陳匯資， 趙 波， 趙金墜，2， 高國(guó)富

(1. 河南理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 河南 焦作 454000； 2. 鄭州磨料磨具磨削研究所有限公司, 鄭州 450007)

杯形工具復(fù)合變幅桿設(shè)計(jì)及振動(dòng)特性分析

陳匯資1， 趙 波1， 趙金墜1，2， 高國(guó)富1

(1. 河南理工大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院, 河南 焦作 454000； 2. 鄭州磨料磨具磨削研究所有限公司, 鄭州 450007)

針對(duì)硬脆材料曲面加工過(guò)程中加工精度差、效率低、加工費(fèi)用高的問(wèn)題，結(jié)合理論分析與有限元法，設(shè)計(jì)了一種適用于硬脆材料曲面高精度加工的超聲杯形工具復(fù)合變幅桿。對(duì)所設(shè)計(jì)的變幅桿進(jìn)行了阻抗特性分析和振動(dòng)性能測(cè)試，結(jié)果顯示變幅桿結(jié)構(gòu)合理、振動(dòng)效果良好；并通過(guò)有限元與試驗(yàn)的對(duì)比分析，探究杯形頭的壁高、底厚、內(nèi)徑對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的影響。結(jié)果表明：變幅桿諧振頻率隨著底厚的增加而增大，隨著杯形頭壁高、內(nèi)徑的增大而減小，且實(shí)測(cè)結(jié)果與仿真分析較好符合。

硬脆材料;曲面加工;杯形工具復(fù)合變幅桿;有限元;諧振頻率

隨著曲面光學(xué)元件在航空航天、太空望遠(yuǎn)鏡等高精尖設(shè)備上的廣泛應(yīng)用，對(duì)于硬脆材料曲面加工技術(shù)的需求也越來(lái)越迫切[1-2]。目前光學(xué)零部件等硬脆材料曲面加工常用的方法主要有精密磨削、研磨、拋光，不僅加工精度差，而且效率低、加工費(fèi)用高。大量文獻(xiàn)表明，可采用超聲磨削加工技術(shù)解決上述問(wèn)題，超聲磨削技術(shù)相對(duì)于傳統(tǒng)曲面加工技術(shù)具有以下優(yōu)勢(shì)[3-7]：① 超聲磨削技術(shù)特別適用于脆硬材料的加工；② 超聲磨削加工主要依靠磨粒瞬時(shí)局部的沖擊作用來(lái)去除工件材料，因此切削力、切削熱較小，大大減少工件的變形和燒傷現(xiàn)象，表面粗糙度也較低；③ 由于其工具頭可根據(jù)零部件的形狀做成相對(duì)應(yīng)的成型加工工具，不需要工具頭與工件做復(fù)雜的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，就能完成復(fù)雜曲面的加工，從而提高了加工效率；④ 超聲加工機(jī)床制作簡(jiǎn)單，只需要在普通精密機(jī)床上附加超聲振動(dòng)裝置，拆卸、維修方便，不影響機(jī)床的非超聲加工，降低了設(shè)備費(fèi)用。

