徐 健， 周志祥， 唐 亮， 冉 杰， 何 杰

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 404100; 2.南充市住房和城鄉(xiāng)建設(shè)局，637000;3.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

基于總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法的自適應(yīng)改進(jìn)

徐 健1， 周志祥1， 唐 亮1， 冉 杰2， 何 杰3

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶 404100; 2.南充市住房和城鄉(xiāng)建設(shè)局，637000;3.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031)

目前較為廣泛使用的總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法(EEMD)不能實(shí)現(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的自適應(yīng)分解和重構(gòu)，基于此，針對(duì)EEMD算法的不足，提出了能夠?qū)崿F(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)自適應(yīng)分解與重構(gòu)的改進(jìn)算法：首先引入自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配延拓算法以抑制端點(diǎn)效應(yīng)；再對(duì)分解信號(hào)進(jìn)行聚類分析以避免模態(tài)混疊現(xiàn)象；最后利用各本征模態(tài)函數(shù)(IMF)對(duì)應(yīng)的信息熵、能量密度和平均周期構(gòu)建篩選有效IMF分量的指標(biāo)(有效程度系數(shù))，以實(shí)現(xiàn)有效IMF分量的自動(dòng)篩選，再利用篩選出的有效分量對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)。模擬信號(hào)和簡(jiǎn)支梁橋仿真算例表明，所提改進(jìn)算法能夠更有效、更準(zhǔn)確的實(shí)現(xiàn)橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的自適應(yīng)分解與重構(gòu)。

橋梁結(jié)構(gòu)；模態(tài)分解算法；端點(diǎn)效應(yīng)；聚類分析；信號(hào)重構(gòu)

環(huán)境激勵(lì)下橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力信號(hào)內(nèi)部一般會(huì)含有大量噪聲，且噪聲的來(lái)源復(fù)雜多樣，雖然能在數(shù)據(jù)采集階段，通過(guò)采取平均、濾波和屏蔽等[1]措施來(lái)降低振動(dòng)信號(hào)內(nèi)部的噪聲，但要想全部消除噪聲是難以實(shí)現(xiàn)的。鑒于此，為了在對(duì)橋梁系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)、結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷診斷及健康監(jiān)測(cè)時(shí)能得到更為準(zhǔn)確的橋梁模態(tài)參數(shù)，有必要對(duì)環(huán)境激勵(lì)下的橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，通常做法是對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解和重構(gòu)。本文通過(guò)引入自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配延拓算法、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的聚類分析算法以及信息論[2]中的信息熵、能量密度和平均周期對(duì)總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法[3]的改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的自適應(yīng)分解與重構(gòu)。

1 總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法

總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法是對(duì)EMD算法的重大改進(jìn)，其具體做法是在原始信號(hào)中多次添加等幅值的隨機(jī)白噪聲以改變?cè)夹盘?hào)中極值點(diǎn)的具體分布，使極值點(diǎn)的分布均勻化，進(jìn)而在一定程度上避免由間歇性[4]高頻分量帶來(lái)的影響。為了抵消IMF分量中的白噪聲，最后需要對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行幾何平均，進(jìn)而保留具有物理意義的IMF分量。具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1) 原始信號(hào)x(t)中加入N個(gè)不同的Gaussian白噪聲wi(t)(i=1,2,…,N)，即

(1)

式中：xi(t)為第i次加入白噪聲后的信號(hào)；wi(t)為第i次加入白噪聲。

(2) 對(duì)加入了白噪聲的信號(hào)xi(t)分別進(jìn)行EMD分解，得到相應(yīng)的IMFij和一個(gè)余項(xiàng)rij，其中IMFij(j=1,2,…,n)表示第i次加入白噪聲后分解所得的第j個(gè)IMF，即：

(2)

式中：i表示每次EMD分解得到的IMF和r的總個(gè)數(shù)。

(3) 利用不相關(guān)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)均值為0的原理，將上述對(duì)應(yīng)的IMF進(jìn)行總體平均運(yùn)算，得到EEMD分解后最終的IMF，即

(3)

式中：IMFj為對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行EEMD分解后所得的第j個(gè)IMF。

EEMD算法的基本流程圖，如圖1所示。

圖1 EEMD基本流程圖

2 總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解算法的改進(jìn)

