中，關(guān)于學(xué)生情感變化的研究比較多，所得結(jié)論大多是正面的，得到了人們的普遍認(rèn)可；相對于情感方面，如何檢測認(rèn)知范疇的實(shí)驗(yàn)效果是重要的，也是比較困難的．近年，國內(nèi)外一些學(xué)者考察了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)，對學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知產(chǎn)生的影響[1~4]，但研究涉及的學(xué)科領(lǐng)域和研究對象都很有限，還缺乏更多關(guān)于學(xué)生認(rèn)知方面的實(shí)證研究．Kjeldsen在2012年HPM大會報告中指出，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有兩個核心問題：如何融入數(shù)學(xué)史更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)；如何使用數(shù)學(xué)史素材幫助學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生的歷史意識．可見，尋找數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的切入點(diǎn)，使之能夠提高教學(xué)效率正是人們最為關(guān)心的問題[5]．

在統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的教學(xué)中，統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算相對簡單，但要真正理解其意義卻是困難的[6~9]．已有研究表明，學(xué)生對統(tǒng)計(jì)概念的理解具有一定的歷史相似性[10]，這進(jìn)一步支持了教師在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)．以八年級平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等概念為具體教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行HPM教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，采用個案研究的方法，考察HPM教學(xué)促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的效應(yīng)．

2 研究方法

2.1 研究對象

Barbin和Groth等人指出，在數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，考察學(xué)生思維水平的研究應(yīng)該采用質(zhì)性的研究方法[11]．為了分析學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的變化，選取某中等城市的一所初中學(xué)校八年級兩個班的學(xué)生作為研究對象，在教學(xué)實(shí)驗(yàn)前后對這兩個班級的學(xué)生進(jìn)行測試，采用目的性抽樣的方法訪談了20名學(xué)生，從中選取6名學(xué)生作為個案研究對象．在教學(xué)實(shí)驗(yàn)前對學(xué)生進(jìn)行測試，界定其認(rèn)知水平，HPM教學(xué)實(shí)驗(yàn)之后，再次測定其認(rèn)知水平，并分析認(rèn)知水平的提升與HPM教學(xué)的關(guān)系．

2.2 教學(xué)案例

采用以下方法設(shè)計(jì)教學(xué)案例：（1）直接采用歷史上的數(shù)學(xué)問題和解法，如古印度人估計(jì)大數(shù)的故事、《九章算術(shù)》中的平分術(shù)、估計(jì)船員人數(shù)問題、貨幣檢查箱的故事、中位數(shù)的歷史起源、利用指南針確定航海位置、數(shù)城墻磚塊數(shù)目，等等；（2）根據(jù)歷史材料，編制數(shù)學(xué)問題，如估計(jì)數(shù)學(xué)測驗(yàn)的總分、尋找質(zhì)點(diǎn)中位數(shù)、鞋子的顏色、員工工資問題、你是“平均學(xué)生嗎”？身高和體重的問題．（3）在現(xiàn)代情境下，選用體現(xiàn)歷史發(fā)生思想的數(shù)學(xué)問題，如帽子平均數(shù)問題、公共汽車載客量問題、獻(xiàn)愛心捐款活動[12]．

對于數(shù)學(xué)史的運(yùn)用，數(shù)學(xué)教學(xué)中所追求的不應(yīng)是真實(shí)歷史的簡單重現(xiàn)，而應(yīng)是歷史的適當(dāng)重建，這就是指，數(shù)學(xué)史的適當(dāng)“改造”應(yīng)看成是數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的一個基本途徑[13]．由于學(xué)生缺乏統(tǒng)計(jì)概念的歷史背景知識，他們也擁有前人未知的一些知識，因此，研究中更多地采用后兩種方法設(shè)計(jì)教學(xué)案例，注重把歷史現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為有意義的教學(xué)現(xiàn)象．