在加工硬脆材料的高精度平面和曲面時(shí)，需要采用大尺寸平面砂輪或杯狀砂輪輔助超聲振動(dòng)的方法獲得，其超聲輔助磨削加工示意圖(見圖1)，裝置主要包括:刀柄、電磁感應(yīng)盤、帶有杯形加工工具的復(fù)合變幅桿，本文將重點(diǎn)闡述杯形工具復(fù)合變幅桿設(shè)計(jì)及其振動(dòng)特性。杯形工具復(fù)合變幅桿由于其截面形式復(fù)雜，所以聲波在桿中的傳導(dǎo)也異常復(fù)雜，耦合振動(dòng)形式較多。因此，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外只有少數(shù)學(xué)者從事相關(guān)研究。許龍等[8]根據(jù)彎曲振動(dòng)和耦合振動(dòng)理論，設(shè)計(jì)了一種由變幅桿、薄圓盤和耦合振動(dòng)圓筒組成的超聲焊接振動(dòng)系統(tǒng)，并且試驗(yàn)驗(yàn)證了在大信號(hào)測(cè)試條件下的縱-彎-縱振動(dòng)模式。皮鈞等[9]基于回形變幅桿的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和縱波傳播特性分析了波在變幅桿圓盤中發(fā)生的模態(tài)變化，發(fā)現(xiàn)了圓盤部分振動(dòng)以切向振動(dòng)模態(tài)為主，耦合后又轉(zhuǎn)換為縱波形式。然后，基于三維波動(dòng)方程建立了縱波回形變幅桿的頻率方程，并且試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果基本吻合。筆者在前人工作的基礎(chǔ)上，結(jié)合項(xiàng)目對(duì)零部件曲面加工質(zhì)量及精度的特殊要求，設(shè)計(jì)了25 kHz杯形工具復(fù)合變幅桿，并在杯形頭輸出端或外壁圓周上電鍍金剛石顆粒以供加工之用。

圖1 超聲銑磨系統(tǒng)工作的原理

1 杯形工具復(fù)合變幅桿的理論設(shè)計(jì)

由于杯形工具復(fù)合變幅桿振動(dòng)形式異常復(fù)雜，目前尚沒有權(quán)威的理論解釋，為了更好深入研究這種異形結(jié)構(gòu)，如圖2所示。本文將杯形工具復(fù)合變幅桿分成簡(jiǎn)支邊界薄圓板、圓筒和圓柱圓錐復(fù)合變幅桿三部分,分別應(yīng)用薄板彎曲振動(dòng)理論、耦合振動(dòng)理論、一維縱向振動(dòng)理論進(jìn)行設(shè)計(jì)。

圖2 變幅桿和杯形頭

1.1 薄圓板理論設(shè)計(jì)

當(dāng)圓盤的半徑a遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于其厚度e時(shí)，定義此圓盤為薄圓盤，根據(jù)彈性理論和薄板彎曲振動(dòng)理論，薄圓盤的彎曲振動(dòng)位移可表示為[10-12]

ξ(r,t)=[AJ0(knr)+BI0(knr)]exp(jωt)

(1)

彎矩和橫向剪切力可表示為

Mr=-A[σJ1(knr)+knaJ0(knr)-

J1(knr)]+B[σI1(knr)+

knrI0(knr)-I1(knr)]

(2)

Qr=AJ0(knr)+BI0(kr)

(3)

在簡(jiǎn)支邊界條件下，彎曲振動(dòng)薄圓盤的彎矩和橫向剪切力皆為0，經(jīng)對(duì)式(2)和式(3)整理后可求得薄圓盤的共振頻率方程為

(4)

當(dāng)薄圓盤的材料參數(shù)和幾何尺寸給定時(shí)，代入式(4)，便可推出薄圓盤的共振頻率為

(5)

1.2 圓筒耦合理論設(shè)計(jì)

當(dāng)大直徑圓筒受到縱向波激勵(lì)時(shí)，由于泊松效應(yīng)會(huì)產(chǎn)生徑向振動(dòng)，這時(shí)整個(gè)圓筒的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的三維縱徑耦合振動(dòng)，難以求得能描述其振動(dòng)形式的解析解。為了簡(jiǎn)化分析，本文只考慮縱向和徑向振動(dòng)，當(dāng)引入等效彈性常數(shù)和等效機(jī)械耦合系數(shù)后，其振動(dòng)可以等效成縱向和徑向伸縮振動(dòng)[13]。

根據(jù)圓筒的邊界條件且忽略剪切力和應(yīng)變，經(jīng)過(guò)理論推導(dǎo)可得出圓筒的徑向和縱向耦合振動(dòng)頻率方程為

(6)

sin[kz(h-e)]=0

(7)

