韋慧玲， 仇原鷹， 盛 英

(西安電子科技大學 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室， 西安 710071)

一種繩牽引攝像機器人的運動控制策略與穩(wěn)定性研究

韋慧玲， 仇原鷹， 盛 英

(西安電子科技大學 電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計教育部重點實驗室， 西安 710071)

繩牽引攝像機器人具有索單向受力、冗余驅(qū)動以及高速機動等特性，因而其穩(wěn)定性問題的研究與解決是一個難題?，F(xiàn)有的研究中，大多沒有考慮攝像機器人的高速穩(wěn)定運動特性及控制方法。為此，提出一種基于末端位置空間PD修正前饋控制規(guī)則保證攝像機器人的穩(wěn)定運行。通過牛頓-歐拉法建立了末端執(zhí)行器的動力學方程以及驅(qū)動系統(tǒng)的動力學模型；在此基礎(chǔ)上得到了整個系統(tǒng)的動力學模型；在系統(tǒng)動力學模型的基礎(chǔ)上，提出基于末端位置空間PD修正前饋控制規(guī)則的繩牽引攝像機器人跟蹤控制策略，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論論證了控制策略的穩(wěn)定性；通過數(shù)值算例說明了攝像機器人的穩(wěn)定跟蹤性能，并且驗證了控制策略的有效性。

攝像機器人；動力學；控制策略；李雅普諾夫穩(wěn)定性；跟蹤控制

相對于桿支撐的并聯(lián)機器人，繩牽引并聯(lián)機器人具有結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕、運動鏈慣性小、工作空間大、承載能力大、運動速度快、累積誤差小、干涉發(fā)生幾率小以及可拆裝重組等優(yōu)點。在應(yīng)用中，對繩牽引并聯(lián)機器人有各種不同的功能和性能要求。為此，人們從不同的領(lǐng)域?qū)χ_展了研究(如靜力學、動力學、運動學、機構(gòu)性能分析、控制理論等)[1-5]，從不同的角度定義了一系列不同的性能評價指標(如工作空間、奇異性、剛度分析、驅(qū)動力求解、精度誤差等)[6-10]，并提出了各種分析計算理論和方法，來指導繩牽引并聯(lián)機器人的開發(fā)研究與應(yīng)用實踐。繩牽引并聯(lián)機器人由于柔索承載的單向性，在系統(tǒng)的高速、高精度運行方面面臨著更多的挑戰(zhàn)性問題，其中穩(wěn)定性顯得尤為重要。

