☉廣東中山市華僑中學(xué) 陳春濤

預(yù)錯的課堂很精彩*
——以平方根起始課教學(xué)為例

☉廣東中山市華僑中學(xué) 陳春濤

開方運算是初中六大運算中最后學(xué)習(xí)的一種運算，對比加、減、乘、除、乘方運算，開方尤其是開偶次方（以下只談開平方）運算非常容易出錯.開平方運算為什么容易錯？會錯在哪兒？教學(xué)中應(yīng)該怎樣處理以防止出現(xiàn)這些錯誤？下面以筆者執(zhí)教的一堂研討課為例，談?wù)剛€人的教學(xué)建議.

一、學(xué)情分析：會錯在哪兒

初中的數(shù)由兩部分構(gòu)成：符號和絕對值.加、減、乘、除、乘方這五種運算法則都是先確定結(jié)果的性質(zhì)符號，再確定絕對值運算的結(jié)果（以下簡稱為“先確定符號，后確定絕對值”），開方運算也應(yīng)該如此.所以學(xué)生的錯誤主要集中在符號與絕對值兩方面：

一是性質(zhì)符號容易出錯（以下簡稱為“符號容易出錯”）.也就是對于算術(shù)平方根和平方根的符號容易混淆.例

如：“9的平方根是3”“已知x2=9，則

二是開方運算結(jié)果的絕對值容易出錯（以下簡稱為“絕對值容易出錯”）.例如“：

簡單地說，就是對平方根的概念和性質(zhì)在理解上存在障礙，即對運算對象理解不透徹.

二、教材分析：為什么容易錯

1.是由教材內(nèi)容的編排順序造成的.從章節(jié)起始課的特點來看，章節(jié)起始課是新知學(xué)習(xí)的起始，正是學(xué)生的學(xué)習(xí)興奮點最高的時候，此時學(xué)生參與度高，思維也很活躍，正適合承上啟下、梳理知識脈絡(luò)、厘清關(guān)鍵概念.在人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)》七年級下冊中，編排順序是先學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，再學(xué)習(xí)平方根.而且為了與生活實際相聯(lián)系，算術(shù)平方根的內(nèi)容編寫比較簡單，只有單純的求平方數(shù)的算術(shù)平方根.這樣的編排容易使學(xué)生形成兩個認(rèn)知誤區(qū)：（1）開平方運算的結(jié)果都是正數(shù)（符號錯誤）；（2）帶根號的數(shù)都能夠化簡為有理數(shù)（絕對值錯誤）.這種先入為主的印象在學(xué)習(xí)后續(xù)的平方根時就容易形成負(fù)遷移.所以，在實際執(zhí)教過程中，筆者是先學(xué)習(xí)平方根，再學(xué)習(xí)算術(shù)平方根.

2.是由開方運算本身的算理造成的.每一種運算都是正易逆難.如減法運算比加法運算難，除法運算比乘法運算難.開方是乘方運算的逆運算，比乘方運算更難.從符號方面看，加、減、乘、除、乘方運算結(jié)果的性質(zhì)符號都只有一個，可是開平方運算（非零的數(shù)）的符號卻有正負(fù)兩個結(jié)果；從絕對值來看，許多有理數(shù)開方后的結(jié)果都不再是有理數(shù)，而是無理數(shù).而且，加、減、乘、除、乘方都概括了明確的運算法則，而開平方并沒有專門的運算法則.這些不同造成了開方算理理解的困難.

教材是通過表格、映射圖來展現(xiàn)平方與開平方的互逆關(guān)系，從而揭示開平方運算算理的.但教材提“求某數(shù)的平方根”較多，談“將某數(shù)開平方”較少，學(xué)生不能清晰地意識到開平方是一種運算，所以也不能很好地理解開平方運算的算理.

