核心素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)教學(xué)，要求教師圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心概念展開教學(xué)，為學(xué)生提供研究應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的機(jī)會，這對于一線數(shù)學(xué)教師而言，無形中增加了不少壓力。如何將這種壓力轉(zhuǎn)化為動力呢？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，借助原始問題培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。換句話說，數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個整體，在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，教師需要通過設(shè)計有梯度的問題引導(dǎo)學(xué)生思考、呈現(xiàn)有形素材發(fā)散學(xué)生的思維、有序開展教學(xué)活動等路徑落實多維目標(biāo)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實例，談?wù)勌岣邔W(xué)生數(shù)學(xué)思維能力與內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實踐與思考。

一、設(shè)計有梯度的問題，幫助學(xué)生搭建思維的“腳手架”

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要以內(nèi)在邏輯為主線、有梯度的數(shù)學(xué)問題作為驅(qū)動，使教學(xué)內(nèi)容逐層呈現(xiàn)、環(huán)環(huán)相扣，為學(xué)生搭建思維的“腳手架”，有效幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點，促使學(xué)生不斷挑戰(zhàn)思維潛在的“發(fā)展區(qū)”，使思維走向深刻。

數(shù)學(xué)教學(xué)只有遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，才能有效地引領(lǐng)學(xué)生的思維走向深刻，而這需要教師設(shè)計有梯度的問題驅(qū)動學(xué)生思考。以教學(xué)人教版五年級數(shù)學(xué)下冊“分?jǐn)?shù)的意義”這一內(nèi)容為例，教師在設(shè)計有梯度的問題時可以這樣做。

第一，鋪設(shè)的問題要有梯度、環(huán)環(huán)相扣，揭示問題要層層推進(jìn)、有深度。平鋪直敘的教學(xué)不利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維走向縱深。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要為學(xué)生的思維活動找到最佳的“載體”，而有梯度的問題能夠?qū)W(xué)生的思維推向深處。例如，在回顧舊知時，需要喚醒學(xué)生認(rèn)識一個物體或一個平面圖形的[14]的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，教師可以這樣設(shè)計問題：

（1）辨析下面哪些圖中的陰影部分表示全部的[14]，哪些不是，請說明理由（見圖1）。

（2）在認(rèn)識多個物體或一個平面圖形的[14]時，呈現(xiàn)9個小圓（見圖2）的活動材料及相關(guān)問題：①4幅圖在圈法方面有什么共同點？看得出[14]的含義嗎？請說明這里的[14]是怎么來的？②涂色部分是4個小圓的[14]，空白部分是4個小圓的（ ）。所以，[14]+[34]=1.③這個“1”指的是1個小圓嗎？如果不是，它指的是什么？學(xué)生在面對有梯度的問題時，通過分析典型材料，體會分?jǐn)?shù)意義中“單位1”的含義，這是一個加強(qiáng)與深化的過程。教師將新舊知識進(jìn)行對比、抽象，內(nèi)化單位“1”的含義，這是一個從量變到質(zhì)變的過程。

第二，問題的跟進(jìn)與提升要有高度。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生會經(jīng)歷抽象與概括的過程，這其實就是“數(shù)學(xué)化”的過程，也是思維不斷提升的過程。教學(xué)時，教師可以通過觀察圖形（見圖3），利用類比的方法，使學(xué)生加深對“分?jǐn)?shù)的意義”這一概念本質(zhì)的理解。比如，要求學(xué)生將4個小圓的[14]和8個小圓的[14]進(jìn)行比較分析，學(xué)生便會產(chǎn)生疑問：為什么二者都表示全部的[14]，而前者的[14]對應(yīng)的是1個小圓，后者的[14]對應(yīng)的是2個小圓？這時，教師再把之前一個物體或一個平面圖形的[14]與當(dāng)前多個物體或一個平面圖形的[14]進(jìn)行對比（如圖4），讓學(xué)生在對比中抽象出“分?jǐn)?shù)的意義”這一本質(zhì)，從而提高數(shù)學(xué)思維能力。