目前，有一些研究人員從不同的角度對繩牽引并聯(lián)機器人的穩(wěn)定性進行了研究，并取得了一些成果。文獻[11]研究了欠約束的繩牽引并聯(lián)機器人基于斜率的穩(wěn)定性測量方法。但該方法是否適用于完全約束的繩牽引并聯(lián)機器人有待探討。文獻[12-13] 把一根繩索等效為四個沒有預(yù)緊力的彈簧建立了繩牽引并聯(lián)機器人的剛度模型。分析了剛度矩陣與機構(gòu)的穩(wěn)定性關(guān)系，證明了剛度矩陣的正定與系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件。通過平面的繩牽引并聯(lián)機器人進行數(shù)值仿真，沒有運用空間的并聯(lián)機器人進行仿真。而且，4個彈簧的剛度代替一根繩索的剛度在矩陣形式上有區(qū)別，它們的近似程度需要商榷。文獻[14] 考慮繩索彈性和下垂建立了基于繩索彈性懸鏈線模型的剛度矩陣模型。提出了一種以四元數(shù)為基礎(chǔ)的剛度矩陣，分析了剛度與系統(tǒng)穩(wěn)定性間的關(guān)系。文獻[15-16]根據(jù)Hessian矩陣對應(yīng)用在直升機吊裝上的繩牽引并聯(lián)機器人的所有平衡構(gòu)型的穩(wěn)定性進行了分析，其認為只要Hessian矩陣是正定的，那么該構(gòu)型就是穩(wěn)定的。文獻[17]針對繩牽引并聯(lián)起重機的靜態(tài)平衡點的穩(wěn)定性進行評估。根據(jù)幾何約束條件推導出Hessian矩陣，并分析了矩陣的所有特征值為正是平衡構(gòu)型為穩(wěn)定性的充要條件。文獻[18]基于最小索拉力以及拉力最小的繩索與水平面夾角正切值分析了繩牽引攝像機器人的穩(wěn)定性。以上的文獻成果都只是分析了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，并沒涉及到運動穩(wěn)定性的分析。文獻[19] 通過矢量封閉原理以及李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了基于繩長坐標的PD反饋控制的運動穩(wěn)定性。但其控制策略對反饋量沒有進行修正,故會引起較大的誤差。文獻[20]基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計了繩牽引機器人正輸入線性反饋控制器，通過實驗證明了該控制律的有效性。但未說明該方法是否適用于高速運動的繩牽引并聯(lián)機器人。文獻[21]提出一種基于不確定雅可比矩陣的魯棒PD控制，運用李雅普諾夫函數(shù)證明了該控制律的漸進穩(wěn)定性。但該控制方法只使用在失重狀態(tài)下。文獻[22]提出一種基于李雅普諾夫函數(shù)的反饋控制技術(shù)，在正輸入約束條件下可以達到目標位置的漸近穩(wěn)定。但該技術(shù)只適用于平面的繩牽引并聯(lián)機器人。文獻[23]針對冗余約束的繩索驅(qū)動的并聯(lián)機器人提出一種綜合的控制單元，并運用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了閉環(huán)系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性。該控制律沒有將繩索長度誤差進行反饋，因此跟蹤精度不高，此外，該方法只針對冗余約束的繩牽引并聯(lián)機器人。文獻[24-25]針對平面繩牽引并聯(lián)機器人KNTU提出了魯棒控制算法，并應(yīng)用李雅普諾夫第二方法證明了其運動穩(wěn)定性。但其算法是否適用于空間高速運動的繩牽引并聯(lián)機器人有待探討。盡管上述文獻都對繩牽引并聯(lián)機器人提出了控制律以及應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論證明了控制算法的穩(wěn)定性，但并不適用在做高速機動運動的冗余驅(qū)動的繩牽引并聯(lián)機器人。

文中以繩牽引并聯(lián)機器人為研究對象，通過建立末端執(zhí)行器的動力學模型和驅(qū)動系統(tǒng)的動力學方程，構(gòu)建繩牽引并聯(lián)機器人系統(tǒng)的動力學模型?；谠撃Ｐ?，根據(jù)系統(tǒng)的繩索單向受力特性、冗余驅(qū)動性以及高速機動運動特性，提出基于末端位置空間PD修正前饋控制規(guī)則的繩牽引攝像機器人跟蹤控制策略并運用李雅普諾夫運動穩(wěn)定性理論研究控制策略的運動穩(wěn)定性。

1 動力學分析

1.1 末端執(zhí)行器的動力學模型

為了建立繩牽引并聯(lián)機器人的動力學模型描述其高速機動運動和繩索單向受力特性，本文做了以下一些假設(shè)：繩索與機架、末端執(zhí)行器的連接為理想鉸接；繩索滿足理想柔性的條件，既不能受壓，也不能受彎；繩索的變形符合胡克定律。

如圖1(a)所示，建立與大地固連的全局坐標系O-XYZ和與固結(jié)與末端執(zhí)行器質(zhì)心的局部坐標系P-xyz，從局部坐標系到全局坐標系的旋轉(zhuǎn)變化矩陣為op。pAi為局部坐標系P-xyz中繩與末端執(zhí)行器鉸接點Ai的位置矢量。圖1(b)為5 m原理樣機模型，4臺伺服電機分布在4個索支撐桿的下部，4個滑輪分布在4個索支撐桿的上部。4條柔索繞過滑輪在伺服系統(tǒng)的驅(qū)動下可實現(xiàn)收放運動，從而牽引著攝像機在工作空間內(nèi)運動。對于由m根繩牽引的n自由度完全約束繩牽引并聯(lián)機器人(m=n+1)，利用牛頓-歐拉法，推導出末端執(zhí)行器的動力學方程

(1)

式(1)也可表達為

(2)

(a) 完全約束繩牽引并聯(lián)機器人動力學示意圖

(b) 5 m原理樣機模型

式(2)可表達為

(3)

式中，G(X)為力相關(guān)矩陣。

至此，就得到了末端執(zhí)行器的動力學模型的矩陣形式。

1.2 驅(qū)動器的動力學模型

繩牽引并聯(lián)機器人的驅(qū)動器包括電機、減速器以及絞盤。驅(qū)動器的動力學方程可以表示為

(4)

