四川省仁壽縣華興中學(xué) 王 桃

一、引言

勾股定理是初中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)定理。它很好地解釋了直角三角形中三邊的數(shù)量關(guān)系，對(duì)于幾何學(xué)當(dāng)中有關(guān)直角三角形的計(jì)算證明問(wèn)題，利用勾股定理往往能使學(xué)生快速解決問(wèn)題。同時(shí)，在日常生活及工作中，勾股定理的應(yīng)用也非常廣泛。筆者根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，利用勾股定理如何來(lái)解決“線段求長(zhǎng)度”“面積”“最短路徑”“實(shí)際問(wèn)題”進(jìn)行分析和探究，希望以此能夠?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教學(xué)提供有效依據(jù)。

二、勾股定理的應(yīng)用

（一）勾股定理在三角形的高問(wèn)題中的應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)中，求三角形的高如果直接去求會(huì)非常困難，而利用勾股定理則非常輕松求出高。

1.利用勾股定理求直角三角形斜邊上的高

例題1.如圖,在長(zhǎng)方形A B C D中,AD=4,CD=3,AE⊥BD,則AE等于多少?

[解析] 利用直角三角形兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上的高相乘（等積法）

解：∵正方形ABCD，BC=3

∴ ∠BAD=90°，AB=3

在直角三角形ABD中

∵AD=4，AB=3

2.利用勾股定理求一般三角形一邊上的高

例題2.如圖，△ABC是小新家的門口的一塊空地，三邊的長(zhǎng)分別是AB＝13米，BC＝14米，AC＝15米，現(xiàn)準(zhǔn)備以每平方米50元的單價(jià)請(qǐng)承包商種植草皮，問(wèn)共需要多少費(fèi)用？

[解析] 解決一般三角形某邊上的高，常常通過(guò)勾股定理，利用三邊關(guān)系列方程

解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥ BC，設(shè)BD＝x，則DC＝(14－x)米

∵在Rt△ABD與Rt△ACD中，由勾股定理得：

AB2－BD2＝AD2＝AC2－DC2

即132－x2＝152－(14－x)2

解得x＝5

（二）勾股定理在面積問(wèn)題中的應(yīng)用

例3.如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE＝3cm，AB＝8cm，則圖中陰影部分面積是多少？

[解析] 解決面積問(wèn)題，首先通過(guò)圖形將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)度問(wèn)題，在直角三角形中要求某條線段的長(zhǎng)，通常設(shè)未知數(shù)，利用三邊關(guān)系來(lái)列方程。

解：∵正方形ABCD，AB=8

∴AD=BC，AB=CD=8cm

∵CE=3cm

∴DE=8-3=5cm

∵將△ADE折疊到△AFE

∴AD=AF，DE=EF=5cm

在直角△CEF中

設(shè)BF=xcm，則AF=AD=(x+4)cm

在直角△ABF中

（三）勾股定理在最短路程問(wèn)題中的應(yīng)用

例4.如圖所示，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處(三條棱長(zhǎng)如圖所示)，問(wèn)怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？

[解析] 螞蟻由A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到C1點(diǎn)，有三種方式，分別展成平面圖形如圖：

解：如圖①，在Rt△ABC1中，

AC12＝AB2＋BC12＝42＋32＝25，

∴AC1＝

如圖②，在Rt△ACC1中，

AC12＝AC2＋CC12＝62＋12＝37，

∴AC1＝

如圖③，在Rt△AB1C1中，

AC12＝AB12＋B1C12＝52＋22＝29，

∴AC1＝

∵25＜29＜37，

∴沿圖①的方式爬行路線長(zhǎng)最短，最短的路線長(zhǎng)為5.

（四）勾股定理在方位角問(wèn)題中的應(yīng)用

例5.如圖，在C港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°方向以每小時(shí)8海里速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某方向以每小時(shí)15海里速度前進(jìn)，1小時(shí)后甲船到達(dá)B島，乙船到達(dá)A島，且A島與B島相距17海里，你能知道乙船沿哪個(gè)方向航行嗎？

[解析] 對(duì)于方位角，通常是利用方位角得到直角三角形，然后利用直角三角形的三邊關(guān)系，即勾股定理解決問(wèn)題。

解：由題意得

AB=17，AC=5，BC=8

∵ AC2=25,BC2=64

∴ AC2+BC2=289=AB2

∴△ABC為直角三角形

∵甲沿北偏東60°

∴A沿南偏東30°

（五）勾股定理在噪音影響問(wèn)題中的應(yīng)用

例略。

三、總結(jié)

（一）勾股定理在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用一般有兩條思路。

1.已知直角三角形勾股定理求第三邊勾股定理逆定理。

2.已知三角形三邊勾股定理逆定理得出直角三角形勾股定理。

（二）利用方程的思想，通過(guò)勾股定理列方程，從而達(dá)到求線段的長(zhǎng)度。