2.3 測試工具

在Watson、Zawojewski、Marnich、曲元海等人研究的基礎(chǔ)之上[8，14~16]，把學(xué)生對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解劃分成本意理解、選擇使用和問題解決3種水平，并編制了兩套平行試卷，分為前測和后測，在教學(xué)實(shí)驗(yàn)前后進(jìn)行測試，測試題的歸類和數(shù)量如表1所示．兩份問卷設(shè)計(jì)完畢之后，分別寄給不同的專家征求意見．試測之后，對題目又作了一些修改才正式施測．

表1 前后測試題的水平及其數(shù)量

2.4 數(shù)據(jù)處理

Groth和Bergner在考察小學(xué)職前教師對統(tǒng)計(jì)概念的理解時，采用SOLO水平的分析框架：單一結(jié)構(gòu)水平（U）、多元結(jié)構(gòu)水平（M）、關(guān)聯(lián)水平（R）、拓展抽象水平（E）[11]．Watson和Moritz研究學(xué)生對平均數(shù)理解的縱向發(fā)展時，把SOLO分類法劃分為6個水平：（1）前結(jié)構(gòu)水平；（2）單一結(jié)構(gòu)水平；（3）多元結(jié)構(gòu)水平；（4）表征水平；（5）應(yīng)用水平1；（6）應(yīng)用水平2[17]．

在測試和訪談中發(fā)現(xiàn)，有相當(dāng)一部分學(xué)生的認(rèn)知水平介于多元結(jié)構(gòu)水平和關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平之間，為了更好地區(qū)分這些學(xué)生的認(rèn)知水平，有必要在其間設(shè)立過渡水平，也可稱為前關(guān)聯(lián)水平，用T表示．另外，為了更好地考察學(xué)生對統(tǒng)計(jì)量的運(yùn)用，把該階段分為兩個應(yīng)用水平A1和A2，具體描述見表2．測試題也劃定了最高限度水平，見表3．學(xué)生對統(tǒng)計(jì)概念的理解，單從測試卷的回答中很難準(zhǔn)確判斷學(xué)生達(dá)到的認(rèn)知水平，因此，結(jié)合測試之后的訪談，從總體上界定學(xué)生達(dá)到的認(rèn)知水平．

表2 學(xué)生對集中量數(shù)認(rèn)知水平的描述

表3 每道題目的最高限度水平

3 結(jié)果與分析

3.1 教學(xué)實(shí)驗(yàn)前學(xué)生的認(rèn)知水平

教學(xué)實(shí)驗(yàn)前對兩個班學(xué)生進(jìn)行測試和訪談，按照學(xué)生認(rèn)知水平的人數(shù)比例來劃分個案研究人數(shù)，即U水平的1人，M、T水平各2人，R水平1人，如表4所示．以下以江同學(xué)、尹同學(xué)、陳同學(xué)和柳同學(xué)為例，逐一分析他們教學(xué)實(shí)驗(yàn)前后達(dá)到的認(rèn)知水平．

表4 前測中學(xué)生的認(rèn)知水平

前測及訪談結(jié)果表明：江同學(xué)能夠從總體上理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)是表示集中趨勢的統(tǒng)計(jì)量，認(rèn)識到平均數(shù)比中位數(shù)更易受極端值的影響，能夠正確選擇使用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，其認(rèn)知水平達(dá)到R水平．以下是其中的一段訪談：

研究者：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這3個概念有什么共同的特征嗎？

江同學(xué)：代表平均水平．

尹同學(xué)了解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念，但不清楚它們的用途，還存在一些錯誤認(rèn)識，如高于平均數(shù)就表示超過了一半的人數(shù)（如下述第1題），平均數(shù)應(yīng)該具有實(shí)際意義等，她僅達(dá)到U結(jié)構(gòu)水平．

第1題．有19位同學(xué)參加歌詠比賽，所得的分?jǐn)?shù)互不相同，取得分?jǐn)?shù)排在前10名的同學(xué)進(jìn)入決賽，某同學(xué)知道自己的分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，他需要知道這19名同學(xué)比賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)還是眾數(shù)？說明理由．

