■陜西省洋縣中學(xué) 雍 康

聚焦《推理與證明》中的九類經(jīng)典問題

■陜西省洋縣中學(xué) 雍 康

推理與證明是在同學(xué)們已有知識(shí)的基礎(chǔ)上完善了合情推理的兩種方式——?dú)w納推理和類比推理,以及數(shù)學(xué)證明的主要方法——分析法、綜合法、反證法等常用方法。上述推理方式和證明方法都是數(shù)學(xué)的基本思維過程,它們貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程,能使同學(xué)們通過學(xué)習(xí)感受邏輯思維方式在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用。下面聚焦其經(jīng)典問題,希望能有益于同學(xué)們的學(xué)習(xí)。

聚焦一：函數(shù)性質(zhì)研究中的演繹推理

(2014年安徽高考)若函數(shù)f(x) (x∈R)是周期為4的奇函數(shù),且在[0,2]上的解析式為

解析：同學(xué)們解題時(shí)先用周期性再用奇偶數(shù)性,最后結(jié)合區(qū)間上的解析式求值。因?yàn)橹芷谑?,且在[0,2]上的解析式為f(x)

點(diǎn)評(píng):已知周期函數(shù)在給定區(qū)間的解析式,可利用周期性和對(duì)稱性將所求值化為在已知區(qū)間上求值。整個(gè)求解過程是從一般到特殊的推理過程,即演繹推理的過程,在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下,得到的結(jié)論一定正確。

聚焦二：復(fù)合函數(shù)解析式中的歸納猜測(cè)

點(diǎn)評(píng):歸納推理是由部分到整體,由特殊到一般的推理過程。在進(jìn)行歸納時(shí),通過取特殊值計(jì)算出幾個(gè)結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,從而做出合理的猜想,即合情推理。本題以復(fù)合函數(shù)解析式為載體,考查對(duì)遞推關(guān)系的理解和應(yīng)用,以及同學(xué)們的計(jì)算與歸納猜測(cè)能力。

聚焦三：“分裂數(shù)”中的歸納猜測(cè)

(2015年山東淄博市高三模擬)對(duì)于大于等于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”:13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…。仿此,若m3的“分裂數(shù)”中有一個(gè)是2015,則m 。

解析：由已給定的前幾個(gè)自然數(shù)的三次冪的分裂中,不難找出規(guī)律,即13=1,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,m增加1,累加的奇數(shù)個(gè)數(shù)便多1。我們不難計(jì)算2015是第1008個(gè)奇數(shù),若它是m的分裂數(shù),則1至m-1的分裂中,累加的奇數(shù)一定不能超過1008個(gè),[1+2+3+…+(m-1)]＜1008,[1+2+3+…+(m-1)+m]≥1008?！?008,得m=45。

點(diǎn)評(píng):解決這類問題時(shí),首先觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),其次觀察式子中出現(xiàn)的字母之間的關(guān)系,再進(jìn)行化簡(jiǎn)或運(yùn)算。另外要注意對(duì)較為復(fù)雜的運(yùn)算式,先不要化簡(jiǎn),這樣便于觀察運(yùn)算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點(diǎn),有時(shí)還要借助等差或等比數(shù)列的性質(zhì)簡(jiǎn)化求解。

聚焦四：等差與等比數(shù)列中的類比推理

(2015年浙江杭州市高三模擬)已知命題:“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列,且an＞0,則數(shù)列(n∈N*)也是等比數(shù)列?！鳖惐冗@一性質(zhì),你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)呢?并證明你的結(jié)論。

解析：等比數(shù)列n項(xiàng)積的幾何平均數(shù)類比為等差數(shù)列n項(xiàng)和的算術(shù)平均數(shù)。類比等比數(shù)列的性質(zhì),可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是:若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列cn=也是等差數(shù)列。證明如下:設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。

所以數(shù)列{cn}是以a1為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列。

點(diǎn)評(píng):把等差與等比數(shù)列進(jìn)行類比,運(yùn)用類比思想找出項(xiàng)與項(xiàng)的聯(lián)系,應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是解決該題的關(guān)鍵。等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運(yùn)算和性質(zhì),一般情況下等差數(shù)列中的和(或差)對(duì)應(yīng)著等比數(shù)列中的積(或商)。

聚焦五：圖形關(guān)系中的類比

在圓x2+y2=r2中,AB為直徑,C為圓上異于AB的任意一點(diǎn),則有kAC·kBC=-1,你能用類比的方法得出橢圓=1(a＞b＞0)中什么樣的結(jié)論呢?