通過(guò)EEMD算法的基本原理及分解效果可知：其存在以下幾個(gè)方面的缺陷：端點(diǎn)效應(yīng)的處理效果不佳；所得本征模態(tài)函數(shù)之間依然存在模態(tài)混疊現(xiàn)象；難以準(zhǔn)確篩選有效的IMF分量用于信號(hào)重構(gòu)，針對(duì)上述三方面的缺陷，本文提出了相應(yīng)的改進(jìn)算法。

2.1 正負(fù)白噪聲的添加

EEMD分解過(guò)程中，需要在原信號(hào)分解中添加白噪聲信號(hào)，再進(jìn)行分解，這樣不同時(shí)間尺度的信號(hào)成分會(huì)被自動(dòng)分解到由白噪聲信號(hào)所確定的通頻帶中，能在一定程度上克服模態(tài)混疊現(xiàn)象[5]。但是由于在原信號(hào)中添加了白噪聲信號(hào)，白噪聲信號(hào)會(huì)造成原信號(hào)的“污染”，使得分解結(jié)果信噪比降低。由于不能完全消除白噪聲帶來(lái)的影響，導(dǎo)致該算法的重構(gòu)誤差較大，分解的完備性較差?；诖耍疚膶?duì)原始信號(hào)添加正、負(fù)白噪聲以解決上述問(wèn)題，具體的步驟如下：

(1) 向原信號(hào)s(t)中添加隨機(jī)的白噪聲，其中包括K組正的白噪聲ni(t)和K組負(fù)的白噪聲-ni(t)，計(jì)算式為

(4)

式中：q=1,2(等于1時(shí)代表加入的是負(fù)的白噪聲，等于2時(shí)表示加入的是正的白噪聲)；i=1,2,…,K，K代表加入白噪聲的總次數(shù)；a0代表添加白噪聲的幅值標(biāo)準(zhǔn)差；ni(t)代表第i次添加的白噪聲；s(t)代表原始信號(hào)；x(t)代表添加了白噪聲之后的信號(hào)。

(2) 將加入了正、負(fù)白噪聲對(duì)的混合信號(hào)x(t)作為EEMD模態(tài)分解算法的輸入進(jìn)行分解。

在實(shí)際應(yīng)用中，添加的白噪聲幅值不能太大，也不能太??；如果白噪聲幅值太大，則噪聲會(huì)掩蓋住有效信號(hào)，且殘留噪聲也難以剔除；如果白噪聲幅值太小，則不足以改變?cè)盘?hào)中的極值點(diǎn)分布，達(dá)不到消除模態(tài)混疊現(xiàn)象的效果。相關(guān)學(xué)者[5]研究表明：添加的白噪聲幅值常取原始信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差的0.1倍～0.2倍。

2.2 自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配延拓

針對(duì)EEMD算法中的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題，目前已有許多學(xué)者提出了改進(jìn)方法，改進(jìn)算法大致分為以下兩大類：

(1) 極值點(diǎn)延拓法[6]：將原始信號(hào)數(shù)據(jù)向外延拓一定數(shù)量的極值點(diǎn)，該算法的優(yōu)點(diǎn)在于操作簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)；缺陷在于僅僅只考慮了信號(hào)在端點(diǎn)處的局部信息，未能從信號(hào)的整體進(jìn)行考慮，存在局限性；

(2) 預(yù)測(cè)延拓法[7]：即采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]、ARMA模型[9]、支持向量機(jī)法[10]等對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)延拓。這類算法對(duì)端點(diǎn)效應(yīng)的處理效果主要取決于參數(shù)設(shè)置，不具有自適應(yīng)性，且計(jì)算量大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)。

本文結(jié)合上述兩類方法的優(yōu)缺點(diǎn)，提出了一種新的延拓方法，即自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配延拓算法，該算法的主要特點(diǎn)在于：能從原始信號(hào)內(nèi)部找出與信號(hào)兩端極值點(diǎn)最匹配的極值點(diǎn)對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓，這樣既最大限度的考慮了原信號(hào)的內(nèi)部規(guī)律，又能快速的實(shí)現(xiàn)，具有一定的自適應(yīng)性。該算法的基本原理如下：

