☉江蘇常熟市第一中學(xué) 謝 燕

排除干擾聚焦圖形，識(shí)別模型平移轉(zhuǎn)化
——以一道最小值把關(guān)題的講評(píng)為例

☉江蘇常熟市第一中學(xué) 謝 燕

最值問題一直是初中數(shù)學(xué)各級(jí)考題中的熱點(diǎn)設(shè)問角度，各種最值模型紛繁復(fù)雜，辨識(shí)模型需要較高的識(shí)別、洞察問題結(jié)構(gòu)的能力.比如所謂“將軍飲馬”模型就有很多變式，其中一種融入平移的“將軍飲馬”模型顯得更加復(fù)雜.在最近的中考?？季碇?，我們又在某地區(qū)的?？季淼淖詈笠活}最后一問中發(fā)現(xiàn)了這種設(shè)問，而安排學(xué)生訓(xùn)練時(shí)，得分率太低，于是筆者搜集之前一些地區(qū)考卷中曾出現(xiàn)過的同類問題，構(gòu)思了一節(jié)主題復(fù)習(xí)課，取得了較好的復(fù)習(xí)效果.本文先概述這節(jié)課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)解讀教學(xué)立意，供研討.

一、?？碱}講評(píng)課復(fù)習(xí)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 考題呈現(xiàn)，“遇上”難題.

考題1：如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)B（-2，4）.

（1）求a的值.

（2）作Rt△OAB，使∠BOA= 90°，且OB=2OA，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，過點(diǎn)A作直線AC⊥x軸于點(diǎn)C，交拋物線y=ax2（a≠0）于點(diǎn)D，將該拋物線向左或向右平移t（t＞0）個(gè)單位長度，記平移后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′.當(dāng)CD′+OB′的值最小時(shí)，求出t的值和平移后相應(yīng)的拋物線解析式.

思路突破：（1）比較基礎(chǔ)，這里略去過程，直接給出答案a=1.

（2）需要分兩種情況討論.

如圖2，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥x軸于點(diǎn)N.

圖1

圖2

圖3

如圖3，過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N.

類似地，可得OM=1，MA=2，即此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-1）.

綜上所述，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）或（-2，-1）.

現(xiàn)在就來到了難題第（3）問，由于在上一問中點(diǎn)A有兩處位置，所以這一問也需要分類討論，讓我們先挑一個(gè)簡單的突破思路.當(dāng)A（-2，-1）時(shí)，構(gòu)造圖4分析，容易發(fā)現(xiàn)此時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，待求CD′+OB′的值最小，只需要取O關(guān)于直線y=4的對(duì)稱點(diǎn)O′，連接CO′交直線y=4于B′，則該點(diǎn)為滿足題意的點(diǎn)B′、D′，容易確認(rèn)此時(shí)BB′=1，所以t=1，拋物線的解析式為y=（x-1）2.

圖4

圖5

再來思考點(diǎn)A（2，1）的情況，構(gòu)造圖5分析（先要想清拋物線如果向左平移，則待分析的CD′+OB′的值會(huì)越來越大，故舍去向左平移的討論）.設(shè)平移后的拋物線解析式為y=（x-t）2，則B′、D′的坐標(biāo)為B′（t-2，4）、D′（t+2，4），將點(diǎn)D′向左平移2個(gè)單位（這個(gè)平移長度對(duì)應(yīng)著線段OC的長）得到D″，現(xiàn)在的問題就轉(zhuǎn)化為前面的將軍飲馬模型了，只要取D″關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D蓯，連接B′D蓯，當(dāng)B′D蓯恰過原點(diǎn)時(shí)，符合要求.接下來就用含t的式子表示B′D蓯的解析式，再把（0，0）代入解析式，就可確定t=1.問題獲得解決.

值得提醒學(xué)生的是，以上兩種不同的構(gòu)造與思考，其答案卻是一樣的.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 鞏固模型，加深理解.

考題2：如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

圖6

圖7

預(yù)設(shè)講解：如圖7，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，在CB邊上截取CG=2，連接D′G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截取.

由GC∥EF，GC=EF，易得平行四邊形GEFC，有GE= CF.又DC、EF的長為定值，此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長最小.由OE∥BC，可得Rt△D′OE∽R(shí)t△D′BG，則.所以所以.即點(diǎn)E的坐標(biāo)為點(diǎn)F的坐標(biāo)為

回顧反思：軸對(duì)稱最值模式需要經(jīng)歷平移變換（EF→CG）后獲得GE+DE最短.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 同類再練，學(xué)情反饋.