3.是由忽略了對開方運算符號的解讀造成的.很多學(xué)生能夠回答“9的平方根是多少”這樣的問題，但卻無法回答“9的平方根怎樣表示”，所以常常出現(xiàn)“±3”這樣的錯誤.究其根本，是因為學(xué)生沒有將“視為與“+、-、×、÷”一樣的運算符號.所以學(xué)生也無法類比加減法運算去理解開平方.例如：“是將9做開平方運算，先確定結(jié)果的符號為正，再確定結(jié)果的絕對值為3，所以答案為+3”.學(xué)生的思考則是“到底是求平方根，還是求算術(shù)平方根呢？”

課本例5 求下列各式的值：（1）■ 3 6；（2）- ■0.81；

從上面的兩道例題來看，例4是用文字表述求平方根，例5是用符號表述求平方根，但卻沒有任何一處地方告訴學(xué)生“兩道例題都是在做開平方運算”“‘’是開平方的運算符號，是求平方根的運算符號”，課本上只是讓學(xué)生“化簡”.

三、教學(xué)設(shè)計：怎樣防止出錯

（一）課堂引入.

活動1：理解開方是一種運算.

-3+（ ）=9，-3×（ ）=9，（ ）2=9

引語：第一組的算式分別表示加法運算、乘法運算和乘方運算.第二組則分別是“已知和與一個加數(shù)，求另一個加數(shù)”，即減法運算；“已知積與一個因數(shù)，求另一個因數(shù)”，即除法運算.所以，加法與減法互為逆運算，乘法與除法也互為逆運算.那么如果“知道指數(shù)與冪，求底數(shù)”，又是什么運算呢？它和乘方運算有什么關(guān)系呢？

“哪個數(shù)的平方等于9”這種運算，我們稱為開平方運算，開平方與平方也互為逆運算.對應(yīng)的，立方與開立方也互為逆運算，即乘方與開方互為逆運算.

加、減、乘、除、乘方運算的結(jié)果分別稱為和、差、積、商、冪，開平方運算的結(jié)果則稱為平方根，開立方運算的結(jié)果稱為立方根.

歸納：如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫作a的平方根.

求一個數(shù)a的平方根的運算，叫作開平方.

口答練習(xí)：哪個數(shù)的平方等于9？9的平方根是多少？

哪個數(shù)的平方等于121（196、256、361、…），這些數(shù)的平方根是多少？

展示：（±11）2=121，（±12）2=144，…，（±19）2=361.

設(shè)計意圖：避免出現(xiàn)性質(zhì)符號的錯誤.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的第一步就是理解運算對象，本課需要理解開方運算，理解其運算表達(dá)式和結(jié)果的含義，故首先從理解平方根是開方運算的結(jié)果開始，并且通過結(jié)果為整數(shù)的開平方運算，讓學(xué)生形成非零數(shù)的平方根有正、負(fù)兩種情況的直觀認(rèn)識，同時也讓學(xué)生熟知11～20的平方數(shù).

（二）探求新知.

活動2：認(rèn)識開平方的運算符號.

例1“因為（±3）2=9，所以9的平方根是±3”.

按上述格式寫出下列各數(shù)的平方根分別是多少.

設(shè)計意圖：（1）避免出現(xiàn)性質(zhì)符號錯誤.繼續(xù)深化非零數(shù)的平方根有正、負(fù)兩種情況的直觀認(rèn)識.被開方數(shù)從整數(shù)逐漸拓展至分?jǐn)?shù)和小數(shù)，讓學(xué)生形成“有理數(shù)可以進(jìn)行開平方運算”的初步認(rèn)識，為后續(xù)判斷負(fù)數(shù)沒有平方根作鋪墊.

（2）避免出現(xiàn)運算結(jié)果（絕對值）的錯誤.針對第（3）小題，預(yù)計學(xué)生會出現(xiàn)結(jié)果為的錯誤，出現(xiàn)錯誤后，讓學(xué)生自己驗算，從而理解計算帶分?jǐn)?shù)的平方根時需要轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)來運算.