式中:kr和kz分別為圓筒等效徑向和等效縱向波數(shù)，為等效機(jī)械耦合系數(shù)；a、b分別為圓筒的外徑、內(nèi)徑。式(6)和式(7)給出了圓筒耦合振動(dòng)時(shí)的材料參數(shù)、幾何尺寸、諧振頻率之間的相互關(guān)系。當(dāng)材料參數(shù)、幾何尺寸給定時(shí)，即可求解徑向和縱向耦合諧振頻率。

1.3 圓柱圓錐復(fù)合變幅桿理論設(shè)計(jì)

由于圓柱圓錐復(fù)合變幅桿設(shè)計(jì)及運(yùn)算較為常見，因此不再做詳細(xì)闡述。該復(fù)合變幅桿通過(guò)傳輸矩陣法便可求得變幅桿頻率方程為

(8)

式中:L1為變幅桿大端圓柱段長(zhǎng)度;L2為圓錐段段長(zhǎng)度;α為圓錐段截面變化系數(shù)，α=(N-1)/NL2。

2 有限元分析

通過(guò)PROE軟件對(duì)薄圓盤、圓筒、變幅桿進(jìn)行三維建模，然后將其模型導(dǎo)入到ANSYS中進(jìn)行有限元分析。利用Solid 95單元?jiǎng)澐钟邢拊W(wǎng)格，選用Block Lanczos法對(duì)自由狀態(tài)下的變幅桿進(jìn)行模態(tài)分析，并在求解器提取的各階模態(tài)中，選取與設(shè)計(jì)頻率最為接近的諧振模態(tài)。

由于超聲振動(dòng)系統(tǒng)需安裝到機(jī)床主軸上做高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，為降低大尺寸工具的回轉(zhuǎn)慣量，杯形頭應(yīng)采用較輕的材料。此外，變幅桿在工作過(guò)程中要承受一定的軸向和徑向力，因此變幅桿應(yīng)具備較大的軸向和徑向剛度?；谏鲜鲆?，變幅桿、螺栓、墊片均采用45#鋼，杯形砂輪采用6070鋁合金，具體材料參數(shù)如表1所示。

表1 材料參數(shù)

結(jié)合理論計(jì)算與有限元分析對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿進(jìn)行設(shè)計(jì)及有限元修正，具體總設(shè)計(jì)流程，如圖3所示。

圖3 杯形工具復(fù)合變幅桿設(shè)計(jì)流程圖

2.1 薄圓盤尺寸確定

對(duì)式(4)求解后得kna值，根據(jù)設(shè)計(jì)要求取第二階kna=5.454 7；設(shè)定薄圓盤厚e=10 mm，經(jīng)式(5)得薄圓盤在該頻率下產(chǎn)生二階彎曲振動(dòng)時(shí)的半徑R(R=a/2)，R=55 mm，對(duì)所求的薄圓板進(jìn)行有限元仿真。

提取模態(tài)結(jié)果后發(fā)現(xiàn)：薄圓盤彎曲振動(dòng)的諧振頻率為21 605 Hz，如圖4(a)。通過(guò)減小薄圓盤半徑以增大頻率，使其與目標(biāo)頻率趨于一致，修正后薄圓盤半徑R=50.2 mm，彎曲振動(dòng)諧振頻率為25 022 Hz，模態(tài)分析結(jié)果，如圖4(b)所示。

(a) 修正前薄圓盤諧振位移圖

(b) 修正后薄圓盤諧振位移圖

2.2 杯形工具尺寸確定

為保證杯形頭剛度，設(shè)定壁高h(yuǎn)=24 mm，根據(jù)式(6)和式(7)，即可求得圓筒的縱向頻率為22 930 Hz，與設(shè)計(jì)頻率相差很大。但是為保證杯形頭工作過(guò)程中的徑向剛度，不再修正圓筒高，通過(guò)修正圓盤半徑使其與目標(biāo)頻率一致，當(dāng)R=44.5 mm時(shí)，圓筒與圓盤耦合的杯形頭諧振頻率為24 956 Hz，如圖5所示。