設(shè)信號(hào)為x(t)，mi,ni(i=1,2,3…)分別為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的時(shí)間分別為tmi和tni。以信號(hào)x(t)左端點(diǎn)延拓為例，xtx1為信號(hào)左端起點(diǎn)，以xtx1-m1-n1三點(diǎn)構(gòu)成極值點(diǎn)特征波，然后從信x(t)中尋找和特征波最匹配的極值點(diǎn)波形，xtxi-mi-ni作為匹配極值點(diǎn)波，將匹配極值點(diǎn)延拓到原信號(hào)左端點(diǎn)前(右端延拓到右端點(diǎn))。具體步驟如下：

(1) 求出除左端點(diǎn)xtx1外的所有xtxi，對(duì)此先由相似關(guān)系求出其對(duì)應(yīng)的時(shí)間值txi；

(5)

其中假定tm1小于tn1，若求出的txi不在采樣點(diǎn)上，可以對(duì)其線性插值求出xtxi的具體值。

(2) 計(jì)算所得的極值點(diǎn)與特征極值點(diǎn)的誤差e；

(6)

式(6)中之所以除以第一個(gè)極大值、第一個(gè)極小值以及信號(hào)端點(diǎn)值是為了對(duì)誤差值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理；

(3) 找出最小的匹配誤差e(i)min，此時(shí)的極值點(diǎn)即為匹配極值點(diǎn)，將匹配極值點(diǎn)的數(shù)據(jù)作為延拓極值移至原信號(hào)左端點(diǎn)處；

上述延拓算法，不僅考慮了信號(hào)的整體趨勢(shì)和規(guī)律，而且只需要延拓極值點(diǎn)，操作簡(jiǎn)單，相比其它方法具有更強(qiáng)的自適應(yīng)性。

現(xiàn)階段，一般通過(guò)直接觀察法來(lái)判定信號(hào)端點(diǎn)效應(yīng)的處理效果，基于此，引入了用于評(píng)價(jià)端點(diǎn)效應(yīng)處理程度的評(píng)價(jià)指標(biāo)θ，基本原理是：通過(guò)比較分解前后的能量來(lái)評(píng)估端點(diǎn)效應(yīng)的影響程度，具體計(jì)算流程如下：

(1) 首先計(jì)算原始信號(hào)與各IMF分量的均方根有效值RMS，并用該值來(lái)估計(jì)各信號(hào)序列的能量大小，RMS的具體計(jì)算式子為

(7)

式子中：S(i)：信號(hào)序列，即原始信號(hào)x(t)或各IMF分量；

n：信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)。

按照(7)計(jì)算比較各IMF分量的有效值總和與原信號(hào)有效值，得到評(píng)價(jià)指標(biāo)θ。

(8)

式子中：RMSx代表原始信號(hào)的有效值；RMSf代表第f個(gè)IMF分量的有效值；k代表IMF分量總個(gè)數(shù)，包括信號(hào)分解結(jié)果中的殘余量。

由定義可知：當(dāng)θ=0時(shí)，表明不存在端點(diǎn)效應(yīng)；θ值越大時(shí)，則端點(diǎn)效應(yīng)影響越大。

2.3 模態(tài)混疊現(xiàn)象處理

利用EEMD算法分解信號(hào)時(shí)，所得IMF間可能會(huì)存在模態(tài)混疊現(xiàn)象，即相近的特征時(shí)間尺度會(huì)分布在不同的IMF分量中，導(dǎo)致相鄰的兩個(gè)IMF分量波形混疊，相互影響，難以辨認(rèn)。分析其原因主要是因?yàn)椋篍EMD算法在求取IMFj時(shí)只是直接對(duì)IMFij(i=1,2,…,N)求平均，卻未考慮同一行的N個(gè)IMFij(i=1,2,…,N)是否屬于同一類。同時(shí)，同一列的n-1個(gè)IMFij(j=1,2,…,n-1)間也有可能存在模態(tài)混疊現(xiàn)象；基于此，本文引入了多元數(shù)據(jù)分析方法中的聚類分析[11]以解決模態(tài)混疊問(wèn)題，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

