劉心華

【摘 要】 設(shè)計問題比解答問題更為重要.課堂教學(xué)的深入總是伴隨著一個個精彩問題的呈現(xiàn)，問題就像黑暗里的一盞明燈，讓學(xué)生找到光明；問題就像是迷途中出現(xiàn)的指路標(biāo)，指引著學(xué)生前進(jìn)的方向；問題還像是一根長繩，串起學(xué)生的點滴思維火花.

【關(guān)鍵詞】 問題；題組；設(shè)計；原則；課型；問題解決

1 問題的提出

“數(shù)學(xué)是思維的體操”.一節(jié)優(yōu)美律動的韻律操，要求每一個動作的設(shè)計健身、健美、健心，給人自然流暢、一氣呵成的大氣感和美感.數(shù)學(xué)課也應(yīng)該像優(yōu)美律動的韻律操一樣：課堂活動流暢、舒心，思維進(jìn)程活躍、高效.而這一切的決定因素在于課堂中一個個數(shù)學(xué)問題的設(shè)計（即題組的設(shè)計）.“問題是數(shù)學(xué)的心臟”.課堂中一個個問題就好比韻律操中一個個動作，要想課堂給人更多的回味與精彩，問題設(shè)計就需更深的思考與研究.課堂教學(xué)的深入總是伴隨著一個個精彩問題的呈現(xiàn)，構(gòu)建高效課堂，題組設(shè)計尤為重要.

2 設(shè)計和運用題組的目的和依據(jù)

設(shè)計和運用題組是一種教學(xué)策略，意圖是要搭建一個平臺，把學(xué)生推到解決問題的前臺.通過題組中一個個問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生步步深入地分析問題、解決問題、構(gòu)建知識、發(fā)展能力.如果說題組是課堂教學(xué)的一條具有邏輯意義的明線的話，那么隱藏在這條明線后的知識鏈就是課堂教學(xué)的一條暗線.教師通過題組這個腳手架便于組織教學(xué)，并和學(xué)生形成互動，促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的同時形成網(wǎng)狀知識聯(lián)結(jié)，題組的使用讓教學(xué)組織有章可循，內(nèi)容推進(jìn)自然而不造作，體系構(gòu)建完整而不破碎，課堂生成高效而不低能.

《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求教師應(yīng)在深刻理解教學(xué)內(nèi)容、充分了解學(xué)生已有知識和生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上設(shè)計問題：在數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生形成的關(guān)鍵點；在數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的聯(lián)結(jié)點；在運用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的關(guān)節(jié)點；在數(shù)學(xué)問題變式的發(fā)散點.在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，挖掘知識中的潛在因素，合理、巧妙、靈活地設(shè)計富有啟發(fā)性、挑戰(zhàn)性和開放性的問題，通過激趣、質(zhì)疑、導(dǎo)引、點撥，引起學(xué)生的參與興趣，調(diào)動學(xué)生求知能動性，訓(xùn)練學(xué)生的思維.

3 設(shè)計和運用題組的原則

①題組設(shè)計不能太難，要符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律與身心發(fā)展規(guī)律，要在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)計問題；②題組設(shè)計要引領(lǐng)學(xué)生思考與活動，問題與問題之間應(yīng)是層層遞進(jìn)的關(guān)系；③題組設(shè)計要圍繞課題指向明確，通過問題解決學(xué)生能夠構(gòu)建數(shù)學(xué)概念與原理、展現(xiàn)數(shù)學(xué)方法與思想；④題組設(shè)計要自然，問題與問題間不能過于生硬，應(yīng)呈現(xiàn)出一定的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系；⑤題組設(shè)計要具有一定的開放性，同類問題學(xué)生可以從多個不同的角度來思考.

4 設(shè)計和運用題組的方法和策略

自上世紀(jì)八十年代問題解決教學(xué)的理論產(chǎn)生以來，設(shè)計和運用題組進(jìn)行教學(xué)已被越來越多的教師采用，成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方法.通過題組設(shè)置來使不同認(rèn)知水平的學(xué)生都能在課堂中達(dá)到對一些數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握，成為數(shù)學(xué)有效教學(xué)的基本形態(tài).國內(nèi)著名的數(shù)學(xué)教育專家顧泠沅認(rèn)為，題組（變式）教學(xué)是我國數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育成功經(jīng)驗的精髓之一，中學(xué)教師在教育實踐中正是充分利用題組設(shè)置方式來提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率與效果的.下面就高中數(shù)學(xué)的幾種常見課型，談?wù)剝?yōu)化課堂中設(shè)計和運用題組的方法和策略.