二、有形素材，點化學(xué)生的思維

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中點化學(xué)生潛在的思維，關(guān)鍵是要選擇合適的有形學(xué)習(xí)材料。換言之，學(xué)生的無形數(shù)學(xué)思維（意識形態(tài)）需要有形的學(xué)習(xí)材料（視覺感觀）作為載體，并在有形刺激與無形頓悟中完成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。下面，筆者以教學(xué)人教版六年級數(shù)學(xué)上冊“平方數(shù)的相差關(guān)系”為例進(jìn)行說明。

第一，教師要提供可“觀察”的信息，這是因為，學(xué)生內(nèi)隱性的數(shù)學(xué)思維活動需要有形的數(shù)學(xué)信息作為支撐。教學(xué)時，教師依次在黑板上板書幾組具有相差關(guān)系的平方數(shù)，如52-32、72-42、652-352，同時利用問題驅(qū)動學(xué)生自主探索平方數(shù)的相差關(guān)系（如圖5）：（1）選擇一兩個算式，在對應(yīng)的格子圖中表示出兩個平方數(shù)相差的關(guān)系，并用陰影涂出這兩個平方數(shù)相差的部分；（2）根據(jù)“等積變形”規(guī)律，通過割、移、補(bǔ)等方法把兩個平方數(shù)相差部分轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形（用示意圖表示出來），并用一個算式表示它的大小；（3）和同桌說一說計算的過程。學(xué)生圍繞問題自主探索，借助格子圖（形）直觀呈現(xiàn)平方數(shù)相差部分，并用式（數(shù)）表示相差部分的大小，將數(shù)與形結(jié)合起來（如圖5）。這一學(xué)習(xí)過程是學(xué)生展示與交流的過程，也是從材料中獲取信息的過程，更是提升數(shù)學(xué)思維能力的過程。在匯報交流中，學(xué)生不但展示了計算的過程，而且能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá)探索的過程，有效地進(jìn)行了深度學(xué)習(xí)，提升了思維品質(zhì)。

第二，創(chuàng)設(shè)可“比較”的材料。提高學(xué)生的思維水平需要有效的信息素材作為載體，教師呈現(xiàn)學(xué)生自主探索的結(jié)果（如圖6），能夠為學(xué)生提供豐富的信息，讓學(xué)生能夠再次獲取直觀的感知以及相對充足的可視信息，為抽象、概括出平方數(shù)的相差關(guān)系的內(nèi)在規(guī)律提供可靠的支撐，也為學(xué)生隱性的思維活動走向深刻提供了學(xué)習(xí)素材。

第三，完善可“概括”的條件。有效概括需要建立在充分的數(shù)學(xué)活動基礎(chǔ)之上，教學(xué)中教師為了讓學(xué)生進(jìn)行有效概括，可以將學(xué)生掌握平方數(shù)的相差關(guān)系的規(guī)律這個過程分為4步：①呈現(xiàn)成果，為學(xué)生提供豐富的感觀信息；②引導(dǎo)觀察，自主發(fā)現(xiàn)平方數(shù)相差關(guān)系的一般性規(guī)律；③一一對應(yīng)，數(shù)形結(jié)合；④順勢概括，得出平方數(shù)相差關(guān)系的一般性規(guī)律。學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成和提升不是一蹴而就的，教師需要在數(shù)學(xué)活動中慢慢滲透，引導(dǎo)學(xué)生在幾組不同的學(xué)習(xí)活動材料中尋求相同之處（即異中求同），這是提升思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

第四，把握可“抽象”的時機(jī)。抽象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的最高階段，其過程也正是學(xué)生活動經(jīng)驗積累的過程。教學(xué)中，教師在“順勢抽象”一般性規(guī)律之前，可以先讓學(xué)生經(jīng)歷信息感知、自主觀察、對應(yīng)求聯(lián)這3個過程，然后讓學(xué)生抽象出平方數(shù)相差關(guān)系的一般性規(guī)律，即平方差公式（如圖7）。在這個過程中，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從特殊到一般的過程，也經(jīng)歷了一次完整的數(shù)學(xué)歸納過程，能夠有效地促使思維走向深刻。