(1) 在對(duì)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解的過(guò)程中，每次分解都會(huì)得到一系列的IMF分量，為了保證這些分量之間不存在混疊現(xiàn)象，可以利用聚類分析對(duì)每次得到的分量進(jìn)行分析，一旦所得分量之間存在模態(tài)混疊，則舍去該組結(jié)果，并重新添加白噪聲進(jìn)行EMD分解，直到分解結(jié)果中不存在模態(tài)混疊現(xiàn)象為止；

(2) 對(duì)同一行的N個(gè)IMFij進(jìn)行聚類分析，以篩選出聚類個(gè)數(shù)最多的一類IMF，然后再對(duì)其取平均作為最后的IMFj。

通過(guò)將聚類分析算法引入到EEMD算法流程中，不僅能夠很好的保證每次分解得到的IMF分量之間不存在模態(tài)混疊，且還能保證最后所得的本征模態(tài)函數(shù)之間不存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。

2.4 有效IMF分量的篩選

利用EEMD算法對(duì)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解時(shí)能得到多個(gè)本征模態(tài)函數(shù)(IMFs)，但卻不能實(shí)現(xiàn)有效IMF分量的自動(dòng)篩選，實(shí)際操作中往往需要根據(jù)各IMF分量的Hilbert-Huang譜來(lái)人為參與有效IMF分量的篩選，這樣不僅會(huì)降低工作效率，還會(huì)因?yàn)閭€(gè)人的差異性導(dǎo)致篩選結(jié)果存在主觀性?；诖?，本文提出了一種綜合考慮各IMF分量信息熵[12]，能量密度和平均周期[13]的篩選算法，以實(shí)現(xiàn)對(duì)各有效IMF分量進(jìn)行自動(dòng)篩選，避免主觀因素的影響。現(xiàn)對(duì)信息熵、IMF分量的能量密度以及平均周期介紹如下：

(1) IMF分量的信息熵

對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解，可以得到一系列不同帶寬的IMF分量，每個(gè)分量包含了信號(hào)從高到低的不同頻率成分，且這些頻率和帶寬都會(huì)隨著信號(hào)的變化而變化。通過(guò)對(duì)信息熵的研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)IMF分量中所包含的信號(hào)成分越有序、時(shí)頻分布的聚集性越好，信息熵的值將會(huì)越??；反之，若IMF分量中包含的信號(hào)成分越無(wú)序、時(shí)頻分布的聚集性越差，信息熵的值越大。以下就如何計(jì)算各IMF的信息熵進(jìn)行分析：

1) 假定f(t)是信號(hào)x(t)模態(tài)分解之后所得IMF中的一組分量，f(t)中的最大值為fmax，最小值為fmin；

2) 設(shè)置區(qū)間[fmin,fmax]中的N等分點(diǎn)Ai，[fmin,A1],(A1,A2],…,(AN-1,fmax]這N個(gè)區(qū)間作為特征量的N各離散值域B∈{B1,B2,…,BN}，當(dāng)某個(gè)樣本的該屬性的值落入(Ai,Ai+1]區(qū)間時(shí)，就認(rèn)為該樣本在該屬性上具有相應(yīng)的離散屬性值Bi；

3) 當(dāng)離散信號(hào)的采樣點(diǎn)總數(shù)為n，f(t)落在第i個(gè)區(qū)間的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為mi，則可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)f(t)落在第i個(gè)區(qū)間的概率P(Bi)=mi/n。接著根據(jù)信息熵的第3定義[15]可得該IMF的信息熵為

(9)

(2) 能量密度與平均周期

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究報(bào)告可知：對(duì)于添加了白噪聲序列的信號(hào)而言，當(dāng)利用EMD對(duì)其進(jìn)行模態(tài)分解時(shí)，所得的各IMF分量的能量密度與其平均周期的乘積是一個(gè)常量，基于此，提出了一種篩選IMF分量的算法，具體實(shí)現(xiàn)過(guò)程如下：

(10)

式中：N為原始信號(hào)的長(zhǎng)度；fj為第j個(gè)IMF分量的振幅值；Oj為第j個(gè)IMF分量存在的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2) 利用每個(gè)IMF分量的能量系數(shù)(ET)來(lái)計(jì)算每個(gè)IMF分量最終的有效系數(shù)RP，計(jì)算式為

(11)

