呂雙慶

【摘要】以數(shù)學(xué)的觀點和方法求解和驗證一次同余方程組的解和用Vlookup函數(shù)進行驗證有一定的區(qū)別，本文介紹了一種以計算機輔助證明初等數(shù)論部分結(jié)論的方法.

【關(guān)鍵詞】Vlookup函數(shù)；同余方程組；解

【資助項目】麗江師范高等?？茖W(xué)校特色課程《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)技能訓(xùn)練》建設(shè)項目.

方程組（1）是一元一次同余方程組的最簡形式，其求解對更加復(fù)雜的一元一次同余方程組具有重要意義.為了驗證其解，構(gòu)造兩個此形式的方程組（2）和（3）.

x≡b1（modm1），x≡b2（modm2）. （1）

x≡7（mod10），x≡4（mod8）. （2）

x≡7（mod10），x≡5（mod8）. （3）

一、基本結(jié)論

定理 一次同余方程組（1）有解的充要條件是（m1，m2）|（b1-b2），且在有解條件下有唯一解.

二、用Vlookup驗證定理結(jié)論

步驟1：令F列為自然序列，進行賦值F1=0，F(xiàn)2=1，F(xiàn)3=2，…，F(xiàn)100=99，F(xiàn)101=100.

步驟2：令A(yù)列為x≡7（mod10）的解，即A1=F1*10+7，A2=F2*10+7，其后進行自動填充.

步驟3：令B列為x≡4（mod8）的解，即A1=F1*8+4，A2=F2*8+4，其后進行自動填充.

步驟4：做Vlookup函數(shù)驗證x≡7（mod10）和x≡4（mod8）是否有公共解，若有則可判定其解為方程組（2）的解，若無，可適當(dāng)增大自然序列的最大值進行補充驗證，再次驗證后不能改變解的狀態(tài)可猜測方程組無解.

令C1=Vlookup（B1，$A$1：$A$101，1，0），回車返回錯誤值，再次驗證也無法得解.

步驟5：重復(fù)步驟3和4驗證方程組（3）的解.其中，令B列為x≡5（mod8）的解.應(yīng)用Vlookup函數(shù)驗證可返回其解為37，77，117，157，197，…，797，….

步驟6：將上述解篩選出來并以數(shù)值形式粘貼至sheet2，計算可知77-37=117-77=157-117=…=797-757=…=40.

由此可猜想方程組（3）的解是以40為模的，而可以驗證40=[10，8].

步驟7：猜測上述最小正整數(shù)解37的出處.37=7+10y0，37=5+8y1，易知y0=3，y1=4，而y≡3mod8（10，8） 和y≡4mod10（10，8）剛好是同余方程102y≡7-52mod8（10，8） 的唯一解.由此猜測（驗證）一次同余方程組（1）的解為

x≡b1+m1y0（mod[m1，m2]），

其中y0為m1（m1，m2）y≡b1-b2（m1，m2）modm2（m1，m2）的解.

說明：① 上述結(jié)論可以推廣到更多的方程上，也就可以得到孫子定理的結(jié)論了.② 應(yīng)用計算機證明數(shù)論結(jié)論，只能選擇一定的上限，雖說上限可以盡量大，但不能做到對所有數(shù)值均成立，故此證明從數(shù)學(xué)角度來說有一定缺陷.

三、實例演示

求解x≡3（mod7），x≡5（mod11）. 易知（7，11）=1，[11，7]=77，故只需求解7y≡-2（mod11），易得其解為y≡5（mod11），故原方程組的解為x≡3+7×5（mod[11，7]），即x≡38（mod77）.

【參考文獻】

[1]王金明.初等數(shù)論[M].北京：人民教育出版社，2002：158-170.