☉浙江寧波國家高新區(qū)信懋中學(xué) 陳恩丹

基于“生成性”教學(xué)理念下的法則教學(xué)實踐
——以“微共體”實踐案例為例

☉浙江寧波國家高新區(qū)信懋中學(xué) 陳恩丹

關(guān)于如何教學(xué)數(shù)學(xué)運算法則，一直是一線教師感到苦惱、困惑的問題，“重結(jié)果輕過程”是法則教學(xué)中的普遍現(xiàn)象，大多數(shù)教師會直接給出運算公式（法則），然后讓學(xué)生通過反復(fù)訓(xùn)練來強(qiáng)化記憶公式.課堂教學(xué)普遍與以生為本理念存在偏差，較少體現(xiàn)過程教育與以生為本相結(jié)合的教學(xué)思想.“法則”教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，如何讓學(xué)生真正理解法則，掌握法則，究其“根”“本”，就是讓學(xué)生經(jīng)歷法則的形成過程，將帶有生硬規(guī)定性的法則變成學(xué)生的自然生成，充分淡化生硬的規(guī)定痕跡.這就要求教師在教學(xué)時要立足學(xué)生的生活經(jīng)驗、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗和已有知識水平，慢化探究過程，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷法則的生成與構(gòu)建，揭示法則的本質(zhì).最近，筆者因工作需要執(zhí)教了浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊第三章第三節(jié)“多項式的乘法（第1課時）”.為此，結(jié)合新課標(biāo)對數(shù)學(xué)知識教學(xué)的要求，從新法則的生長點、生長過程、在知識體系中的相互驗證、融會貫通等一系列探究過程進(jìn)行了嘗試，下面談?wù)勎业慕谭ê退伎?

一、教學(xué)實錄及設(shè)計說明

1.追根溯源，找準(zhǔn)新法則的生長點.

師：同學(xué)們前兩天學(xué)習(xí)了單項式的乘法，今天上新課前我們一起來熱身，口答下面幾道題.

①（-2a2c）（-3bc）；②c·（b+m）；③-6a（a3-3ab+1）.

生1：6a2bc2.

師：它屬于哪一類運算？運算依據(jù)是什么？

生1：單項式的乘法，依據(jù)是單項式乘法法則.

師：很好！單項式乘法法則其實就是依據(jù)乘法交換律.

生2：bc+cm.

師：它屬于哪一類運算？運算依據(jù)是什么？

生2：單項式與多項式相乘，依據(jù)是分配律.

生3：-6a4+18a2b-6a.單項式與多項式相乘，依據(jù)是分配律.

師：棒極了！這里既要關(guān)注不要漏乘，又要關(guān)注符號問題，你都處理得很到位.

師：（指著第二個式子）老師將這里的c換成（a+n），這又屬于哪一類運算？這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的多項式的乘法（1）.

師板書：課題 3.3多項式的乘法（1）.

設(shè)計說明：本教學(xué)片段體現(xiàn)以生為本，選擇了合適的切入點.查閱眾多課例，關(guān)于本節(jié)內(nèi)容的切入，大部分教師都選擇通過廚房的面積引入多項式與多項式相乘法則，雖然感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，對學(xué)生來說也很容易理解，但是由于直接切入計算面積得到多項式乘法法則，缺少了循循善誘的基因，不利于思維的發(fā)散.同時，粗暴地導(dǎo)入課題的方法忽視了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，學(xué)生一開始只是一味地計算廚房的面積，而不知道為何要去計算，忽略了知識體系的構(gòu)建和學(xué)習(xí)方法的遷移.事實上，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過單項式的乘法，所以，多項式乘法的學(xué)習(xí)，從單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘的簡單例子，回顧單項式的乘法法則，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下扎實基礎(chǔ).同時，以c·（b+m）中的c換成（a+n）找準(zhǔn)多項式乘多項式新知識的生長點，讓學(xué)生自然而然去類比單項式的乘法法則，進(jìn)而自主探索得到多項式的乘法法則.本課的導(dǎo)入既讓學(xué)生復(fù)習(xí)梳理了單項式的乘法，同時又讓學(xué)生類比之前的研究方法，構(gòu)建了“前后一致，邏輯連貫”的教學(xué).

2.合作探究，品味新法則的生長過程.

師：（a+n）（b+m），多項式與多項式相乘又該如何計算？計算結(jié)果會如何？請同學(xué)們類比單項式乘法進(jìn)行探索.

師：你們是怎么思考的？有哪些方法途徑？請同學(xué)們組內(nèi)交流，再匯報小組的成果.

