于正軍

【摘 要】數(shù)學(xué)思考中的識(shí)記和重現(xiàn)是數(shù)學(xué)記憶的有效方式，而有效的數(shù)學(xué)記憶更是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維起點(diǎn)。在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方法的建構(gòu)與形成過(guò)程中，開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)記憶，其目的在于促進(jìn)學(xué)生思維的應(yīng)然激活和數(shù)學(xué)意義的自然建構(gòu)，助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的形成和數(shù)學(xué)思維的提升，有效幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從低級(jí)思維的機(jī)械重復(fù)向高級(jí)思維的綜合運(yùn)用的應(yīng)然轉(zhuǎn)變，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和數(shù)學(xué)思想的感悟。

【關(guān)鍵詞】有效記憶 思維起點(diǎn)

數(shù)學(xué)思考中的識(shí)記和重現(xiàn)是數(shù)學(xué)記憶的有效方式，而有效的數(shù)學(xué)記憶更是學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中的思維起點(diǎn)。因而，在數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過(guò)程中，時(shí)而需要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)記憶。教學(xué)時(shí)發(fā)現(xiàn)，一旦學(xué)生的認(rèn)知不能直接觸摸已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維便無(wú)法順勢(shì)遷移，數(shù)學(xué)認(rèn)知也無(wú)法有序推進(jìn)，抑制了學(xué)生對(duì)新知概念的直觀(guān)感知和數(shù)學(xué)意義的積極建構(gòu)。此時(shí)需要教師在教學(xué)實(shí)踐中，適時(shí)引領(lǐng)學(xué)生捕捉生活中的直接經(jīng)驗(yàn)，探尋直接經(jīng)驗(yàn)中數(shù)學(xué)知識(shí)的思維“源頭”，刺激學(xué)生探尋新舊知識(shí)的思維連接點(diǎn)，使新知概念在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得以自然形成。如此識(shí)記知識(shí)源頭，重現(xiàn)已有知識(shí)，學(xué)生在經(jīng)歷新知的形成過(guò)程中，其思維才能“有源可思”“有據(jù)可思”，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)記憶對(duì)數(shù)學(xué)思考的有效支撐。因此，數(shù)學(xué)記憶能在數(shù)學(xué)活動(dòng)中有效點(diǎn)燃學(xué)生的思維，促使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法得以自然掌握。

一、從觀(guān)察到識(shí)記：認(rèn)知中形成思維技能

【案例一】蘇教版教材四年級(jí)上冊(cè)“認(rèn)識(shí)升”

課堂上，教師根據(jù)教材的編排步驟引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了“升”后，就出示了如下的練習(xí)情境。

師：浴缸的容量大約是……

生：10升。（教師眉頭緊鎖，直搖頭）

師：玻璃杯的容量會(huì)是多少？

生：10升。（學(xué)生是在回答浴缸容量10升老師直搖頭的情況下脫口而出的）

師愕然……

【思考】

此案例反映出學(xué)生對(duì)10升容量的大小沒(méi)有一點(diǎn)認(rèn)知，折射出學(xué)生對(duì)1升的數(shù)學(xué)概念還未建立。由此，“升”的教學(xué)需要教師引導(dǎo)學(xué)生在觀(guān)察中識(shí)記，在識(shí)記中認(rèn)知，在認(rèn)知中形成思維技能。

（一）數(shù)學(xué)感知，需從“無(wú)形”走向“有形”

在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，學(xué)生通過(guò)直觀(guān)觀(guān)察而直接感知事物的特征，會(huì)表現(xiàn)出一種可知性思維。此時(shí)，事物往往呈現(xiàn)出一種有形狀態(tài)，刺激學(xué)生對(duì)事物的感知形成思維邊界，并逐步建立感知對(duì)象的思維直觀(guān)。而一旦呈現(xiàn)在學(xué)生面前的事物或認(rèn)識(shí)對(duì)象是一種無(wú)形狀態(tài)，學(xué)生對(duì)事物的認(rèn)知便無(wú)法直接感知，其直觀(guān)形象思維難以激活，思維會(huì)表現(xiàn)出不可知性。此時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考缺乏思維支撐，無(wú)法延續(xù)，找不到新知事物的特征與學(xué)生認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)的連接點(diǎn)，無(wú)法對(duì)所學(xué)新知概念內(nèi)涵得以進(jìn)一步表征與建構(gòu)。因而，對(duì)數(shù)學(xué)概念的直觀(guān)感知，需要從概念表征的“無(wú)形”走向“有形”，學(xué)生才能捕捉認(rèn)知對(duì)象的參照物，找到新知概念的思維“燃點(diǎn)”，繼而開(kāi)展有序的數(shù)學(xué)思考。

