☉江蘇蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 單凈璇

深究尺規(guī)作圖，“牽出”全等三角形
——全等三角形（第1課時）教學(xué)與思考

☉江蘇蘇州市高新區(qū)第一中學(xué) 單凈璇

全等三角形起始課是很多教研活動中的熱點課題，因為這個課時的教學(xué)內(nèi)容只需要關(guān)聯(lián)少量的三角形概念和內(nèi)角和，相對獨立，不受教學(xué)進(jìn)度太大影響，成為各級教研活動經(jīng)常選用的比賽課時.然而這個課時的教學(xué)內(nèi)容在各級教材上多是較為簡單的全等圖形、全等三角形的概念，簡單識別全等三角形后找找對應(yīng)邊、對應(yīng)角等訓(xùn)練，對多數(shù)學(xué)生來說，這節(jié)課有些消耗時間，硬把學(xué)生留在原地空轉(zhuǎn)，而不涉及后續(xù)的全等三角形的判定公理，是值得商榷的.我們注意到全國著名特級教師李庾南老師在全等三角形起始課的教學(xué)時，就引導(dǎo)學(xué)生全面接觸了全等三角形的判定方法，值得學(xué)習(xí).受此啟發(fā)，我們最近在教學(xué)全等三角形起始課時，也嘗試了由尺規(guī)作圖出發(fā)，“引出”全等三角形概念和一個公理的教學(xué)嘗試，取得較為理想的教學(xué)效果.本文呈現(xiàn)這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、全等三角形起始課教學(xué)設(shè)計

【教學(xué)目標(biāo)】在尺規(guī)作圖中學(xué)習(xí)全等三角形的基本概念、一個公理（“邊邊邊”）；理解并靈活運用全等三角形的性質(zhì)（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等）.

【重點、難點】識別經(jīng)過“變換“之后的全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

圖1

【教學(xué)流程】

作圖活動（一） 用尺規(guī)“復(fù)制”角.

如圖1，作一個角等于∠AOB.

活動設(shè)計：教師示范尺規(guī)作圖作出一個角等于已知角（如圖2），并利用透明紙（或裁剪下來）比對兩個角是否相等，說清背后的原理，給出公理，兩個能完全重合的三角形稱之為全等三角形，揭示全等三角形的判定公理SSS，并可適時鏈接到作平行線的方法.同時定義全等三角形、符號表示、相關(guān)概念等.

圖2

作圖活動（二） 用尺規(guī)“翻折”三角形.

如圖3，將三角形ABC翻折，右側(cè)為示意圖形.

圖3

活動設(shè)計：教師示范如何將一個三角形翻折，學(xué)生模仿操作，并追問，說說這兩個三角形全等的依據(jù)，寫出全等三角形符號表示，指出對應(yīng)邊、對應(yīng)角.

作圖活動（三） 用尺規(guī)“旋轉(zhuǎn)”三角形.

如圖4，尺規(guī)作圖，將三角形ABC繞點B旋轉(zhuǎn)得到三角形A′BC′（右側(cè)為示意圖）.

圖4

活動設(shè)計：教師先示范旋轉(zhuǎn)線段BA，將BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定角度到A′B的位置，分別以B、A′為圓心，BC、AC的長為半徑作弧交于C′，則△A′BC′就可看成是△ABC旋轉(zhuǎn)而來.追問：能否證明此時兩個三角形是全等形？它們的對應(yīng)角、對應(yīng)邊是哪些？并跟進(jìn)設(shè)計一問：“求證：∠A′BA=∠C′BC.”

作圖活動（四） 用尺規(guī)作出平行四邊形.

如圖5，以三角形ABC的三個頂點為頂點，再找一個點D，使點A、B、C、D圍成平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形）.

圖5

活動設(shè)計：教師示范用圓規(guī)、直尺將一個三角形補成一個平行四邊形，有三種可能的作法，先后呈現(xiàn)兩種，追問學(xué)生是否還有不同的作法，引出經(jīng)典問題：已知3個點探究第4個的位置，使這4個點能形成平行四邊形.重點還在辨析這類四邊形的由對角線分割之后的全等三角形及對應(yīng)關(guān)系.可以針對其中一個平行四邊形，提出證明題的要求，比如求證AB∥CD，或者提出問題“分析此時AB、CD之間的位置關(guān)系，并說明理由”.