考題3：如圖8，已知點(diǎn)A（-4，8）和點(diǎn)B（2，n）在拋物線y=ax2上.平移拋物線y=ax2，記平移后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C（-2，0）和點(diǎn)D（-4，0）是x軸上的兩個(gè)定點(diǎn).當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖8

設(shè)拋物線向左平移了b個(gè)單位，則點(diǎn)A′和點(diǎn)B′的坐標(biāo)分別為A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B″（-b，2）.要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB″最短.點(diǎn)A′關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A″（-4-b，-8），于是，可以求出直線A″B″的解析式為2.要使A′D+DB″最短，點(diǎn)D應(yīng)在直線A″B″上.將點(diǎn)D（-4，0）代入直線A″B″的解析式，解得.故將拋物線向左平移時(shí)，存在某個(gè)位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時(shí)拋物線的函數(shù)解析式為

圖9

二、教學(xué)思考

習(xí)題課是一首老歌，然而在各級(jí)教研活動(dòng)中對(duì)習(xí)題課的研究并不多見，究其原因往往是覺得習(xí)題課缺少主線，一道習(xí)題接著一道習(xí)題講評(píng)，品味不高，有濃濃的應(yīng)試味道，如果我們能把具有相同結(jié)構(gòu)的習(xí)題歸類到一起，研發(fā)同類問題的專題復(fù)習(xí)課，則往往能讓習(xí)題課也上出新意、上出深度.以下就圍繞相關(guān)話題進(jìn)一步闡釋我們的思考.

1.教師要善于歸類積累經(jīng)典模型及其變式.

由于現(xiàn)今網(wǎng)絡(luò)搜題的便捷，使得很多較難題能在一些網(wǎng)站、數(shù)學(xué)教師研究群里快速傳播，進(jìn)而出現(xiàn)在各類試卷中，如果教師不注意收集、積累這些常見圖形及其性質(zhì)，在教學(xué)中不進(jìn)行必要的講解與訓(xùn)練，在一些考試中學(xué)生往往面對(duì)這些新題型束手無策.而對(duì)這類較難題，首先需要教師本人善于歸類積累經(jīng)典模型，收集存檔，以便在相關(guān)試卷中出現(xiàn)時(shí)，能第一時(shí)間在“手頭”或電腦中查閱、比對(duì)，使得大量的同類變式題能在較短時(shí)間內(nèi)被查找出為，為進(jìn)一步備課、選題提供必要的同類題資料.

2.試卷講課上較難題可引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別模式.

每份中考復(fù)習(xí)?？季碇卸加袃扇腊殃P(guān)題，這些把關(guān)題也是試卷講評(píng)中的重點(diǎn)與難點(diǎn)，如果輕描淡寫地核對(duì)答案式講評(píng)，則講評(píng)效果并不理想.怎樣讓學(xué)生通過這些較難試題的講評(píng)能達(dá)到學(xué)活、學(xué)透、學(xué)深，是值得我們深入思考的.我們認(rèn)為，像上文中的課例一樣，不只是針對(duì)難題進(jìn)行思路突破，而且在講解之后，還要給出同類跟進(jìn)，變式再練，讓學(xué)生在“多解歸一”中加深對(duì)模式的理解.

3.注意同類跟進(jìn)變式再練追求更好的效益.

對(duì)于一些較難題的講評(píng)或訂正，很多學(xué)生貌似聽懂了，但是再遇到這些題目時(shí)往往不能準(zhǔn)確解答，為了有效應(yīng)對(duì)這種“遺忘現(xiàn)象”（可能不能稱之為遺忘，應(yīng)該是學(xué)生的理解還不夠深刻），根據(jù)我們的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在這些較難試題講評(píng)之后，可以開展變式再練、同類鏈接，讓學(xué)生在結(jié)構(gòu)相同或解法思路相近的同類試題訓(xùn)練之后加深對(duì)這類問題的深刻理解，追求更好的教學(xué)效益.

三、寫在后面

這類考題在本質(zhì)上是幾何最值模型“嵌入”拋物線背景，基本不涉及函數(shù)背景，所以上文中的考題2——一道幾何矩形背景題也是考查這種最值模型，“嵌入”所謂函數(shù)圖像只是為了干擾、影響學(xué)生的思路，如果受到函數(shù)圖像等無關(guān)線條的干擾，不能聚焦圖形、鎖定目標(biāo)，則往往不得其門.在這個(gè)意義上說，就命題來說，函數(shù)圖像為背景“嵌入”這種幾何最值模型并不是值得提倡的命題方向；就教學(xué)來說，引導(dǎo)學(xué)生善于排除干擾，聚焦目標(biāo)是應(yīng)試解題的必備解題技能.

1.王成.同類鏈接促進(jìn)感悟，模考講評(píng)提升效益——以一次?？碱}的鏈接講評(píng)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

2.沈麗婧.聚焦微專題：中考二輪復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考——以一組“關(guān)聯(lián)試題”復(fù)習(xí)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（3）.

3.秦怡.回到概念，讓解題念頭“自然生成”——從一道幾何難題的思路突破說起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（2）.

4.徐燕君.一道“偽坐標(biāo)題”的命題商榷與變式改編［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2017（1）.