1.3 系統(tǒng)的動力學模型

當電機轉(zhuǎn)角為θ時會引起繩索的長度變化量為ΔL，因此有繩長與電機轉(zhuǎn)角的關(guān)系式為

rθ=ΔL=(L-L0)

θ=r-1(L-L0)

(5)

通過對式(5)進行微分得

(6)

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(6)得到系統(tǒng)的動力學模型如下

(7)

進一步整理得

(8)

其中，

(9)

2 軌跡跟蹤控制策略

完全約束的繩牽引并聯(lián)機器人是高度耦合的非線性系統(tǒng)，并且是冗余驅(qū)動，因此在設(shè)計控制方案時，需要對動力學模型進行線性化和解耦處理，并通過索力優(yōu)化分配解決冗余驅(qū)動帶來的索力不確定性。控制規(guī)則參考文獻[26]提出的PD修正前饋控制規(guī)則，如圖2所示。假設(shè)期望的位姿為Xd，PD修正前饋控制規(guī)則的控制律為

(10)

式中：Κp、Kd為反饋增益矩陣；J?為JT的廣義逆，J?=J(JTJ)-1；e=Xd-X是誤差；Q為JT的零基底空間向量，滿足關(guān)系

JTQ=0

(11)

Q的作用是在繩子間產(chǎn)生內(nèi)力保證繩子時刻處于張緊狀態(tài)。

把式(10)代入式(8)，并聯(lián)立式(11)，移項整理后得到如下的閉環(huán)系統(tǒng)

(12)

圖2 控制策略示意圖

3 基于Lyapunov理論的穩(wěn)定性分析

3.1 Lyapunov穩(wěn)定性理論

穩(wěn)定性是一個系統(tǒng)正常運行的前提條件。根據(jù)李雅普諾夫的穩(wěn)定性理論[27]，設(shè)連續(xù)時間非線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(13)

式中：x為n維狀態(tài)向量；t為時間變量；f(x,t)為n維函數(shù)，其展開式為

(14)

假定方程的解為x(t;x0,t0),x0和t0分別為初始狀態(tài)向量和初始時刻，x(t0;x0,t0)=x0。

平衡狀態(tài)

(15)

定理 (李雅普諾夫穩(wěn)定性定理) 對于定常系統(tǒng)式(14)，若存在一個具有連續(xù)一階導數(shù)的標量函數(shù)V(x,t)，V(0,t)=0，并且對于狀態(tài)空間X中的一切非零x滿足以下條件：

(1)V(x,t)是具有連續(xù)一階偏導數(shù)的正定函數(shù)；

由此，假設(shè)非線性時變系統(tǒng)的二次型標量函數(shù)為

V(x,t)=xTPx

(16)

式中：P為待定的對稱正定矩陣。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，式(14)漸進穩(wěn)定的充要條件是李雅普諾夫函數(shù)式(16)對時間的導數(shù)為負定，即

(17)

3.2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)證明繩牽引并聯(lián)攝像機器人控制策略的穩(wěn)定性。首先對閉環(huán)系統(tǒng)式(12)建立李雅普諾夫標量函數(shù)V。根據(jù)系統(tǒng)的總能量構(gòu)造如下的李雅普諾夫函數(shù)[28]

(18)

對李雅普諾夫函數(shù)式(18)沿著對時間的全導數(shù)表示為

(19)

把式(12)代入式(19)，得

(20)

根據(jù)機器人動力學方程可知，非線性機器人系統(tǒng)具有如下的結(jié)構(gòu)特性[29]

(21)

因此，式(20)簡化為

(22)

由于Kd是正定的，故有

(23)

3.3 一致連續(xù)性證明

(24)