課堂小結(jié)與解題訓(xùn)練：

1.如圖6，對照下列圖形，寫出兩個三角形全等的符號表達(dá)式，并指出對應(yīng)邊與對應(yīng)角.

圖6

2.如圖7，下面是利用尺規(guī)作∠AOB的角平分線OC的作法：

①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點D、E；

圖7

③畫射線OC，射線OC就是∠AOB的角平分線.

在上述用尺規(guī)作角平分線的過程中，請利用全等三角形的知識，解釋OC為什么是∠AOB的角平分線.

設(shè)計意圖：第1題是在不同的全等三角形圖形中，引導(dǎo)學(xué)生識別全等三角形，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)全面、系統(tǒng)學(xué)習(xí)全等三角形的判定作好準(zhǔn)備；第2題是訓(xùn)練角平分線的尺規(guī)作圖與作圖依據(jù).

附：板書設(shè)計

二、教學(xué)思考

1.深刻理解全等三角形在幾何中的地位，從“教教材”走向“用教材教”.

由于全等三角形在平面幾何中的特殊地位，后續(xù)很多幾何問題都需要建立在全等三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，它是溝通邊、角關(guān)系的重要工具，特殊三角形的性質(zhì)、勾股定理的證明、平行四邊形的判定與性質(zhì)的探究、圓的學(xué)習(xí)等，都需要全等三角形的支持.而全等三角形的判定公理有多條，屬于作圖驗證的公理.基于上述認(rèn)識，我們決定“學(xué)材再建構(gòu)”（李庾南老師新近提出的“三學(xué)”之一），即打破教材順序，從尺規(guī)作圖說起，先通過作圖驗證兩個三角形重合的關(guān)鍵，定義全等三角形，給出“邊邊邊”公理，真正踐行從“教教材”走向“用教材教”（鐘啟泉語）.

2.基于尺規(guī)作圖與全等三角形的關(guān)系，選定尺規(guī)作圖驅(qū)動教學(xué)進(jìn)程.

尺規(guī)作圖博大精深，現(xiàn)行初中幾何教學(xué)對尺規(guī)作圖的要求整體不高，各級考試（特別是中考）往往也是考查簡單的幾種尺規(guī)作圖，不少地區(qū)對這個考點甚至多年不考，這就影響了平時的幾何教學(xué)，誤以為這個知識點是可以淡化甚至忽略的.從上面的教學(xué)設(shè)計來看，各個環(huán)節(jié)都是在尺規(guī)作圖的驅(qū)動下向前推進(jìn)，每種尺規(guī)作圖之后需要追問學(xué)生作圖依據(jù)，組織推理語句、展示交流他們的理解.因為對于尺規(guī)作圖的一些作法來說，更重要的是作圖之后的推理證明，幾何的理性思維也在于此.

3.注意平衡尺規(guī)作圖與全等三角形新知之間的教學(xué)用時.

由于這是全等三角形起始課，而且各個教學(xué)環(huán)節(jié)都是由尺規(guī)作圖驅(qū)動著前進(jìn)，會給學(xué)生或聽課老師一種錯覺，誤以為這是在專題學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖，故教師需要十分注意控制尺規(guī)作圖作法上的時間，在歸納全等三角形新知、訓(xùn)練全等三角形符號表達(dá)、推理語句組織的教學(xué)活動上下足功夫，而不是整節(jié)課都是訓(xùn)練學(xué)生作圖、糾正作法等偏離教學(xué)重點的教學(xué)行為.

三、寫在后面

全等三角形在后續(xù)幾何學(xué)習(xí)中價值巨大，奠基作用明顯，缺它不可，同時全等三角形也與諸多數(shù)學(xué)知識聯(lián)系緊密（如本課的“驅(qū)動問題”——尺規(guī)作圖）.故對全等三角形起始課的教學(xué)研究也是熱點課題，本文也是本著“同課異構(gòu)”、殊途同歸的教學(xué)追求，開展一次教學(xué)實踐，有一定的教學(xué)可行性，但也不一定適合所有教師和學(xué)生，歡迎大家批評指正.

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3.顧為秀.從“標(biāo)準(zhǔn)”到“變式”，從封閉走向開放——以“全等三角形”起始課教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（12）.

4.周紅娟.從操作走向思考，從“參觀”走向“探索”——“等腰三角形的性質(zhì)（第1課時）”教學(xué)與反思［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（7）.

5.鄭毓信.“開放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.