在“認(rèn)識(shí)升”的例題主題圖中，在量杯中倒入1升的水，然后全部倒入棱長(zhǎng)為1分米的正方體容器中。這一操作過(guò)程，實(shí)際上僅能幫助學(xué)生建構(gòu)“1升水的容量等于1立方分米空間的大小”，而學(xué)生對(duì)于“1升水有多少”的概念建構(gòu)不但未能起到促進(jìn)作用，反而增加了“認(rèn)識(shí)”的難度。因?yàn)閷W(xué)生直接觀(guān)察到1升的水是“無(wú)形”的，要想在腦海里建立“1升水”的概念表象，學(xué)生需要捕捉到1升水容量的“空間輪廓”，如此液體的“空間輪廓”是隨著不同容器的形狀而隨之發(fā)生改變，導(dǎo)致“1升水的容量究竟有多少”留在學(xué)生的腦海里總是無(wú)形的，是記住1升量杯里的水，還是記住1立方分米正方體容器里的水？而且1立方分米正方體容器的空間大小在學(xué)生的腦海里又是陌生的，學(xué)生還未積累此方面的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，難以形成積極的意義建構(gòu)和記憶理解，學(xué)生對(duì)“升”的認(rèn)識(shí)開(kāi)始迷茫，此時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)感知是模糊的。因此，教學(xué)時(shí)理應(yīng)從兒童的認(rèn)知現(xiàn)實(shí)出發(fā)，急需讓1升水的無(wú)形找到有形，找到學(xué)生熟悉的1升容量的有形容器，激活學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，繼而幫助學(xué)生建立掌握1升水容量大小的思維依據(jù)和思維支撐。

（二）數(shù)學(xué)技能，需從識(shí)記走向思考

有效的數(shù)學(xué)思考、有序的數(shù)學(xué)思維理應(yīng)從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，因?yàn)橐延械闹R(shí)經(jīng)驗(yàn)在學(xué)生的腦海里已經(jīng)內(nèi)化為一種學(xué)習(xí)能力和思維技能。因此，有效的數(shù)學(xué)活動(dòng)需要適時(shí)回歸兒童的現(xiàn)實(shí)生活，激活兒童的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)兒童的思維靈感，才能形成有效的數(shù)學(xué)識(shí)記，促進(jìn)學(xué)生由數(shù)學(xué)記憶走向數(shù)學(xué)思考，形成相應(yīng)的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維方法和數(shù)學(xué)技能。

“升”的認(rèn)識(shí)對(duì)于四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是抽象的，不可捉摸的，因?yàn)樽鳛槿萘繂挝?，它是無(wú)形的，學(xué)生無(wú)法直接感知它，而作為“1升”的液體又是無(wú)形的，它是隨著容器的形狀而發(fā)生改變，方形容器的容量可以是1升，圓形容器的容量可以是1升，其他任何形狀容器的容量也可以是1升。所以，課堂上教師需要引導(dǎo)學(xué)生在觀(guān)察的基礎(chǔ)上進(jìn)行適時(shí)記憶，讓學(xué)生對(duì)自己熟悉的“1升容器”在頭腦中形成“腦象圖”，使“1升”數(shù)學(xué)概念表象得到及時(shí)表征，從而有效支撐學(xué)生對(duì)容量數(shù)量關(guān)系問(wèn)題的分析和解決。