研究者：你為什么選擇平均數(shù)？

尹同學(xué)：要把所有的成績用上，就要計(jì)算平均數(shù)．

研究者：知道了平均數(shù)又如何呢？

尹同學(xué)：高于平均分就進(jìn)入決賽．

陳同學(xué)基本能理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的概念，能夠運(yùn)用這3個概念去解決相關(guān)問題（如下述第2題），但還存在一些模糊認(rèn)識，如平均數(shù)就是大多數(shù)等，還不能從總體上把握它們的特征，他的認(rèn)知水平為M水平．

第2題．某班學(xué)生去登山，他們順著臺階拾級而上，每個同學(xué)邊爬邊數(shù)臺階，最后每個同學(xué)都得到一個數(shù)字，則臺階級數(shù)可以由這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個表示出來？說明理由．

陳同學(xué)認(rèn)為，數(shù)臺階一個比較簡單的問題，每個人數(shù)的臺階數(shù)不會差異太大，出現(xiàn)次數(shù)最多的就是正確的，也就是由眾數(shù)來確定臺階級數(shù)是合理的．中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間的數(shù)，不一定是正確的．如果使用平均數(shù)，那么有些人數(shù)的多了，有些人數(shù)的少了，會對平均數(shù)的計(jì)算產(chǎn)生影響，而且平均數(shù)還可能是一個小數(shù)，就更無法表示臺階數(shù)了．

柳同學(xué)能用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)去解決簡單問題，對概念的本意理解有了一些正確的認(rèn)識（如下述第3題），但她還沒有認(rèn)識到這3個概念的代表性特征，她的認(rèn)知水平達(dá)到T水平．

第3題．一個教師為了調(diào)查某鎮(zhèn)每個家庭的平均孩子數(shù)，他數(shù)出這個鎮(zhèn)上所有的孩子個數(shù)，然后再除以家庭總數(shù)50，得到每個家庭的平均孩子數(shù)為2.2．

柳同學(xué)對這個問題的一些認(rèn)識：平均數(shù)為2.2并不一定代表有一半家庭孩子個數(shù)超過2個；有3個孩子的家庭不一定比有2個孩子的家庭多；平均數(shù)并不代表精確值，即2.2為平均值，不具有實(shí)際意義；孩子總數(shù)除以50等于2.2，則孩子總數(shù)為2.2×50=110．

3.2 教學(xué)實(shí)驗(yàn)后學(xué)生的認(rèn)知水平

在第二次訪談中，關(guān)注數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)之后，學(xué)生在哪些方面取得了進(jìn)步，以及產(chǎn)生進(jìn)步的原因．后測及訪談結(jié)果表明：

江同學(xué)進(jìn)一步鞏固了對這3個概念的理解，對概念的選擇使用有了較大的進(jìn)步，她成功地解決了后測中的兩個復(fù)雜問題，認(rèn)知水平達(dá)到了A2水平．以下是江同學(xué)對第5題回答的訪談：

第5題．某電影院5天的觀眾分別為：72人、97人、70人、71人、100人，求出平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，你認(rèn)為用哪一個數(shù)能更好地反映這5天每天看電影的觀眾人數(shù)？說明理由．

研究者：你答題時說取平均數(shù)誤差小，為什么？

江同學(xué)：因?yàn)樗愠鰜淼钠骄鶖?shù)為82，在這組數(shù)據(jù)中處于中間位置，它與97和100的差距較小，因此選擇平均數(shù)．

研究者：為什么不選擇中位數(shù)？

江同學(xué)：中位數(shù)72與97和100的差距較大，故不用．

江同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述如表5所示．

尹同學(xué)能利用這3個概念去解決簡單問題，但還存在一些模糊認(rèn)識，不了解這3個概念能夠表示數(shù)據(jù)的集中情況，不能區(qū)分平均數(shù)和中位數(shù)的選擇使用，她的認(rèn)知水平僅達(dá)到M水平．