圖5 杯形頭諧振位移

2.3 圓柱圓錐變幅桿的尺寸確定

由于振動(dòng)系統(tǒng)工作頻率為25 kHz，因此換能器輸出端尺寸已定，為減少振動(dòng)系統(tǒng)能量損耗，要求換能器輸出端直徑與變幅桿輸入端相等，即D1=45 mm；為提高杯形工具頭的振動(dòng)效果，需增大變幅桿輸出與杯形工具頭的接觸面積，選取D2=28 mm。此外，設(shè)定L1=58 mm，運(yùn)用MATLAB計(jì)算復(fù)合變幅桿頻率方程(8)，最終確定圓錐段L2長(zhǎng)為55 mm。對(duì)所求的變幅桿進(jìn)行有限元仿真，其縱向諧振頻率為25 061 Hz，如圖6所示。變幅桿的仿真頻率與理論計(jì)算基本一致，無(wú)需進(jìn)一步修正。

圖6 復(fù)合變幅桿諧振位移

2.4 杯形工具復(fù)合變幅桿的尺寸確定

將杯形頭與圓柱圓錐變幅桿耦合到一起進(jìn)行有限元分析，其中圓柱圓錐變幅桿賦予45#鋼性能參數(shù)，杯形工具賦予6070硬鋁性能參數(shù)，具體模態(tài)分析結(jié)果如圖7。

(a) 修正前系統(tǒng)諧振位移

(b) 修正后系統(tǒng)諧振位移

由圖7可知，杯形頭與變幅桿耦合后諧振頻率為25 316 Hz，與設(shè)計(jì)頻率相差300 Hz，需進(jìn)一步修正。通過(guò)減小杯形頭的底厚以調(diào)節(jié)系統(tǒng)的諧振頻率，修正后杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率為25 044 Hz，滿足設(shè)計(jì)要求。此外，可通過(guò)有限元軟件后處理功能對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿進(jìn)行路徑定義、路徑映射，提取相對(duì)位移結(jié)果后發(fā)現(xiàn)在一定的輸入載荷下，杯形頭外圓末端的相對(duì)徑向振幅為1.449 m，相對(duì)縱向振幅為0.457 m，從而得出杯形頭徑向振動(dòng)相對(duì)位移為縱向的3倍，如圖8～圖9所示。最終確定杯形工具復(fù)合變幅桿各部分尺寸，具體參數(shù)，如表2所示。

圖8 杯形頭縱向相對(duì)位移隨壁高變化

圖9 杯形頭徑向相對(duì)位移隨壁高的變化

表2 杯形工具復(fù)合變幅桿各部分尺寸參數(shù)

Tab.2 The size of the cup horn parameters mm

大端直徑D1小端直徑D2圓柱端L1圓錐段L2壁厚h底厚e內(nèi)徑b外徑a452858552497189

3 變幅桿振動(dòng)試驗(yàn)

3.1 阻抗特性試驗(yàn)研究

采用北京邦聯(lián)時(shí)代電子科技有線公司的PV70A阻抗分析儀對(duì)所設(shè)計(jì)杯形工具復(fù)合變幅桿進(jìn)行阻抗分析。由圖10可知，變幅桿實(shí)測(cè)諧振頻率在25 kHz附近，與ANSYS模態(tài)分析結(jié)果基本吻合，且導(dǎo)納圓圓度較好，電導(dǎo)曲線正常。振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械品質(zhì)因數(shù)較高，即系統(tǒng)的電聲轉(zhuǎn)化效率高，說(shuō)明所設(shè)計(jì)變幅桿的尺寸及其結(jié)構(gòu)都十分合理。

(b) 超聲振子阻抗分析測(cè)試結(jié)果

3.2 振幅特性試驗(yàn)研究

采用高精度的KEYENCE-700K激光位移傳感器對(duì)系統(tǒng)振幅展開測(cè)試。由于杯形工具復(fù)合變幅桿輸出端振動(dòng)形式表現(xiàn)為縱徑耦合，因此應(yīng)在杯形頭端面和周向分別測(cè)試縱向和徑向振幅，如圖11所示。