教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生課前帶一個(gè)1升的飲料瓶。課堂上發(fā)現(xiàn)，有學(xué)生帶的是1升的匯源果汁方盒，有學(xué)生帶的是1升的冰紅茶瓶，還有學(xué)生帶的是其他一些接近1升的飲料瓶。這些飲料都是學(xué)生生活里愛(ài)喝的飲料，平時(shí)經(jīng)常接觸，對(duì)這些容器的空間大小以及形狀已經(jīng)有了深刻的感知，對(duì)它們的空間大小已形成認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。課堂上讓學(xué)生把這些1升的容器的樣子順勢(shì)記憶在腦海里，這樣學(xué)生就能深刻體會(huì)到“1升”容器的大小，把自己熟悉的1升容器的空間大小作為一種特定的容量測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，每當(dāng)解決與“升”有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，學(xué)生就會(huì)自然地從這個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)”出發(fā)進(jìn)行觀(guān)察分析、甄別比較。長(zhǎng)此以往，學(xué)生對(duì)1升的容量大小的數(shù)學(xué)概念就會(huì)從無(wú)形的迷茫，找到有形的抓手，扎實(shí)掌握1升的容量大小，建構(gòu)了1升的概念意義。如此有效記憶1升的概念意義就會(huì)自然成為學(xué)生去判斷其他容器容量的思維原點(diǎn)，從而不會(huì)發(fā)生諸如“浴缸的容量是10升”“酒杯的容量是10升”的認(rèn)知嚴(yán)重偏離的錯(cuò)誤現(xiàn)象了。

二、從經(jīng)驗(yàn)到重現(xiàn)：運(yùn)用中形成思維方法

【案例二】蘇教版教材一年級(jí)下冊(cè)“十幾減6、5、4、3、2”

課堂上，教師教學(xué)12-3呈現(xiàn)如下教學(xué)情境。

師：12-3等于多少？可以怎樣想？

生（齊答）：想加算減。（平時(shí)教師一定是統(tǒng)一強(qiáng)調(diào)）

師：誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)3加幾等于12呢？（課堂上鴉雀無(wú)聲，無(wú)人回答）

師追問(wèn)（有點(diǎn)著急）：那12-3等于幾呀？

生（齊答）：等于9。

師（繼續(xù)）：你們說(shuō)說(shuō)3加幾等于12 呀？（學(xué)生還是一臉茫然）

【思考】

由此分析，教師在課堂上強(qiáng)加給學(xué)生的“想加算減”的方法，與學(xué)生實(shí)際計(jì)算過(guò)程中的思維方法不一致，學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的“言行不一”的行為，凸顯了對(duì)20以?xún)?nèi)加法記憶的一種缺失，這種記憶缺失，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法對(duì)加法結(jié)果的瞬間重現(xiàn)，因而無(wú)法支撐學(xué)生用“想加算減”的思維進(jìn)行減法口算。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)理應(yīng)在運(yùn)用中記憶，在記憶中形成技能，繼而形成數(shù)學(xué)思維方法，使經(jīng)驗(yàn)得以重現(xiàn)，推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知由數(shù)學(xué)記憶走向數(shù)學(xué)思考。

（一）方法建構(gòu)，源于兒童的思維現(xiàn)實(shí)

在數(shù)學(xué)方法的形成過(guò)程中，兒童的理解與成人是不一樣的，解決問(wèn)題的過(guò)程更加凸顯兒童化的思維路徑。因而，教師教學(xué)必須要符合兒童的思維現(xiàn)實(shí)，即要順應(yīng)兒童的思維經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)。無(wú)論教材中的教學(xué)方法，還是教師個(gè)體成人化的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，均不能在探索新知的過(guò)程中直接“移植”給學(xué)生，以便形成無(wú)效的數(shù)學(xué)記憶，需要在建構(gòu)數(shù)學(xué)方法的過(guò)程中回歸兒童的思維，讓兒童的思維自然催生學(xué)習(xí)需求和求知欲望，從而探索出兒童化的數(shù)學(xué)思維方法。

從上面案例分析，在思維的難易程度上，12-3的思維難度要小于3+（ ）=12。因?yàn)?2-3在學(xué)生的頭腦中，學(xué)生會(huì)用“去掉”的思維方法得到9，從12里去掉2，還剩10，再去掉1還剩下9，如此順勢(shì)思考學(xué)生會(huì)很快得到12-3=9。而3+（ ）=12學(xué)生會(huì)在頭腦中用“慢慢湊”的思維方法：3+7=10，10+2=12，然后把先湊的7與后湊的2合起來(lái)是9，于是得出3+（9）=12，由此再想出12-3=9。這一思維已經(jīng)明顯脫離了兒童的思維現(xiàn)實(shí)。因而，教學(xué)時(shí)要尊重兒童的思維現(xiàn)實(shí)，否則學(xué)生不但不能主動(dòng)接受 “想加算減”的口算方法，更無(wú)法理解加減法之間的運(yùn)算聯(lián)系。

