梁 艷, 王玉文

(哈爾濱師范大學(xué))

0 引言

自1973年著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的問(wèn)世,金融市場(chǎng)迎來(lái)了前所未有的變革.隨著國(guó)際金融衍生品市場(chǎng)越來(lái)越復(fù)雜，應(yīng)運(yùn)而生了大量的新型期權(quán)，它們的交易方式、交易價(jià)格等更能適應(yīng)市場(chǎng)和投資的需求，其中研究比較多的就是亞式期權(quán).近年來(lái)，如何科學(xué)的給亞式期權(quán)定價(jià)成為非常受歡迎的金融研究課題[1,5].

在現(xiàn)有的對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)模型中，常假設(shè)波動(dòng)率是不變的,但實(shí)際市場(chǎng)的波動(dòng)率卻是隨機(jī)的，所以建立的隨機(jī)波動(dòng)率模型需要把這個(gè)問(wèn)題考慮進(jìn)去.宋逢明[2]研究了Hull-White三叉樹(shù)利率期限結(jié)構(gòu)模型，并進(jìn)行了模擬，結(jié)果表明其實(shí)用性很強(qiáng).該文研究的Hull-White模型是時(shí)變的，而Hull-White模型與Vasick模型都是波動(dòng)率可以出現(xiàn)負(fù)值，這是Hull-White模型[3]最大的缺陷，為了克服這一困難，把波動(dòng)率的變化范圍大致進(jìn)行了限制，所以并未影響 Hull-White模型在隨機(jī)波動(dòng)率期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用.

1 模型與假設(shè)

在t時(shí)刻的St及Vt[4]滿足

(0≤t≤T)

2 Monte- Carlo模擬法

模擬步驟：

(1)若E[X]無(wú)顯式解，找出與X無(wú)關(guān)的另一個(gè)隨機(jī)變量Y，且E[Y]有顯式解.

(2)用同樣?t及同樣的隨機(jī)序列樣本平行模擬出序列X,Y.

(3)用模擬出X,Y，求出最優(yōu)系數(shù)c*=

3 算術(shù)平均亞式期權(quán)的Monte-Carlo模擬

3.1 模擬隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程Vt的路徑

(1)

Wt、Zt是兩個(gè)相互獨(dú)立的Brownan運(yùn)動(dòng)，ρ是確定的常數(shù)，則可解出

……

又由于Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1與Zt1-Zt0,…,Ztn-Ztn-1是相互獨(dú)立的增量，且Wt1-Wti-1?N(0,ti-ti-1)=N(0,?t),Zti-Zti-1?N(0,ti-ti-1)=N(0,?t)i=1,…,n.

可由Matlab隨機(jī)生成兩組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的相互獨(dú)立的n×m個(gè)數(shù)，分別記作A、B，則

A=(a1,a2,…,an)',B=(b1,b2,…,bn)',且ai=aij,bi=bij,i=1,…,n,j=1,…,m

對(duì)Vti(i=0,1,2,…,n)取對(duì)數(shù)，有

對(duì)(1)式等號(hào)兩邊的元素取指數(shù)，有

則Vt=Vtn為第m次模擬后得到的隨機(jī)波動(dòng)率終值，可間接得到波動(dòng)率的路徑變化過(guò)程[7].

3.2 模擬股票價(jià)格過(guò)程St的路徑

若St滿足dSt=rS1dt+VtStdW1(t)，則

(4)

而Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1是相互獨(dú)立的增量，且Wti-Wti-1?N(0,ti-ti-1)=N(0,?t),i=1,…,n.

同樣由Matlab生成兩組服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的相互獨(dú)立的隨機(jī)數(shù)，記作向量C，則

對(duì)S(ti)(i=1,…,n)取對(duì)數(shù)，有

對(duì)(2)式等號(hào)兩邊的元素取對(duì)數(shù)，有

則經(jīng)過(guò)m次模擬近似得出了股票價(jià)格的可能變化過(guò)程[8].

3.3 算術(shù)平均亞式期權(quán)的關(guān)于Monte Carlo模擬的估計(jì)值

由3.2可估計(jì)出S的m條可能路徑上的變化值，Sk(t1),…,Sk(tn),k=1,…,m,可計(jì)算出m條路徑上的算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格為：

(6)

(7)

4 總結(jié)與展望

該文在波動(dòng)率滿足Hull-White模型的條件下，對(duì)固定執(zhí)行價(jià)格的算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)，由于亞式期權(quán)是求所有可能股票價(jià)格的平均值的期權(quán)，所以采用了Monte-Calor模擬法對(duì)其路徑進(jìn)行模擬，在最后得出了關(guān)于Hull-White隨機(jī)波動(dòng)率模型的算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)的近似解.但是在用Monte-Calor模擬法時(shí)，需要用matlab對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，為了得到的數(shù)據(jù)更加接近于理論值，在計(jì)算時(shí)需要加大運(yùn)算次數(shù)和運(yùn)算的數(shù)據(jù)的密度，為結(jié)果的得出增大了難度，會(huì)在以后的學(xué)習(xí)中，繼續(xù)改進(jìn)此方法，爭(zhēng)取得到運(yùn)算簡(jiǎn)便，結(jié)果準(zhǔn)確的模型.

參 考 文 獻(xiàn)

[1] 鄭小迎,陳金賢. 關(guān)于亞式期權(quán)及其定價(jià)模型的研究. 系統(tǒng)工程,2000(18): 22-26.

[2] John H, Alan W. The General Hull-White Model and Supercalibration J. Financial Analysts, 2011, 57(6): 34-43.

[3] 宋逢明, 石峰. 基于Hull-White模型的債券市場(chǎng)利率期限結(jié)構(gòu)研究[J]. 運(yùn)籌與管理，2006, 15(3): 85-89.

[4] 許聰聰, 許作良. 隨機(jī)波動(dòng)模型下算術(shù)亞式期權(quán)的Monte Carlo模擬定價(jià)[J]. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2015, 45(21): 114-121.

[5] 王欣欣,王玉文.約化模型下互聯(lián)網(wǎng)理財(cái)產(chǎn)品的信用違約互換保費(fèi)的確定[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),2016,32(1):16-18.

[6] 詹慧蓉,程乾生.擬蒙特卡羅法在亞式期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2005,3(35):20-27.

[7] 邵斌, 丁娟. GARCH模型中美式亞式期權(quán)價(jià)值的蒙特卡羅模擬算法[J]. 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2004, 21(2): 142-148.

[8] 葉春翠.CIR隨機(jī)波動(dòng)率模型的亞式期權(quán)蒙特卡洛模擬定價(jià)方法[D].廣西師范大學(xué),2012.