4 數(shù)值仿真

4.1 仿真參數(shù)設(shè)置

為了驗證控制策略的有效性進行了數(shù)值仿真。攝像機器人是由4根繩索牽引3平動自由度的完全約束冗余驅(qū)動系統(tǒng)。以場地中心處為全局坐標系原點，攝像機器人有關(guān)仿真參數(shù)如下：1#滑輪位置坐標為B1=[-19.5 21 25]Tm，2#滑輪位置坐標為B2=[19.5 21 25]T，3#滑輪位置坐標為B3=[19.5 -21 25]Tm，4#滑輪位置坐標為B4=[-19.5 -21 25]Tm。末端執(zhí)行器動平臺質(zhì)量為mp=20 kg；繩索參數(shù)參考《鋼絲繩手冊》，公稱直徑為r=3 mm，單位長度質(zhì)量為m0=0.045 6 kg/m，彈性模量為E=2.8×104MPa，最小破斷拉力為Tmax=3 000 N，選定的最小預(yù)緊力為Tmin=10 N,黏性阻尼系數(shù)為c=0.2。驅(qū)動單元中電機的額定輸出力矩τmax=15.8 N·m ，τmin=-15.8 N·m，等效到電機軸的轉(zhuǎn)動慣量7.52×10-4kg·m2，等效黏性阻尼系數(shù)1.88×10-4N·m·s，減速比n=4∶1，絞盤半徑rw,i=0.04 m。仿真過程中，運行時間為t=10 s，微分方程的數(shù)值求解采用四階龍格-庫塔方法?？刂茀?shù)Kp和Kd根據(jù)臨界比例法和現(xiàn)場調(diào)試確定。

(25)

4.2 仿真結(jié)果與分析

不同運動速度下沿著空間螺旋線軌跡的位置跟蹤誤差，如圖3所示。其中圖3(a)為速度為v=9.44 m/s的超高速運動，圖3(b)為速度為v=6.31 m/s的高速運動，圖3(c)為速度為v=3.20 m/s的中速運動，圖3(d)為速度為v=0.89 m/s的低速運動。由圖3可知，由于繩索縱向抖動的原因，前2 s內(nèi)Z方向有稍微的跳動。由于Z方向是做勻速上升運動，因此其誤差來源除了縱向繩索抖動外，還有跟蹤運動產(chǎn)生的跟蹤誤差，但隨著運動進入平穩(wěn)狀態(tài)，誤差逐漸接近于可接受范圍。速度越大，位置跟蹤誤差越大，Z方向上啟動抖動更明顯。原因在于速度越大，末端執(zhí)行器突然啟動需要繩索提供更大的張力才能夠滿足跟蹤效果，引起了跳動。由圖3還可知，當速度增大時，跟蹤誤差明顯隨著變大，這是因為速度越大，末端執(zhí)行器慣性引起的振動越大，故引起更大的誤差。因此，如何抑制繩索縱向振動是今后研究的一個重要方向。

(a) 超高速運動v=9.44 m/s

(b) 高速運動v=6.31 m/s

(c) 中速運動v=3.20 m/s

(d) 低速運動v=0.89 m/s

不同運動速度下沿著空間螺旋線軌跡的速度跟蹤響應(yīng)誤差，如圖4所示。由圖可知中低速時PD修正前饋控制策略的速度響應(yīng)時間在2 s內(nèi)，2 s后速度跟蹤誤差收斂，跟蹤速度達到期望值，末端執(zhí)行器穩(wěn)定運行。高速運行時，由于繩索抖動加劇，速度響應(yīng)時間達到4 s，但后6 s速度跟蹤誤差逐漸收斂，最終進入平穩(wěn)運行狀態(tài)。由圖4可知速度誤差最終收斂，即控制輸入速度是全局有界，滿足繩牽引并聯(lián)機器人軌跡跟蹤控制要求。

(a) 超高速運動v=9.44 m/s

(b) 高速運動v=6.31 m/s

(c) 中速運動v=3.20 m/s

(d) 低速運動v=0.89 m/s

圖5所示的是不同運動速度下沿著空間螺旋線軌跡的索力變化情況。由圖5可知，索力光滑連續(xù)變化，符合期望要求。隨著速度的增加，四索索力增加。這是因為螺旋線軌跡的半徑增大，向心加速度變大，因此需要的向心力變大，故繩索提供的張力變大。隨著末端執(zhí)行器高度的不斷上升，柔索的張力也逐漸增大，故圖5中張力曲線呈周期上升趨勢。由圖5(a)可知，末端執(zhí)行器進行超高速跟蹤時，繩索存在虛牽現(xiàn)象，即索張力為0，跟蹤運動不可實現(xiàn)的，此時速度是9.44 m/s，這比目前著名的攝像機器人SpiderCam的最高速度9 m/s還要大[31]。故解決超高速運動時繩索的虛牽問題是進一步要展開的工作。但總體上跟蹤過程中索力的變化是連續(xù)穩(wěn)定的，故控制器的設(shè)計是合理的。