4.1 概念課型中的題組設(shè)計和運用

概念課是數(shù)學(xué)中最常見最基本的課型.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的基本元素，是構(gòu)成數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，概念的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心，正確理解概念是學(xué)好數(shù)學(xué)的首要環(huán)節(jié)，概念教學(xué)也是基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的關(guān)鍵.在概念教學(xué)中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點，合理地選取適合學(xué)生的教學(xué)方法，設(shè)計富有過程探索性的問題，揭示數(shù)學(xué)概念形成的過程，為認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)形成一個思維鏈，讓學(xué)生在探索、辨析、感悟、運用、強(qiáng)化、歸納、升華、落實中真正掌握數(shù)學(xué)概念，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).概念課中的探索性題組的設(shè)計對于避免數(shù)學(xué)概念教學(xué)“掐兩頭燒中段”有重要的作用.

例如函數(shù)周期性概念的教學(xué)，一位老師設(shè)計了如下一組問題：

（1）在單位圓中，對給出的角α，如何作出角α的正弦線？

（2）當(dāng)角α的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)時，角α的正弦線如何變化，有何規(guī)律？

（3）觀察正弦函數(shù)圖象是如何呈現(xiàn)這種“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的，你能用自然語言描述這一規(guī)律嗎？

（4）哪條公式能反映問題（3）中的正弦值的變化規(guī)律？

（5）若函數(shù)f（x）的函數(shù)值具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，如何用代數(shù)形式描述這一規(guī)律？

（6）因為當(dāng)x=7π6時，sin（x+2π3）=sinx，所以2π3是函數(shù)y=sinx的周期.這話對嗎？

（7）如果T是函數(shù)f（x）的周期，那么除T之外還有其他周期嗎？

（8）函數(shù)y=a（a是常數(shù)）是周期函數(shù)嗎？是不是任何周期函數(shù)都有最小正周期？

（9）求函數(shù)y=cos2x、y=Asin（ωx+），x∈R（A、ω、為常數(shù)，A≠0，ω>0）的周期.

題組設(shè)計從學(xué)生已有的正弦線、正弦函數(shù)圖象及誘導(dǎo)公式出發(fā)，通過圖象的特點、函數(shù)解析式特點的描述，讓學(xué)生建立比較牢固的理解周期性的認(rèn)識基礎(chǔ)，最后再引導(dǎo)學(xué)生了解“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的代數(shù)刻畫，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般、從具體到抽象的數(shù)學(xué)思維過程.問題（7）到問題（10）的設(shè)計讓學(xué)生進(jìn)一步落實對周期函數(shù)的概念的理解，使學(xué)生真正掌握周期函數(shù)的本質(zhì)及周期函數(shù)的周期的求法.

概念課教學(xué)的根本目的是：使學(xué)生認(rèn)識概念、理解概念、鞏固并運用概念.因此概念課的題組設(shè)計要求是：此題組的設(shè)計使學(xué)生明了①概念是如何產(chǎn)生形成的？②概念中有哪些規(guī)定和限制條件？③概念的名稱、表述的語言有何特點？與自然語言比較、與其他概念比較，有沒有容易混淆的地方？應(yīng)當(dāng)如何加以區(qū)別？④此概念有沒有等價的敘述？為什么等價？應(yīng)當(dāng)如何處理和應(yīng)用？⑤由此概念中的條件和規(guī)定，能夠歸納出哪些基本性質(zhì)？各個性質(zhì)是由概念中的哪些條件所決定的？這些性質(zhì)在具體應(yīng)用中有何意義？能派生出某些數(shù)學(xué)思想和方法嗎？等等.

4.2 命題課型中的題組設(shè)計和運用

命題課是指有關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)公理、定理、法則、公式的教學(xué)，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型.數(shù)學(xué)命題具有高度的概括性與抽象性，在本質(zhì)上描述了相關(guān)數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，是數(shù)學(xué)思維、推理、運算的基石.命題課的關(guān)鍵在公式、定理推導(dǎo)證明的全過程上，讓學(xué)生記住某一個公式、某一定理并非命題課的最終目的.

本組問題的設(shè)計，從數(shù)、形兩個方面，結(jié)合幾何意義，通過代數(shù)證明，變式拓展，揭示基本不等式的“一正、二定、三相等”的條件， 題組設(shè)計充分考慮了基本不等式中包含的數(shù)學(xué)思想、思維方法和典型的數(shù)學(xué)技能技巧等，題組中問題的解決充分調(diào)動學(xué)生的思維，學(xué)生可以多層次、廣角度、全方位地認(rèn)識基本不等式.