當(dāng)?shù)趈個(gè)IMF分量對(duì)應(yīng)的有效系數(shù)RPj≥1時(shí)，則說(shuō)明第j個(gè)IMF分量對(duì)應(yīng)的能量系數(shù)相比于前面的j-1個(gè)IMF分量的能量系數(shù)的平均值成倍數(shù)增大，此時(shí)則可以認(rèn)為前面j-1個(gè)IMF的能量密度與其平均周期的乘積為一個(gè)常量，即前面j-1個(gè)IMF分量可以被看作是噪聲被刪除掉，這樣留下的便是有效的IMF分量。

(3) 綜合評(píng)價(jià)算法

如果只是根據(jù)各IMF分量的信息熵來(lái)選擇有效IMF，則篩選的結(jié)果有可能會(huì)有誤差，所以本文將信息熵(H)與有效系數(shù)(RP)結(jié)合起來(lái)，提出了綜合評(píng)價(jià)算法[14]。該算法是一種基于模糊數(shù)學(xué)的綜合評(píng)標(biāo)方法，主要是根據(jù)模糊數(shù)學(xué)的隸屬度理論把定性評(píng)價(jià)轉(zhuǎn)化為定量評(píng)價(jià)。可以利用信息熵和有效系數(shù)構(gòu)造了一個(gè)新的指標(biāo)(有效程度)來(lái)量化各IMF分量與原始信號(hào)之間的有效程度(Y)，具體計(jì)算公式為

(12)

式中：wH為信息熵H的權(quán)重；wRP為有效系數(shù)RP的權(quán)重。

文獻(xiàn)[14]中有關(guān)于權(quán)重大小值的確定，綜合考慮信息熵與有效系數(shù)之間的主次，假定公式(12)中兩權(quán)重系數(shù)都為0.5。

wf=0.5綜合上述分析可知：當(dāng)Yi越接近1，表明第i個(gè)IMF分量與原始信號(hào)的相識(shí)程度越高，結(jié)合文獻(xiàn)[14]，本文假定當(dāng)Y≥0.8γi>0.3時(shí)，則認(rèn)為該IMF分量為有效IMF。最后對(duì)所有的有效IMF分量進(jìn)行求和，便能得到最終的重構(gòu)信號(hào)。改進(jìn)EEMD算法的流程圖,見(jiàn)圖2。

圖2 改進(jìn)EEMD算法流程圖

3 仿真信號(hào)驗(yàn)證

現(xiàn)利用改進(jìn)的EEMD算法和EEMD算法對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解，并將所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。模擬信號(hào)由1 Hz、3 Hz以及7 Hz的正弦信號(hào)疊加噪聲水平約為10%的隨機(jī)噪聲組成，模擬信號(hào)可表示為

s(t)=7sin(14πt)+3sin(6πt)+sin(2πt)+10rand

模擬信號(hào)中的時(shí)間為10 s，每0.01 s一個(gè)測(cè)試點(diǎn)，即1 000個(gè)測(cè)試點(diǎn)。疊加信號(hào)以及各信號(hào)和噪聲的時(shí)域圖,如圖3所示。

圖3 信號(hào)與噪聲

分別運(yùn)用改進(jìn)EEMD算法和EEMD算法對(duì)上述模擬信號(hào)進(jìn)行模態(tài)分解處理，現(xiàn)將兩種分解方法所得結(jié)果對(duì)比分析如下。

3.1 端點(diǎn)效應(yīng)對(duì)比分析

兩種分解算法對(duì)應(yīng)的IMF分量結(jié)果圖如圖4和圖5所示，對(duì)比分析圖4中IMF3-IMF5與圖5中IMF2-IMF4，可得如下結(jié)論：

(1) 根據(jù)IMF分量在兩端點(diǎn)處的波形形狀可知，改進(jìn)EEMD算法能改善EEMD分解結(jié)果存在的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題；

(2) 采用1.2節(jié)中的端點(diǎn)效應(yīng)評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行定量判定，可得EEMD算法對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)為0.735 8，而經(jīng)過(guò)自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配延拓法處理過(guò)后的評(píng)價(jià)指標(biāo)為0.008 4。

圖4 分解結(jié)果(改進(jìn)EEMD)

圖5 分解結(jié)果(EEMD)

綜合上述，本文所提自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配算法能有效改善EEMD算法中存在的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題。