(a) 徑向測(cè)試振幅

(b) 軸向測(cè)試振幅

由圖12可知，杯形工具復(fù)合變幅桿縱向振幅為2.7 μm，徑向振幅為7.5 μm。由于杯形工具復(fù)合變幅桿的輸出端是杯形頭，其壁高較小，縱徑耦合過(guò)程以徑向振動(dòng)為主，因此徑向振幅大于縱向振幅，同時(shí)這也與有限元分析所得徑向振幅是縱振3倍的仿真結(jié)果基本一致。

(a) 縱向振動(dòng)振幅圖

(b) 徑向振動(dòng)振幅圖

為了進(jìn)一步研究杯形工具復(fù)合變幅桿是否處于諧振狀態(tài)，在杯形頭縱向端部、壁高方向分別有規(guī)律地設(shè)定八個(gè)測(cè)試點(diǎn)，如圖13所示。具體測(cè)試結(jié)果，如圖14所示。

(a)端面縱向測(cè)試點(diǎn)分布(b)壁高徑向測(cè)試點(diǎn)分布

圖13 測(cè)試點(diǎn)分布

Fig.13 Test point distribution

由圖14(a)可知，杯形頭端面八個(gè)測(cè)試點(diǎn)的輸出振幅基本上不變，均在2.7 μm左右浮動(dòng)。由圖14(b)可知，杯形頭徑向振幅隨著壁高的增大而增大。因此，杯形工具復(fù)合變幅桿工作時(shí)處于諧振狀態(tài)。

4 杯形頭幾何參數(shù)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的影響研究

杯形頭為大尺寸構(gòu)件，會(huì)對(duì)系統(tǒng)諧振產(chǎn)生較大影響，因此有必要對(duì)杯形頭展開分析。本文通過(guò)仿真與試驗(yàn)相結(jié)合的形式，從杯形頭壁高、底厚、內(nèi)徑三個(gè)角度來(lái)探求杯形頭幾何形狀參數(shù)對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的影響規(guī)律，其中杯形頭初始尺寸為外徑a為89 mm，內(nèi)徑b為71 mm，底厚e為9 mm，壁高h(yuǎn)為24 mm，4種不同尺寸的杯形頭，如圖15所示。

(a) 端面縱向振幅

(b) 壁高徑向振幅

圖15 4種不同尺寸的杯形頭

4.1 杯形頭壁高h(yuǎn)對(duì)杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的影響

由圖16可知，在杯形頭底厚、內(nèi)徑不變的情況下，杯形頭壁高由21 mm增大到24 mm的過(guò)程中，杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率的仿真與試驗(yàn)值都逐漸降低且變化趨勢(shì)一致，雖然仿真值略大于試驗(yàn)值，但誤差均在5%以內(nèi)，仿真結(jié)果仍具有一定參考價(jià)值。

4.2 杯形頭底厚e對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)頻率的影響

由圖17可知，在壁高、內(nèi)徑不變的條件下，杯形工具復(fù)合變幅桿諧振頻率隨著底厚的減小而降低，并且仿真與試驗(yàn)結(jié)果基本吻合。隨著底厚的減小，測(cè)試值與仿真值越來(lái)越接近，主要由于底厚的減小致使杯形頭與變幅桿裝配間隙變小，結(jié)構(gòu)更緊湊。

圖16 壁高與諧振頻率的關(guān)系

圖17 底厚與諧振頻率的關(guān)系

4.3 杯形頭內(nèi)徑b對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)頻率的影響

由圖18可知，仿真與測(cè)試結(jié)果具有相同的變化規(guī)律，即在底厚、壁高不變的條件下，杯形工具復(fù)合變幅桿的諧振頻率隨著內(nèi)徑的增大而降低，內(nèi)徑每增大1 mm，其諧振頻率減小200～300 Hz不等。