生4：我們把（a+n）看成一個整體，利用整體的思想，將它轉(zhuǎn)化成單項式乘多項式，運用分配律得到b（a+n）+m（a+ n），再利用分配律轉(zhuǎn)化成單項式乘單項式得到結(jié)果.

師：還可以怎么思考？

生5：也可以把（b+m）看成一個整體.

師：我們熟悉的長方形（或正方形）的面積，即兩數(shù)相乘的模型，此處亦是兩式相乘的模型.能否借助幾何圖形的面積來詮釋結(jié)果是否正確？

生6：構(gòu)造邊長分別是（a+n）與（b+m）的長方形.

師：這個圖形的面積可以怎么表示？

生6：（a+n）（b+m）.

師：還有其他方法嗎？引導(dǎo)學(xué)生采用分割的方法計算長方形（或正方形）的面積.

圖1

師：用不同方法計算同一長方形（或正方形）的面積，所得結(jié)果相同.這是生活中常用到的割補(bǔ)法，是數(shù)學(xué)家劉徽的出入相補(bǔ)原理，整體面積等于若干圖形的面積之和，體現(xiàn)建模思想.這里用圖形面積的方法比較直觀地解釋這個結(jié)果，也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.當(dāng)然，（指著構(gòu)造的圖形）老師覺得它亦有不足之處，邊長都是正數(shù)，但是（a+n）（b+m）中的a、n、b、m可以是任意的實數(shù)，甚至是一個單項式或者多項式.

師：你能用文字語言描述多項式乘法該如何計算嗎？

生：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

師：用符號語言可表示為（a+n）（b+m）=ab+am+nb+ nm.

師板書：（a+n）（b+m）=ab+am+nb+nm.

設(shè)計說明：本教學(xué)片段的設(shè)計，首先以“（a+n）（b+ m）這個多項式與多項式相乘又該如何計算？計算結(jié)果會如何？請同學(xué)們類比單項式乘法進(jìn)行探索.你們是怎么思考的？有哪些方法途徑？”這些提問引領(lǐng)學(xué)生思考，不但使學(xué)生體會到知識的形成過程，更深刻認(rèn)識到多項式的乘法法則是基于單項式的乘法運算的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，從而對運算發(fā)展的主線有了更清晰的認(rèn)識；接著，指明問題的解決策略——從“數(shù)”的角度來計算和從“形”的角度來詮釋，利用大矩形面積不變，嘗試多種圖形分割方式，感受用等積構(gòu)造恒等式的妙處，也為將來用構(gòu)圖法驗證乘法公式、驗證勾股定理儲備知識基礎(chǔ)，滲透數(shù)形結(jié)合思想；最后，用自己的語言提煉多項式乘多項式法則，感受如數(shù)學(xué)家般的思考研究過程.在生生互動、師生互動中完成方法途徑的討論，讓學(xué)生經(jīng)歷法則的生成過程，將帶有生硬規(guī)定性的法則變成學(xué)生的自然生成，充分淡化生硬的規(guī)定痕跡.

3.嘗試應(yīng)用，構(gòu)建新法則成知識體系.

（1）例1：計算：①（x+y）（a+2b）；②（3x-1）（x+3）；③（2a-b）2.

師：先引導(dǎo)，不計算：x+y有哪幾項？a+2b有哪幾項？

生口答：畫出多項式的每一項（紅粉筆）.

邊講邊板書第①小題，讓學(xué)生獨立完成第②小題與第③小題.

師：（第②題）3x2這一項的符號為什么是正？9x這一項的符號為什么是正？-x這一項的符號為什么是負(fù)？-3這一項的符號為什么是負(fù)？

師總結(jié)歸納：①積的符號由這兩項的符號來確定，同號得正，異號得負(fù)；②最后的結(jié)果要合并同類項.

師：（第③題）它是多項式與多項式相乘嗎？哪兩個多項式相乘？你的計算結(jié)果是否正確？我們按法則來計算，法則指引.

師：你能總結(jié)一下多項式與多項式相乘過程中有哪些需要注意的地方？

注意：①不重復(fù)、不漏項，應(yīng)按一定的順序進(jìn)行；

②多項式中每一項都包含它前面的符號，“同號得正，異號得負(fù)”；

③有同類項的要合并，最后結(jié)果不含同類項.

（2）接著請同學(xué)們來編題.

請同學(xué)們來編題：從下面6個單項式中任意選取若干個單項式（每個最多用一次）運用“+、-”運算符號組成多項式，再寫成多項式乘多項式的形式，讓你的同桌來計算結(jié)果.