命題課要達(dá)到的教學(xué)目的是：揭示公理、定理、法則、公式的來龍去脈，揭示其推導(dǎo)、論證中所用的有代表性的數(shù)學(xué)思想、思維方法和典型的數(shù)學(xué)技能技巧，交待清楚公式、定理適應(yīng)的范圍及成立的特定條件，理解由某一條件所得出的必然結(jié)論.因此命題課的題組設(shè)計要求是：此題組的設(shè)計使學(xué)生明了①概念與概念之間的內(nèi)在聯(lián)系是什么？②概念與概念之間的演繹規(guī)律是什么？③幾個概念之間存在哪些定律或聯(lián)系法則？應(yīng)當(dāng)如何加以區(qū)別？④命題的條件和結(jié)論有什么關(guān)系？論證中用了哪些有代表性的數(shù)學(xué)思想、思維方法和典型的數(shù)學(xué)技能技巧？⑤公式、定理可解決哪些問題？公式變形有哪些形式？公式、定理適應(yīng)的范圍及成立的特定條件是什么？

4.3 復(fù)習(xí)課型中的題組設(shè)計和運用

復(fù)習(xí)課也是數(shù)學(xué)中最常見最基本的課型.復(fù)習(xí)課的教學(xué)內(nèi)容是學(xué)生過去學(xué)過的知識，其主要目的是使知識系統(tǒng)化，也就是把各種不同的概念、法則、規(guī)律引向合乎邏輯的完整的體系.在這個體系中，所有成分相互之間是緊密聯(lián)系的，沒有這種類型的課，教學(xué)過程將是不完整的，而學(xué)生的知識也將是片面的和雜亂的.

此題組的設(shè)計綜合了向量與三角的知識，通過一題多問、一題多變，較好地把相關(guān)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行了整合梳理，將三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性、對稱性、最值、零點、三角函數(shù)的圖像的變換結(jié)合起來，完善了知識體系，提升了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時學(xué)生的解題能力得到了一定的提高.

每一個知識單元結(jié)束后，對它進(jìn)行回顧與概括是必需的，復(fù)習(xí)課要達(dá)到的教學(xué)目的是：鞏固本單元的知識、技能，加深對知識、方法及應(yīng)用的認(rèn)識， 提高綜合解決問題的能力.因此復(fù)習(xí)課中的題組設(shè)計要求是：①題組的設(shè)計要突出對知識和方法的梳理，對已經(jīng)學(xué)過的知識，以問題串的形式進(jìn)行梳理綜合，結(jié)構(gòu)重組，通過題組的解答去構(gòu)建知識框架，形成自我知識體系；②題組設(shè)計應(yīng)明確學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是以“內(nèi)化學(xué)習(xí)”為主要特征，突出學(xué)生的主體性及主動性，問題似曾相識但絕非是原題；③題組設(shè)計要根據(jù)學(xué)生知識、技能的掌握狀況及遺忘缺漏情況，確定需要解決的重點和難點，要創(chuàng)造機(jī)會讓每一個學(xué)生充分發(fā)表自己的見解；④題組設(shè)計要引導(dǎo)學(xué)生把握問題的實質(zhì)，完善和深化已有的知識結(jié)構(gòu)，加深對復(fù)習(xí)內(nèi)容的知識和方法的再認(rèn)識，提高綜合解決問題的能力.

4.4 習(xí)題課型中的題組設(shè)計和運用

所謂習(xí)題課，就是以講解習(xí)題為主要內(nèi)容的課堂.一般說來，教師講授一段時期的課程或一個知識單元之后，即會開設(shè)一節(jié)習(xí)題課.習(xí)題課的授課過程一般包括：整理前階段課程的知識要點；分析作業(yè)題中的錯誤；講解習(xí)題；學(xué)生練習(xí)提高.習(xí)題課中要彌補學(xué)生的知識能力方法上的缺失，教師必須從學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)開始，從探究最核心的問題開始，設(shè)計系列問題.

例如學(xué)生在解答問題：已知拋物線y=-x2+mx-1，兩點M（0，3），N（3，0），若拋物線與線段MN有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍.盡管是經(jīng)典的問題，學(xué)生做這道題總是錯得很多，學(xué)生除了對這類問題在方法上掌握不到位，思維習(xí)慣上有缺失外，在學(xué)習(xí)方式、方法和認(rèn)知上也有問題，缺乏運用數(shù)學(xué)思想的意識.在習(xí)題課上為此錯題設(shè)計了如下系列問題：

（1）若方程x2-（m+1）x+4=0有兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）若方程x2-（m+1）x+4=0在[0，3]上有兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若函數(shù)y=x+4x（x∈（0，3]）的圖像與直線y=m+1有兩個交點，求實數(shù)m的取值范圍；

（4）若方程m+1=x+4x在x∈（0，3]上有兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；

（5）拋物線y=-x2+mx-1，兩點M（0，3），N（3，0），若拋物線與線段MN有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍；

（6）若不等式x2-（m+1）x+4>0在x∈[0，3]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（7）若不等式x2-（m+1）x+4>0在m∈[0，3]上恒成立，求實數(shù)x的取值范圍.