3.2 模態(tài)混疊現(xiàn)象對(duì)比分析

為了驗(yàn)證所得IMF分量之間是否存在模態(tài)混疊現(xiàn)象，分別對(duì)兩種分解算法所得的IMF分量進(jìn)行聚類分析，聚類結(jié)果見(jiàn)圖6和圖7，通過(guò)對(duì)比分析兩圖可知：

(1) 由圖6可知：各IMF分量都是單獨(dú)的一類，即各IMF分量之間不存在相似的信息，表明該分解算法所得IMF分量之間不存在模態(tài)混疊現(xiàn)象；

(2) 由圖7可知：IMF6和IMF7被劃為了同一類，表明這兩分量間含有一定的類似信息，即存在模態(tài)混疊現(xiàn)象。

綜上可知：本文所提的聚類分析算法在信號(hào)分解過(guò)程中，能有效避免模態(tài)混疊現(xiàn)象的產(chǎn)生。

圖6 聚類結(jié)果(改進(jìn)EEMD)

3.3 有效IMF分量的篩選

為了解決EEMD算法不能篩選有效IMF分量的這一缺陷，提出了綜合評(píng)價(jià)算法，即利用各IMF分量的信息熵、能量密度以及平均周期構(gòu)建篩選指標(biāo)，用于篩選有效IMF分量，具體分析結(jié)果見(jiàn)表1和表2。通過(guò)對(duì)比兩表中的數(shù)據(jù)可得如下結(jié)論：

表1 有效程度系數(shù)表(改進(jìn)EEMD)

表2 有效程度系數(shù)表(EEMD)

圖7 聚類結(jié)果(EEMD)

(1) 根據(jù)表1可知：IMF3、IMF4和IMF5對(duì)應(yīng)的有效程度系數(shù)大于0.8，即為有效的IMF分量，能用于重構(gòu)信號(hào)；

(2) 根據(jù)表2可知：IMF2、IMF3和IMF4對(duì)應(yīng)的有效程度系數(shù)大于0.8，即為有效的IMF分量，能用于重構(gòu)信號(hào)；

通過(guò)將篩選出來(lái)的IMF分量與圖4和圖5所示的分解圖進(jìn)行對(duì)比分析，可知：本文所提綜合評(píng)價(jià)算法能篩選出疊加信號(hào)中對(duì)應(yīng)的7 Hz、3 Hz以及1 Hz信號(hào)，表明該算法能實(shí)現(xiàn)有效IMF分量的自動(dòng)篩選。

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)EEMD算法能更好的處理端點(diǎn)效應(yīng)，給出了兩種分解算法所得結(jié)果中有效IMF分量對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)頻率，如圖8和圖9所示。對(duì)比兩圖可知：兩種分解算法均能凸顯模擬信號(hào)的頻率成分；對(duì)比瞬時(shí)頻率在端點(diǎn)處的變化情況可知：本文所提改進(jìn)EEMD算法能更好的處理端點(diǎn)效應(yīng)。

4 簡(jiǎn)支梁橋仿真算例

圖8 Hilbert-Huang(改進(jìn)EEMD)

圖9 Hilbert-Huang(EEMD)

為進(jìn)一步驗(yàn)證改進(jìn)EEMD算法能被運(yùn)用于處理橋梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)信號(hào)，現(xiàn)建立一座混凝土簡(jiǎn)支梁橋模型，通過(guò)施加白噪聲激勵(lì)的方式來(lái)模擬環(huán)境激勵(lì)，并采集100組白噪聲激勵(lì)下各節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的加速度響應(yīng)信號(hào)；接著分別利用EEMD算法和改進(jìn)EEMD算法對(duì)加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解和重構(gòu)，最后利用隨機(jī)子空間算法(SSI)[15]對(duì)重構(gòu)的信號(hào)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，并對(duì)比分析所得參數(shù)結(jié)果以驗(yàn)證本文所提算法的可行性及可靠性。

4.1 簡(jiǎn)支梁橋模型

該簡(jiǎn)支梁橋模型為單跨，跨度為40 m，截面采用箱型截面，具體截面尺寸見(jiàn)圖10(b)。本文采用MIDAS軟件進(jìn)行建模，單元個(gè)數(shù)為10個(gè)，類型為一般梁?jiǎn)卧?，沿跨徑方向?1個(gè)節(jié)點(diǎn)，在除了端點(diǎn)處的2-10號(hào)節(jié)點(diǎn)處分別施加豎直方向的白噪聲激勵(lì)，用于模擬實(shí)際情況下的環(huán)境激勵(lì)。簡(jiǎn)支梁橋模型,見(jiàn)圖10所示。