老師對學(xué)生的出題和解題情況進(jìn)行巡視，挑選出兩個典型的題目投影進(jìn)行批改.

（a-2b）（m-1）；（a-n）（2b+c-1）.

師：這位同學(xué)編的（a-n）（2b+c-1），屬于多項式乘多項式嗎？

生（合）：是.

師：初次乘開有幾項？生7：六項.

師：你是怎么思考的？

生7：因為我們可以將（2b+c-1）看成一個整體，利用整體的思想，將它轉(zhuǎn)化成單項式與多項式相乘，運用分配律得到a（2b+c-1）-n（2b+c-1），再利用分配律轉(zhuǎn)化成單項式乘單項式得到六項.

師：還可以怎么思考？

生8：也可以將（a-n）看成一個整體.

生9：也可以直接對照多項式的乘法公式，多項式與多項式乘法公式中的a、n、b、m可以是任意的實數(shù)，甚至是一個單項式或者多項式.所以運用多項式乘法法則，初次乘開應(yīng)該有六項.

師：三項多項式乘三項多項式呢？

生9：九項.

（3）例2：先化簡，再求值：（2a-3）（3a+1）-6a（a-4），其中

師：對于-6a（a-4），你是怎樣化簡的？

師根據(jù)生的回答，分析，點撥，板書.

師：新知識、舊知識有機(jī)結(jié)合.

（4）變式：（2a-3）（3a+1）-（6a+1）（a-4）.

生獨立完成.

設(shè)計說明：兩道例題及兩道練習(xí)，讓學(xué)生獨立嘗試、同桌互改、班級展示及教師點撥.一方面直接鞏固應(yīng)用多項式乘法法則，深化對法則的理解；讓學(xué)生感受到不管問題如何變化，始終可以找到用整體轉(zhuǎn)化思想、用數(shù)形結(jié)合、用法則等問題解決的方法；最后，充實并構(gòu)成了完整的整式乘法法則，為后續(xù)乘法公式等知識的學(xué)習(xí)作鋪墊.另一方面，不但能活躍課堂氣氛，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，而且讓知識真正被吸收、被運用，經(jīng)過學(xué)生自身的“再加工、再創(chuàng)造”，成為有效的知識，對培養(yǎng)學(xué)生的多種思維能力、合作學(xué)習(xí)能力和交流能力等諸多方面都會起到意想不到的效果.

二、教學(xué)思考

基于《課標(biāo)（2011年版）》提出的教學(xué)要求和教材的意圖，將其教學(xué)立意于“類比、感悟、積累、發(fā)展”，從學(xué)生已有的知識與經(jīng)驗出發(fā)，運用類比的思維策略、教師價值引導(dǎo)和學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放的方式，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的認(rèn)知過程.在設(shè)計上注重整體感悟知識發(fā)展的邏輯主線，結(jié)構(gòu)上層層遞進(jìn).在“追根溯源，找準(zhǔn)新法則的生長點”的教學(xué)中，既有回顧單項式乘法的過程，又有通過類比提出問題的過程，以揭示新舊知識之間的內(nèi)在聯(lián)系和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；在“合作探究，品味新法則的生長過程”的教學(xué)中，既有學(xué)生自主實踐與思考的過程，又有交互反饋與評價的過程，以感悟研究數(shù)學(xué)的基本經(jīng)驗；在“嘗試應(yīng)用，構(gòu)建新法則入知識體系”的教學(xué)中，既有學(xué)生練習(xí)，又有學(xué)生自己編題，以促進(jìn)學(xué)生自我提高.這體現(xiàn)了過程教育和以生為本的思想，也遵循了導(dǎo)入性教學(xué)、法則教學(xué)的基本規(guī)范，能全面發(fā)揮其育人功能.

本節(jié)課在法則的生成教學(xué)過程中，呈現(xiàn)以下幾個明顯特征：

1.體現(xiàn)以生為本，法則引入自然、流暢.

讀懂教材，領(lǐng)悟編者的意圖，這是有效開展教學(xué)的基礎(chǔ).然而，受條件限制，教材內(nèi)容往往只能以靜態(tài)的形式呈現(xiàn)，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維要靠教師通過動態(tài)的課堂活動才能得以激活.如果教師沒有深入理解教材，沒有領(lǐng)會編者意圖，課堂上只能是教材內(nèi)容的“二傳手”，各環(huán)節(jié)的教學(xué)將是碎片化的，不夠連貫，不易構(gòu)建完整的知識體系，經(jīng)歷思維過程、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力更是無從談起.