（二）技能形成，依于兒童的已有經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)方法和技能形成的過(guò)程，必然是學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行有效遷移和再運(yùn)用的過(guò)程，表現(xiàn)為學(xué)生數(shù)學(xué)思考過(guò)程中的思維創(chuàng)新和有效記憶的積累。只有當(dāng)學(xué)生對(duì)已有知識(shí)實(shí)施了有效記憶，相應(yīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)便會(huì)悄然形成，新知便會(huì)在舊知的遷移過(guò)程中得以自然生長(zhǎng)。因此，在幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)方法的過(guò)程中，開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)記憶會(huì)助推學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的再運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生由知識(shí)性技能向思維性技能的應(yīng)然轉(zhuǎn)變，加深理解知識(shí)間的相互聯(lián)系，強(qiáng)化數(shù)學(xué)方法的靈活運(yùn)用。

因此，基于兒童的心理特點(diǎn)和思維特征，學(xué)生在課堂上不會(huì)主動(dòng)想“由3+（9）=12得出12-3=9”的口算方法，因?yàn)槿绱怂伎挤炊黾訑?shù)學(xué)思維的復(fù)雜性和運(yùn)算算理的煩瑣性。故而，要使學(xué)生在后續(xù)的減法計(jì)算過(guò)程中形成“想加算減”的計(jì)算技能，教師需要引領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)加法口算時(shí)，實(shí)施有效的數(shù)學(xué)記憶。引導(dǎo)學(xué)生在記憶的過(guò)程中，進(jìn)一步探索20以?xún)?nèi)加法算式的特征，使20以?xún)?nèi)數(shù)的分與合自然烙印在學(xué)生的腦海，初步感悟加減法算式之間的應(yīng)然聯(lián)系。這樣，學(xué)生會(huì)在熟練記憶的基礎(chǔ)上，深刻領(lǐng)悟20以?xún)?nèi)加法的結(jié)果，當(dāng)熟練到一定程度時(shí)，學(xué)生對(duì)于20以?xún)?nèi)的加法口算方法會(huì)自然積累為計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，繼而形成相應(yīng)的數(shù)感，從而形成對(duì)加法計(jì)算的知識(shí)性技能。計(jì)算技能一旦形成，學(xué)生只要看到20以?xún)?nèi)的加法算式，便會(huì)形成條件反射，其算式中的“加數(shù)”和“結(jié)果”就會(huì)同時(shí)浮現(xiàn)在學(xué)生的腦海。所以，當(dāng)學(xué)生對(duì)于20以?xún)?nèi)加法口算記憶猶新的時(shí)候，實(shí)際上就已經(jīng)形成了“想加算減”口算技能了。因?yàn)樵谒銣p法的時(shí)候，加法形成的計(jì)算技能已經(jīng)自然成為學(xué)生計(jì)算減法的思維起點(diǎn)，只要遇到十幾減幾的減法算式的時(shí)候，學(xué)生的腦海中即會(huì)浮現(xiàn)相應(yīng)的加法算式，此時(shí)學(xué)生就不會(huì)再滋生“去掉”的思維去慢慢算減法了。如此從兒童的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，實(shí)施有效的數(shù)學(xué)記憶，既順應(yīng)了兒童的認(rèn)知思維，也迎合了學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)技能的形成。

綜上所述，在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方法的建構(gòu)與形成過(guò)程中，開(kāi)展有效的數(shù)學(xué)記憶，并不是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的機(jī)械灌輸和數(shù)學(xué)方法的被動(dòng)接受，而是促進(jìn)學(xué)生思維的應(yīng)然激活和數(shù)學(xué)意義的自然建構(gòu)，助推學(xué)生數(shù)學(xué)思維方法的形成和數(shù)學(xué)思維的提升。因此，有效的數(shù)學(xué)記憶會(huì)自然開(kāi)啟學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使之成為學(xué)生數(shù)學(xué)思考的思維起點(diǎn)，有效幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從低級(jí)思維的機(jī)械重復(fù)向高級(jí)思維的綜合運(yùn)用的應(yīng)然轉(zhuǎn)變，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和數(shù)學(xué)思想的感悟。

（江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué) 225200）