以上問題有基本、有變式、有拓展、有延伸，形成了一個問題串，構(gòu)成了思維的整體性，體現(xiàn)了思維的層次性和探究性，在問題串的引領(lǐng)下，學(xué)生進(jìn)行系列的連續(xù)的思維活動，不斷攀升思維的新高度，這樣設(shè)計不僅有利于學(xué)生思維的飛躍，加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，同時經(jīng)歷問題的形成和解決過程，提高學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力.

習(xí)題課要求學(xué)生的學(xué)習(xí)活動是在進(jìn)行“解決問題學(xué)習(xí)”，也就是把已經(jīng)掌握的基本概念，基本的公式、法則、定理，遷移到不同情境下加以應(yīng)用，找出解決當(dāng)前問題的方法，并加以比較擇優(yōu).因此習(xí)題課中的題組設(shè)計要求是：①題組要注意對解題策略、解題技巧等進(jìn)行問題設(shè)計，要在知識缺陷和邏輯推理缺陷處設(shè)計問題；②題組設(shè)計要著眼于培養(yǎng)學(xué)生的觀察、歸納、類比、直覺、抽象以及尋找論證的方法，展現(xiàn)解題思維的過程；③要注意問題間的層次關(guān)系，運用類比、聯(lián)想、特殊化和一般化，探索問題的變化及本質(zhì)；④還要考慮設(shè)計恰當(dāng)?shù)摹鞍l(fā)散性思維”問題，克服思維定勢，變中求進(jìn)，進(jìn)中求通，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及創(chuàng)造性.

4.5 講評課型中的題組設(shè)計和運用

講評課幫助學(xué)生分析前一階段的學(xué)習(xí)或測試情況，查漏補缺、糾正錯誤、鞏固雙基，并且在此基礎(chǔ)上尋找產(chǎn)生錯誤的原因，從中吸取失敗的教訓(xùn)（包括聽課、審題和做題的方法與習(xí)慣等等），總結(jié)成功的經(jīng)驗，從而完善學(xué)生的知識系統(tǒng)和思維系統(tǒng)，進(jìn)一步提高學(xué)生解決問題的能力.同時，通過習(xí)題講評還可以幫助教師發(fā)現(xiàn)自己教學(xué)方面的問題和不足，進(jìn)行自我總結(jié)、自我反思、改進(jìn)教學(xué)方法，最終達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的.

以上題組的設(shè)計，變更問題中的條件，轉(zhuǎn)換問題的形式和內(nèi)容，以暴露此類問題的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系.突出了任意、存在量詞的意義，圍繞常量與變量，從函數(shù)的角度出發(fā)，解決了三類問題——恒成立、不等式有解、方程有解問題；領(lǐng)悟了四種主要的思想方法——轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論.心理學(xué)理論認(rèn)為，“變化”是認(rèn)識的一種手段，其根本目的在于通過“變化”與“對照”幫助學(xué)生更好地認(rèn)識其中的不變因素，也即概念或問題的本質(zhì)，這是講評課能否成功的關(guān)鍵.

講評課要求既要“評”，也要“講”.“評”——既要評“不足”、評“偏差”與“誤解”；又要評“好”的，要評出方向，評出信心，充分調(diào)動積極因素，以利于學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí).“講”——要講清楚錯在哪里，產(chǎn)生錯誤的原因，克服錯誤的方法以及預(yù)防的措施，還應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律和方法，提升學(xué)生解決問題的能力.因此講評課中的題組設(shè)計要求是：①搭建平臺，以錯糾錯以防重蹈覆轍；②舉一反三，規(guī)范有序注重反饋提高；③借題發(fā)揮，以點帶面突出拓展延伸.

數(shù)學(xué)的魅力不僅在于她具有優(yōu)美的外在形式，更在于內(nèi)在的思維的思辨性，教學(xué)中要注重思維過程的揭示，重視思維能力的培養(yǎng).要做到這一點，不管從大的策略還是小的方法，落實到課堂上關(guān)鍵還是貫串于課堂中的數(shù)學(xué)問題的設(shè)計.高效課堂中的題組設(shè)計集趣味性、探索性、應(yīng)用性、開放性、創(chuàng)新性于一體，題組設(shè)計著眼于學(xué)生潛能的喚醒、挖掘與提升，學(xué)生自主能力的促進(jìn)與發(fā)展；題組設(shè)計促使學(xué)生在探索中形成概念，在討論中啟發(fā)思維，在歸納中得出結(jié)論，在思考中培養(yǎng)能力，在應(yīng)用中獲得方法，學(xué)生在體驗成功的同時，追求創(chuàng)新的價值，使學(xué)生自主、和諧、全面的發(fā)展.