如果本次教學(xué)僅從實際問題引入知識，列出多項式乘多項式的算式，然后根據(jù)面積的不同算法得到法則，這樣的引入無法讓學(xué)生從整體上體會運算發(fā)展的脈絡(luò)及各種運算之間的關(guān)系.筆者引導(dǎo)學(xué)生通過類比單項式的乘法法則來自主探索得到多項式的乘法法則，更利于學(xué)生知識體系的鞏固→發(fā)展→擴(kuò)散.這種數(shù)學(xué)化的引入注重數(shù)學(xué)知識間的內(nèi)部聯(lián)系，問題層層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生在不知不覺中進(jìn)入學(xué)習(xí)的最佳狀態(tài).

2.滲透數(shù)學(xué)思想，多視角感悟法則.

在整個法則教學(xué)過程中，除了讓學(xué)生能從“數(shù)”的角度來計算得到法則，還鼓勵學(xué)生從圖形面積——“形”的角度來解釋法則的正確性，滲透了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用思想.

研究方法上注重培養(yǎng)學(xué)生多視角去研究感悟法則，注重整體感悟知識發(fā)展的邏輯主線.學(xué)習(xí)方法上重視培養(yǎng)學(xué)生的素養(yǎng)，讓學(xué)生感悟類比思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.較好地處理了知識與方法的關(guān)系，讓學(xué)生體驗了在數(shù)形結(jié)合思想方法引領(lǐng)下的知識學(xué)習(xí)，感悟數(shù)形結(jié)合的必要性和知識產(chǎn)生的必然性，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解.

3.慢化探究過程，揭示法則本質(zhì).

拉長思維過程，讓學(xué)生經(jīng)歷法則的形成過程，自主揭示法則的本質(zhì)，準(zhǔn)確把握法則的內(nèi)涵和外延.當(dāng)前，數(shù)學(xué)課堂仍然存在“快餐式”教學(xué).比如，在法則的教學(xué)中，有的教師不關(guān)心法則的形成過程，“直接”告訴學(xué)生法則，讓學(xué)生記住法則公式，接著舉例訓(xùn)練，反復(fù)練習(xí).這種教學(xué)方式縮減了法則探究的歷程，影響了學(xué)生的深度思考，阻礙了學(xué)生的思維發(fā)展和能力的提升.網(wǎng)上諸多課例，對多項式乘法法則的得出用時不到十分鐘，法則產(chǎn)生的歷程交代得不夠到位，法則本質(zhì)的揭示并不是學(xué)生自主完成的，導(dǎo)致學(xué)生對法則的應(yīng)用只會機(jī)械模仿，生搬硬套，長此以往，將對“四基”的落實產(chǎn)生不利影響.筆者的教學(xué)中，法則的給出雖然用時較多，擠壓了強(qiáng)化訓(xùn)練的時間，似乎很不劃算，實則不然.在探索法則的過程中，學(xué)生通過獨立思考、小組討論、分享交流，經(jīng)歷問題解決的全過程，體驗解決方法的多樣性，在交流碰撞中解決問題，提升能力.正因為筆者能夠慢化探究過程，才能有如此精彩的課堂生成，學(xué)生才能收獲成功的喜悅，體會數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣.在這種“慢”教學(xué)中，學(xué)生充分經(jīng)歷法則的形成過程，自主完成法則的建構(gòu)，理解法則的本質(zhì)屬性，對學(xué)到的法則自然體會深刻，記憶牢固.學(xué)生在獲取數(shù)學(xué)知識的同時，思維能力、情感體驗等方面都將得到發(fā)展，這應(yīng)是數(shù)學(xué)課堂不懈的追求.

總之，在新課程的教學(xué)中，面對新問題、新困惑，既要敢于大膽地把學(xué)習(xí)的主動權(quán)還給學(xué)生，尊重學(xué)生，滿足學(xué)生的表現(xiàn)欲望，讓學(xué)生在嘗試中發(fā)現(xiàn)問題，在自主與合作中探究解決問題的方法，在討論中形成知識、方法的結(jié)論，在交流中產(chǎn)生情感共鳴，在運用中獲得成功的滿足；同時又要不斷總結(jié)、優(yōu)化、完善課堂教學(xué)中的調(diào)控策略，組織好學(xué)生的探究、討論與交流，努力做到“活而不亂”.

1.尹紅梅，張建鵬.因勢利導(dǎo)，自然生成——“單項式與多項式”教學(xué)實錄及其評析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（8）.

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3.耿恒考.理解概念 明確法則 熟練應(yīng)用——蘇科版七年級“2.4相反數(shù)”解讀及教學(xué)實錄片段［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（16）.

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