研究者：平均數(shù)和中位數(shù)有什么區(qū)別？

尹同學(xué)：平均數(shù)表示平均情況，中位數(shù)表示中間位置的數(shù)．

研究者：平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)這3個概念反映了一組數(shù)據(jù)的什么特征？

尹同學(xué)：總體情況．

尹同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述如表6所示．

陳同學(xué)不能區(qū)分平均數(shù)和中位數(shù)的使用，僅知道平均數(shù)易受極端值的影響，而不清楚中位數(shù)不易受極端值的影響，對中位數(shù)的運(yùn)用僅限于尋找中間位置．他并未理解這3個數(shù)都是表示集中趨勢的量，也不能區(qū)分它們之間的選擇使用，他的認(rèn)知水平仍然停留在原來的M水平．以下是陳同學(xué)對第4題回答的訪談：

第4題．某人11天看電視的時間分別為：45，256，52，45，57，48，67，66，58，55，17（單位：分鐘），用平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中的哪一個數(shù)最能描述他看電視的時間？說明理由．

研究者：這組數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)？

陳同學(xué)：沒有看出來．

研究者：什么情況下選用中位數(shù)？

陳同學(xué)：尋找中間位置的時候．

陳同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述如表7．

表5 江同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述

表6 尹同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述

表7 陳同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述

柳同學(xué)已經(jīng)認(rèn)識到這3個概念表示數(shù)據(jù)的平均水平，認(rèn)識到一組數(shù)據(jù)中存在極端值的情況下要用中位數(shù)，而且在下述第7題中能利用“減多益少”的方法解決單個復(fù)雜問題，她的認(rèn)知水平達(dá)到A1水平．

第7題．有7幢建筑物的高度如圖1所示（單位：米）．問：請你估計(jì)它們的平均高度是多少？說明你是如何估計(jì)這個高度的．

研究者：如何估計(jì)建筑物的高度？

柳同學(xué)：把第2幢建筑多的部分補(bǔ)到第1幢上，再把第5幢多余的部分補(bǔ)到第3、6和7幢上．我估計(jì)建筑物的高度為26米．

柳同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述如表8所示．

圖1 建筑物的高度

3.3 教學(xué)實(shí)驗(yàn)前后學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的比較

教學(xué)實(shí)驗(yàn)前后學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平見表9所示．研究表明，參與數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的5名學(xué)生明顯加強(qiáng)了對平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的理解，其中1名學(xué)生發(fā)展到研究劃分的最高認(rèn)知水平，另外4名學(xué)生的認(rèn)知水平也分別提高1~3個層次不等．然而，數(shù)學(xué)史融入統(tǒng)計(jì)教學(xué)的效果也并非都是明顯的，有1名學(xué)生的認(rèn)知水平依舊停留在原有的水平．通過對學(xué)生認(rèn)知發(fā)展原因的探究，發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生的進(jìn)步記錄都與研究設(shè)計(jì)的教學(xué)案例有關(guān)．盡管有一名同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展并不顯著，但從他的認(rèn)知發(fā)展概述中可以看出，他已經(jīng)認(rèn)識到眾數(shù)可以表示非數(shù)字類型，中位數(shù)把數(shù)據(jù)分成個數(shù)相等的兩半，其驅(qū)動力正是研究設(shè)計(jì)的教學(xué)案例．

4 結(jié) 論

研究結(jié)果表明，數(shù)學(xué)史融入統(tǒng)計(jì)教學(xué)加強(qiáng)了學(xué)生對統(tǒng)計(jì)概念的理解，促進(jìn)了學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展．不過，當(dāng)把融入數(shù)學(xué)史作為一種教學(xué)手段時，并非所有學(xué)生的認(rèn)知水平都得到明顯提升，可能某些學(xué)生收效甚微，但利用數(shù)學(xué)史素材設(shè)計(jì)的教學(xué)案例，可能也為學(xué)生創(chuàng)造了一種積極和有效的學(xué)習(xí)環(huán)境．需要注意的是，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)是一個長期回應(yīng)的過程，很難在短期產(chǎn)生明顯的效果，不能奢望學(xué)生在一夜之間獲得較高的考試分?jǐn)?shù)，但它確實(shí)可以讓學(xué)生體驗(yàn)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個有意義的、充滿活力的過程，從而使學(xué)習(xí)變得更容易和更深入．

表8 柳同學(xué)的認(rèn)知發(fā)展概述

表9 教學(xué)實(shí)驗(yàn)前后學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的比較

注：*表示前測認(rèn)知水平，**表示后測認(rèn)知水平

[1] Furinghetti F. History of Mathematics, Mathematics Education, School Practice: Case Studies Linking Different Domains [J]., 1997, 17(1): 55-61.