三、有序展開，內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個漫長的過程，在這個過程中，教師需要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷思維的發(fā)散與聚合，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握有個頓悟于心、后發(fā)于行的過程。下面，筆者結(jié)合人教版四年級數(shù)學(xué)“平面圖形的面積關(guān)系”的教學(xué)，說一說如何有序地開展數(shù)學(xué)活動，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

第一，從具體到抽象需要“中間地帶”的過渡。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)鍵在于教師在引領(lǐng)學(xué)生從具體到抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，如何處理教學(xué)“中間地帶”（即“教學(xué)核心環(huán)節(jié)”）。假如教師直接告知學(xué)生，將“三角形看作是上底為0的梯形，將平行四邊形看作是上底和下底相等的梯形”，那么學(xué)生也能夠理解梯形面積公式適應(yīng)于三角形、平行四邊形與長方形的面積計算公式，但是，這樣的學(xué)習(xí)過程不利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。因此，當(dāng)學(xué)生畫出4種常見的梯形時（見圖8），教師要引導(dǎo)學(xué)生明確，數(shù)據(jù)采集可以從整數(shù)向小數(shù)延伸，發(fā)散學(xué)生的思維，彰顯課堂教學(xué)動態(tài)推進(jìn)過程中的變與不變、有限與無限的關(guān)系。此外，教師展示了上底和下底長度均為小數(shù)的幾組梯形圖形（見圖9），讓學(xué)生真正理解“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微”的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。比如，越往右，梯形上底的長度就越短，如果把梯形的上底和下底分別標(biāo)上字母AB、CD，上底長度越短，即A點與B點越接近，AB點之間的距離就越小。如果AB點的距離為0時，那么梯形就變成了三角形，這時三角形的面積可以這么計算：（0+10）×4÷2，而梯形的面積公式也適用于三角形的計算面積，所以S三角形=（b+a）×h÷2（b=0）。以上兩個教學(xué)環(huán)節(jié)就是讓學(xué)生順利地完成從具體到抽象過渡的“中間地帶”，教學(xué)時教師巧妙處理這樣的“中間地帶”，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

第二，從感性材料到理性思考需要“多維信息”作為支撐。從感性到理性是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必經(jīng)過程，這個過程處理得好，對于提升學(xué)生的思維水平與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從感性到理性需要“多維信息”的支撐，教學(xué)中教師可以選取一些標(biāo)注了數(shù)據(jù)的梯形直觀圖，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度進(jìn)行觀察，并對長方形、平行四邊形、三角形與梯形的面積計算公式進(jìn)行有效溝通并提供直觀的素材（感性材料），通過問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行靜態(tài)觀察與動態(tài)思考（理性判斷），明確梯形面積公式適用于三角形、平行四邊形與長方形的面積計算公式，這樣的教學(xué)可以幫助學(xué)生積累感性材料，助推學(xué)生頓悟，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效路徑。

第三，從特殊到一般需要“夯實過程”來保障。從特殊到一般的數(shù)學(xué)推理過程是一種十分重要的數(shù)學(xué)能力，那么，教學(xué)中如何扎實有效地落實這一目標(biāo)呢？在這節(jié)課中，教師最后讓學(xué)生理解梯形面積公式可以統(tǒng)領(lǐng)三角形、長方形、平行四邊形的面積計算公式，使學(xué)生經(jīng)歷了“繪畫梯形—展示作品—發(fā)散思考—師生交流—觀察感知—理性頓悟—溝通發(fā)現(xiàn)”的“數(shù)學(xué)化”過程，最后歸納總結(jié)得出一般性規(guī)律（如圖10）。學(xué)生經(jīng)常經(jīng)歷從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程，將會逐步提高自己的數(shù)學(xué)能力，如類比、抽象、概括等能力，并在解題過程中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（張翼文，特級教師，在全國、省、市級教學(xué)活動中上觀摩課、作報告200余次，在全國公開刊物上發(fā)表論文80余篇，出版?zhèn)€人專著《智慧型教師的思與行》《小學(xué)數(shù)學(xué)典型教學(xué)內(nèi)容的解讀與實踐》。）

（責(zé)編 歐孔群）