4.2 有限元計(jì)算

本文主要研究橋梁結(jié)構(gòu)的豎向模態(tài)，所以添加的白噪聲激勵(lì)方向?yàn)樨Q向，激勵(lì)的采樣頻率為100 Hz，根據(jù)采樣定理，豎向模態(tài)中提取頻率小于數(shù)值模擬過(guò)程中采樣頻率的一半，即50 Hz。利用MIDAS軟件可得該簡(jiǎn)支梁橋前三階頻率和模態(tài)振型，見(jiàn)圖11所示。

(a)簡(jiǎn)支梁橋(b)截面圖(cm)

圖10 簡(jiǎn)支梁橋模型

Fig.10 Simply supported girder bridge model

(a) 第1階振型

(b) 第2階振型

(c) 第3階振型

圖11 模型前3階振型

Fig.11 The first three mode of vibration

4.3 環(huán)境激勵(lì)的模擬

為了模擬環(huán)境激勵(lì)，采用在MIDAS模型中施加白噪聲激勵(lì)的方式，所謂的白噪聲是指功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)均勻分布的噪聲。白噪聲的具體添加過(guò)程如下：

(1) 利用Matlab軟件中的randn命令生成均值為0，方差為1的隨機(jī)序列100組；

(2) 將這些方向相同但大小不同的白噪聲激勵(lì)施加在簡(jiǎn)支梁除端點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)處；

(3) 進(jìn)行時(shí)程分析，并提取相關(guān)響應(yīng)信號(hào)。

圖12是MATLAB軟件利用randn命令產(chǎn)生的一組均值為0，方差為1隨機(jī)序列，即白噪聲激勵(lì)。

圖12 白噪聲激勵(lì)

4.4 數(shù)值模擬的結(jié)構(gòu)響應(yīng)

簡(jiǎn)支梁橋模型中，節(jié)點(diǎn)號(hào)2-10處都施加了豎向的離散白噪聲激勵(lì)，且各激勵(lì)點(diǎn)的白噪聲序列各不相同。加載的時(shí)間為60 s，時(shí)間間隔為0.01 s，相當(dāng)于100 Hz采用頻率進(jìn)行采樣。通過(guò)時(shí)程分析，可以得到各點(diǎn)處的加速度響應(yīng)。為更形象地模擬環(huán)境激勵(lì)，對(duì)各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)添加20%左右的白噪聲，添加了白噪聲之后的3、6和9號(hào)節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的加速度時(shí)程曲線見(jiàn)圖13所示。

圖13 節(jié)點(diǎn)加速度響應(yīng)(m/s2)

4.5 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果對(duì)比

分別利用EEMD算法和本文算法對(duì)各節(jié)點(diǎn)的加速度響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行分解和重構(gòu)，接著利用隨機(jī)子空間算法(SSI)識(shí)別該簡(jiǎn)支梁的模態(tài)參數(shù)，包括頻率值、阻尼比以及模態(tài)振型。表3給出了各算法對(duì)應(yīng)的頻率值結(jié)果，圖14和圖15分別是EEMD預(yù)處理和改進(jìn)EEMD算法預(yù)處理結(jié)構(gòu)信號(hào)后，利用SSI算法得到的穩(wěn)定圖，對(duì)比分析兩穩(wěn)定圖可得如下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1) 第一階和第二階模態(tài)：經(jīng)EEMD算法預(yù)處理的信號(hào)，其穩(wěn)定圖中存在明顯的虛假模態(tài)；而經(jīng)本文算法預(yù)處理的信號(hào)，得到的穩(wěn)定圖中卻不存在虛假模態(tài)；

(2) 第三階模態(tài)：兩種算法預(yù)處理信號(hào)之后得到的穩(wěn)定圖中都存在虛假模態(tài)，但本文算法預(yù)處理信號(hào)之后得到的穩(wěn)定圖中虛假模態(tài)更少，且虛假模態(tài)的連續(xù)性很差；