[2] Kidron I. Polynomial Approximation of Functions: Historical Perspective and New Tools [J]., 2003, (8): 299-331.

[3] Reed B M. The Effects of Studying the History of the Conception of Function on Student Understand the Concept [D]. Ph.D. Thesis, Kent State University, 2007.

[4] 龔運(yùn)勤，唐振球．架起數(shù)學(xué)史成為提高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成績的橋梁[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（6）：32-35．

[5] 吳駿，汪曉勤．國外數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)研究述評[J]．比較教育研究，2013，（8）：78-82．

[6] 梁紹君．“算術(shù)平均數(shù)”概念的四個理解水平及測試結(jié)果[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（3）：35-37．

[7] 吳駿．小學(xué)四年級學(xué)生對平均數(shù)概念理解的發(fā)展過程[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（3）：39-42．

[8] 曲元海，項(xiàng)昭，李俊揚(yáng)，等．初中生學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)量理解水平的調(diào)查分析[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（1）：35–37．

[9] 吳穎康，李凌．上海高中生對集中量數(shù)的理解[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（6）：25-28．

[10] ?Bakker A. Design Research in Statistics Education—On Symbolizing and Computer Tools [D]. Ph.D. Thesis, The Freudenthal Inistitute, Utrecht, 2004.

[11] ?Groth R E, Bergner J A. Preservice Elementary Teachers’ Conceptual and Procedural Knowledge of Mean, Median, and Mode [J]., 2006, (8): 37-63.

[12] 吳駿．基于數(shù)學(xué)史的統(tǒng)計(jì)概念教學(xué)研究——以平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為例[D]．華東師范大學(xué)，2013．

[13] 鄭瑋，鄭毓信．HPM與數(shù)學(xué)教學(xué)中的“再創(chuàng)造”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（3）：5-7．

[14] ?Watson J M, Moritz J B. The Developments of Concepts of Average [J]., 1999, 21(4): 15–39.

[15] ?Zawojewski J S, Shaughnessy J M. Mean and Median: Are They Really so Easy [J]., 2000, 5(7): 436–440.

[16] ?Marnich M A. A Knowledge Structure for the Arithmetic Mean: Relationships between Statistical Conceptualizations and Mathematical Concepts [D]. Doctoral dissertation, University of Pittsburgh, 2008.

[17] ?Watson J M, Moritz J B. The Longitudinal Development of Understanding of Average [J]., 2000, 2(1&2): 11-50.

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Case Study on Students’ Cognitive Development Based on HPM Instruction

WU Jun

(College of Primary Education, Yunnan Normal University, Yunnan Kunming 650092, China)

Integrating the history of mathematics in teaching and learning of mathematics was always a central topic of HPM. The research explored case of six students in eighth grade of junior high school based on HPM instruction. The case of six students showed that five students’ understanding of mean, median and mode were notably strengthened, one of them moved an entire cognitive level, four students’ cognitive levels were increased respectively by 1 and 3 levels, and another one did little growth. The research showed that it was an important cause to promote the students’ cognitive ability which mathematics history integrated into teaching of statistics concepts.

HPM; cognitive development; case research; SOLO taxonomy

G420

A

1004–9894（2017）02–0046–04

2017–01–12

全國教育科學(xué)規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題——邊疆少數(shù)民族地區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化的調(diào)查研究（DMA150217）

吳駿（1968—），男，云南宣威人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，主要從事概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．