(a) 超高速運動v=9.44 m/s

(b) 高速運動v=6.31 m/s

(c) 中速運動v=3.20 m/s

(d) 低速運動v=0.89 m/s

圖6所示的是攝像機器人在高速和低速穩(wěn)態(tài)運行過程中繩索的索長誤差量。由圖6可知，高速運行時索長的誤差量比低速時在數(shù)量級上大了將近100倍。說明高速運行時繩索抖動幅度比低速時要大。低速運行時，控制系統(tǒng)需要4 s時間進行索長誤差量調(diào)整適應(yīng)，4 s后調(diào)整完成，繩索長度變化趨向光滑，末端執(zhí)行器進入平穩(wěn)運行狀態(tài)。

(a) 高速運動v=6.31 m/s

(b) 低速運動v=0.89 m/s

(a) 高速運動v=6.31 m/s

(b) 低速運動v=0.89 m/s

末端執(zhí)行器運行速度與最大位置跟蹤誤差的關(guān)系如圖8所示。由圖8可知，Z方向上誤差隨著速度的增加而呈現(xiàn)指數(shù)增加，說明了速度增大后繩索縱向抖動加劇導致末端執(zhí)行器偏離規(guī)劃軌跡的幅度越來越大。

圖8 速度與最大位置跟蹤誤差關(guān)系

圖9 速度與最小索力關(guān)系

5 結(jié) 論

(1) 針對繩索單向受力特性的繩牽引并聯(lián)機構(gòu)的特點，分別建立基于牛頓-歐拉法的末端執(zhí)行器動力學模型和驅(qū)動系統(tǒng)的動力學模型，進一步得到機器人的動力學模型。

(2) 針對繩索受力單向性、高速機動性以及冗余驅(qū)動等特點，以軌跡控制為目標，設(shè)計了基于末端位置空間PD修正前饋控制策略?；贚yapunov穩(wěn)定性理論證明了控制策略的穩(wěn)定性和一致連續(xù)性。

(3) 以4索牽引的3 自由度并聯(lián)冗余驅(qū)動攝像機跟蹤空間螺旋線運動為例，驗證了建模方法和控制策略設(shè)計的穩(wěn)定性。位置跟蹤誤差和速度響應(yīng)誤差都能快速收斂，達到了比較高精度的跟蹤效果。表明在所設(shè)計的控制策略作用下，系統(tǒng)在低速、中速、高速狀態(tài)可以平穩(wěn)、光滑、有界地實現(xiàn)軌跡跟蹤。

(4) 為解決系統(tǒng)超高速運行的失穩(wěn)現(xiàn)象，下一步需要解決繩索的虛牽問題。針對突然啟動時繩索抖動問題，需要對啟動的運動進行高次插值規(guī)劃，這也是今后研究的內(nèi)容。

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Motion control strategy and stability of a cable-based camera robot

WEI Huiling， QIU Yuanying， SHENG Ying

(Key Laboratory of Ministry of Education for Electronic Equipment Structure Design, Xidian University, Xi’an 710071, China)

It is very difficult to study and solve the motion stability problem of a cable-based camera robot with one-way cable tension, redundant drive, and high speed maneuvering characteristics. In most of references available, high speed stable motion characteristics and control method of a cable-based camera robot are not adequately considered．For this purpose, a modified PD forward control reguration for its cable length coordinates was presented to ensure its stable motion. Firstly, the dynamic equation for its end-effector was established by using Newton-Euler method. The dynamic model of its drive system was also established. And the dynamic model of the whole system was derived. And then, a tracking control strategy for the camera robot was proposed using a modified PD forward controller for its cable length coordinates based on the whole system’s dynamic model. Further more, the stability of the control strategy was proved with Lyapunov stability theory. Finally, numerical examples showed that the camera robot has a stable tracking performance; the effectiveness of the proposed control strategy is verified.

camera robots; dynamics; control strategy; Lyapunov stability; tracking control

國家自然科學基金資助項目(51175397)

2016-01-05 修改稿收到日期：2016-03-04

韋慧玲 女，博士生，1986年生

仇原鷹 男，博士，教授，1958年出生

TH242

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.015