圖18 內(nèi)徑與諧振頻率的關(guān)系

通過(guò)對(duì)上述分析發(fā)現(xiàn)試驗(yàn)檢測(cè)頻率與仿真頻率存在誤差，產(chǎn)生這種結(jié)果的原因如下：① 杯形頭與變幅桿采用的是螺紋連接，接觸不夠緊密，造成能量損失；② 杯形頭和圓柱圓錐變幅桿不是同一種材料，波在不同材料中傳播時(shí)產(chǎn)生了大量反射；③ 杯形頭與變幅桿裝配時(shí)預(yù)留2 mm左右的空隙，與仿真假設(shè)不同；④ 有限元分析時(shí)網(wǎng)格單元體的大小及密度對(duì)變幅桿諧振頻率影響非常大，由于計(jì)算機(jī)的計(jì)算能力有限，變幅桿劃分單元數(shù)量不足，難免比實(shí)際頻率要大。

5 結(jié) 論

(1) 鑒于超聲磨削技術(shù)在硬脆材料曲面高精度加工方面所具備的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，基于彎曲振動(dòng)理論、耦合振動(dòng)理論和變幅桿設(shè)計(jì)理論，結(jié)合有限元分析法，設(shè)計(jì)了工作頻率為25 kHz的超聲杯形工具復(fù)合變幅桿。

(2) 對(duì)所設(shè)計(jì)的杯形工具復(fù)合變幅桿進(jìn)行阻抗分析和振幅特性試驗(yàn)，結(jié)果顯示：振動(dòng)系統(tǒng)頻帶寬、動(dòng)態(tài)電阻小、聲電轉(zhuǎn)換效率高，說(shuō)明變幅桿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理；杯形頭表現(xiàn)為以徑向振動(dòng)為主的縱徑耦合振動(dòng)形式，且輸出端面縱向振幅變化不大，沿杯形頭軸向越靠近輸出端面其徑向輸出振幅越大，表明系統(tǒng)處于諧振狀態(tài)。

(3) 利用有限元仿真分析和試驗(yàn)測(cè)試的方法，研究了杯形頭幾何參數(shù)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)諧振頻率的影響：當(dāng)減小杯形頭的壁高、內(nèi)徑時(shí)，變幅桿的實(shí)測(cè)與仿真頻率都隨之升高；當(dāng)減小其底厚時(shí)，變幅桿實(shí)測(cè)與仿真頻率都隨之降低，且實(shí)測(cè)與仿真分析值高度吻合。

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Design of a cup horn and its vibration characteristics analysis

CHEN Huizi1, ZHAO Bo1, ZHAO Jinzhui1,2, GAO Guofu1

(1.School of Mechanical and Power Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000，China;2.Zhengzhou Research Institute for Abrasives & Grinding Co.,Ltd., Zhengzhou 450007， China)

Aiming at problems of poor machining precision, low efficiency, and high processing cost in curve surface processing of hard and brittle materials, a kind of ultrasonic cup horn suitable for high precision machining of curve surfaces of hard and brittle materials was designed by combining the theoretical analysis and the finite element method. Afterwards,the impedance characteristic analysis and the vibration performance tests of the designed cup horn were performed. The results showed that the structure of the horn is reasonable and its vibration effect is good. Finally, through the finite element calculation and tests comparative analysis, the influences of wall height, bottom thickness, and inner diameter of the cup shaped head on the cup horn resonant frequencies were studied. The results showed that the resonance frequencies of the horn increase with increase in bottom thickness and decrease with increase in wall height, and inner diameter of the cup shaped head; the test results and the simulation analysis ones agree well each other.

brittle materials; curve surface processing; cup horn; finite element analysis; resonant frequency

國(guó)家“863”計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013AA040103)

2015-08-11 修改稿收到日期：2015-10-09

陳匯資 男，碩士生，1989年生

趙波 男，教授，博士生導(dǎo)師，1956年生

TB559

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.024