解析：注意圖形之間的關(guān)系和形式的類比,由圓的幾何性質(zhì)可知AB為直徑,C為圓上異于AB的任意一點(diǎn),則有kAC·kBC= -1。類比到橢圓可以得到橢圓＞b＞0)中過中心的一條弦的兩個(gè)端點(diǎn)A、B,P為橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),則有kAP·kBP為定值。注意到解析幾何的特點(diǎn),用方程探究這個(gè)定值。設(shè)A(x0,y0)為橢圓上的任意一點(diǎn),則點(diǎn)A關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-x0,-y0),點(diǎn)P(x,y)為橢圓上異于A、B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),則:

點(diǎn)評(píng):圖形關(guān)系中的類比,找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素,找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系,同時(shí)注意方法的類比。

聚焦六：數(shù)列推理中的綜合法

(2014年廣東高考)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,Sn滿足- (n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*。

(1)求a1的值;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

解析：(1)一般數(shù)列由Sn求an時(shí),an=

(2)注意條件的特殊性解方程求Sn,用一般數(shù)列的切入點(diǎn)探究通項(xiàng)公式。由S2n-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0得:

(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0。

因?yàn)閍n＞0(n∈N*),所以Sn＞0。從而Sn+3＞0,所以Sn=n2+n。

當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n。

又a1=2=2×1,所以an=2n(n∈N*)。

(3)對(duì)通項(xiàng)公式放縮變形重新改寫,用裂項(xiàng)相消法求和,也可用觀察法證明不等式。

證法1:當(dāng)k∈N*時(shí)

點(diǎn)評(píng):明確一般數(shù)列的切入點(diǎn)由Sn求an時(shí)大前提正確,對(duì)于特殊的小前提Sn=n2+n下求得an一定正確,這就是演繹推理三段論的典型應(yīng)用,要注意驗(yàn)證a1是否符合后面an的公式,若不符合要單獨(dú)列出。數(shù)列之和的不等式問題,求證時(shí)常常先放縮通項(xiàng)使得求和可以裂項(xiàng)相消或用公式求和進(jìn)而得到所要證的不等式。

聚焦七：不等式證明中的綜合分析

設(shè)a,b,c均為大于1的正數(shù),且ab=10。

求證:l o gac+l o gbc≥4l gc。

證明：?jiǎn)我贿\(yùn)用綜合法或分析法很復(fù)雜,本題若兩者均用,效果更好。

故原不等式得證。

點(diǎn)評(píng):分析法與綜合法各有優(yōu)勢(shì),證明問題時(shí),可結(jié)合使用,先以分析法為主尋求解題思路,再用綜合法有條理地解答或證明。兩者交替使用,較易成功。這種方法不僅在證明不等式時(shí)經(jīng)常用到,在解決其他數(shù)學(xué)問題時(shí)也常常用到。

聚焦八：新定義問題中的合情推理

(2015年高考湖北卷理科數(shù)學(xué))已知集合A={(x,y)x2+y2≤1,x,y∈Z},B={(x,y)|x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定義集合A⊕B={(x1+x2,y1+y2) (x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)為( )。

A.77 B.49 C.45 D.30

解析：點(diǎn)集的新定義問題,需要先作出圖形,數(shù)形結(jié)合解題。因?yàn)榧螦={(x,y) x2+y2≤1,x,y∈Z},所以集合A中有5個(gè)元素(即5個(gè)點(diǎn)),即圖1中圓中的整數(shù)點(diǎn)。集合B={(x,y) |x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z}中有25個(gè)元素(即25個(gè)點(diǎn)),即圖中正方形AB CD中的整數(shù)點(diǎn)。集合A⊕B= {(x1+x2,y1+y2)(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整數(shù)點(diǎn)(除去四個(gè)頂點(diǎn)),即7×7-4=45(個(gè))。選C。

圖1

點(diǎn)評(píng):這是一道與集合相關(guān)知識(shí)的新定義題型。通過給出一個(gè)新定義,或約定一種新運(yùn)算,或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景,要求同學(xué)們?cè)陂喿x理解的基礎(chǔ)上,依據(jù)題目提供的信息,聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法,結(jié)合圖形實(shí)現(xiàn)信息的遷移,達(dá)到靈活解題的目的。

聚焦九：先猜后證中的數(shù)學(xué)歸納法

(1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系;

(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明。

解析：由特殊到一般,先猜想再用數(shù)學(xué)歸納法證明。

(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1)。

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。

①當(dāng)n=1,2,3時(shí),不等式顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3,k∈N*)時(shí)不等式恒成立,即:

所以f(k+1)＜g(k+1)。

由①、②可知,對(duì)一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立。

點(diǎn)評(píng):數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法,第一步是遞推的“基礎(chǔ)”,第二步是遞推的“依據(jù)”,兩個(gè)步驟缺一不可。在證明過程中要防范以下兩點(diǎn):第一步驗(yàn)證n=n0時(shí),n0不一定為1,根據(jù)題目選擇合適的起始值;第二步,歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用,在證明n=k+1時(shí),命題也成立的過程中一定要用到它,否則就不是數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法的第二步中要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時(shí),要證明的結(jié)論中到底需要添加(或舍去)哪些項(xiàng),如用數(shù)學(xué)歸納法證明某數(shù)列問題時(shí),當(dāng)n=k時(shí)有Sk=,則n=k+1時(shí)有Sk+1不要弄錯(cuò)。

(責(zé)任編輯 徐利杰)