(3) 對(duì)比表 3中的數(shù)據(jù)可知：本文算法預(yù)處理信號(hào)之后識(shí)別出的頻率值更接近真實(shí)值。

綜合上述，本文算法相比EEMD算法而言，能更為有效地消除環(huán)境激勵(lì)下信號(hào)中存在的噪聲，能更好實(shí)現(xiàn)信號(hào)的分解與重構(gòu)。

圖14 穩(wěn)定圖(EEMD)

圖15 穩(wěn)定圖(改進(jìn)EEMD)

模態(tài)階數(shù)有限元結(jié)果EEMD算法本文算法頻率值/Hz頻率值/Hz差值百分比/%頻率值/Hz差值百分比/%13．463．4260．983．4460．40212．2512．552．4512．160．73327．3428．23．1527．260．29

利用本文算法預(yù)處理該簡(jiǎn)支梁橋各節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的加速度響應(yīng)信號(hào)，再利用隨機(jī)子空間算法識(shí)別預(yù)處理后的信號(hào)，可得到該簡(jiǎn)支梁橋前3階模態(tài)振型結(jié)果，現(xiàn)將其與理論振型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果見(jiàn)圖16所示。

(a) 第1階振型

(b) 第2階振型

(c) 第3階振型

通過(guò)對(duì)比該簡(jiǎn)支梁橋前3階模態(tài)振型與理論振型之間的差距可知：本文所提改進(jìn)EEMD算法能運(yùn)用于橋梁結(jié)構(gòu)信號(hào)的降噪處理。

5 結(jié) 論

通過(guò)將本文算法運(yùn)用于模擬信號(hào)和簡(jiǎn)支梁橋仿真算例，可得如下結(jié)論：

(1) 本文所提的自適應(yīng)極值點(diǎn)匹配延拓方法能有效改善EEMD算法結(jié)果中存在的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題；

(2) 將聚類分析運(yùn)用于模態(tài)分解過(guò)程，能避免所得本征模態(tài)函數(shù)間的模態(tài)混疊現(xiàn)象；

(3) 利用信息熵、能量密度以及平均周期構(gòu)建的指標(biāo)-有效程度系數(shù)，能實(shí)現(xiàn)有效IMF分量的自動(dòng)篩選；

(4) 簡(jiǎn)支梁橋仿真算例結(jié)果表明，本文提出的改進(jìn)EEMD算法能運(yùn)用于橋梁結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號(hào)的降噪處理；

綜上可知，本文算法相比目前廣泛使用的EEMD算法而言，不僅能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的自適應(yīng)分解與重構(gòu)，還能更好的對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。

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Adaptive Improvement of EEMD algorithm

XU Jian1, ZHOU Zhixiang1, TANG Liang1, RAN Jie2, HE Jie3

(1. School of Civil Engineering, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 404100， China;2. Nanchong Municipal Bureau of Housing and Urban Rural Developmen, 637000， China;3. School of Civil Engineering, Southwest Jiao Tong University, 610031, China)

At present, the ensemble empirical mode decomposition (EEMD) algorithm is widely used, but it cannot realize adaptive decomposition and reconstruction of bridge structures’ response signals. Here, aiming at shortcomings of EEMD algorithm, an improved algorithm realizing adaptive decomposition and reconstruction of bridge structures’ response signals was proposed. Firstly, the adaptive extremums matching and extension algorithm was introduced to suppress end effects. Secondly, the decomposed signals were processed with the clustering analysis technique to avoid modal aliasing phenomena. Finally, the corresponding information entropy, energy density and average period of each intrinsic mode function (IMF) were used to construct an index named the effective level coefficient and realize the automatic selection of effective IMF components with this index. The selected effective IMF components were adopted to reconstruct bridge structures’ response signals. The results of simulated signals and a simply supported girder bridge simulation example showed that this proposed algorithm can realize adaptive decomposition and reconstruction of bridge structures’ response signals effectively.

bridge structure; mode decomposition algorithm; end effect; clustering analysis; signal reconstruction

國(guó)家自然科學(xué)基金(11627802;51478071)

2016-05-20 修改稿收到日期：2016-09-05

徐健 男，博士生，1987年生

周志祥 男，博士,教授,1958年生 E-mail：2252666725@qq.com

U446.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.034