針對第（4）小題，得到結(jié)果為±0.04后，追問學(xué)生：哪個數(shù)的平方根是±0.4，哪個數(shù)的平方根是±0.004？從而讓學(xué)生學(xué)會通過平方檢驗開平方運算，并且對“被開方數(shù)小數(shù)點移動兩位，平方根的小數(shù)點對應(yīng)移動一位”形成直觀認(rèn)識.

第（5）小題是為引出開平方的運算符號有意設(shè)計的.學(xué)生開始認(rèn)識到，并不是每個數(shù)的平方根都可以得到有理數(shù)結(jié)果.如果結(jié)果無法寫成有理數(shù)，則直接表示為的形式.

小結(jié)：如果x2=a，那么.如果一個數(shù)的平方根無法化簡為有理數(shù)，則可以直接用含根號的式子表示其平方根.

活動3：掌握平方根的性質(zhì).

基礎(chǔ)練習(xí)：（1）23的平方根表示為________，結(jié)果是_______.

（3）±0.16是_______的平方根.

（5）0的平方根表示為_________，結(jié)果是________.（6）-9的平方根是多少呢？

歸納：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

設(shè)計意圖：強(qiáng)化開平方的運算符號.加深對開平方運算的性質(zhì)符號和運算符號的理解.從正、反兩方面理解平方與開平方的互逆關(guān)系.

活動4：辨別平方根的性質(zhì)符號.

例2 說出下列各式的意義，并求出其結(jié)果.

判斷正誤：（1）只有正數(shù)才有平方根.

（2）（-1）2的平方根是-1.

（3）-16的平方根是±4.

設(shè)計意圖：加強(qiáng)對開平方的運算符號與結(jié)果的性質(zhì)符號的理解.學(xué)生對于“平方根”三字已經(jīng)有了直觀認(rèn)知：正數(shù)的平方根有正、負(fù)兩個，可對于“開平方運算”和“平方根的結(jié)果”的區(qū)別辨別不夠清晰，容易出現(xiàn)“±4”這樣的錯誤，所以需要設(shè)計一組辨析題，讓學(xué)生理解“平方根”“平方根中的正值”“平方根中的負(fù)值”，從而與其他運算統(tǒng)一起來，即先確定符號，后確定絕對值.并形成帶根號的數(shù)既有正數(shù)又有負(fù)數(shù)的直觀認(rèn)識.這一環(huán)節(jié)如果學(xué)生理解透徹，則對算術(shù)平方根的理解就水到渠成了.

活動5：拓展數(shù)的開方運算為式的開方運算.

例3（1）求下列方程中x的值：x2=16.

（2）請觀察下列方程，它們是怎樣由方程（1）逐步轉(zhuǎn)化的.

x2-16=0；（x-2）2-16=0；2（x-2）2-32=0.

設(shè)計意圖：避免字母（或式子）開方時出現(xiàn)性質(zhì)符號的錯誤.學(xué)生前面接觸的問題都是這樣的：“哪個數(shù)的

（三）知識小結(jié).

（1）“±”為開平方運算的性質(zhì)符號，前面只有“+”（或省略）或“-”都表示只是其中的某一個平方根.

（3）“a”被稱為被開方數(shù).因為平方的結(jié)果是非負(fù)數(shù)，所以被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)，即“a≥0”.其中正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0只有一個平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根.

（四）課后分層作業(yè).

A層

1.36的平方根表示為_______，化簡結(jié)果是______.

3.如果數(shù)x有兩個平方根a和b，則x一定是_____數(shù)，a和b的關(guān)系是_______.

4.下列各數(shù)：-52、（-4）2、0中，沒有平方根的是____.

5.如果一個數(shù)的平方根是±4，那么這個數(shù)是_____.

6.如果某數(shù)的一個平方根是-3，那么這個數(shù)的另一個平方根是_______，這個數(shù)是________.

B層

1（.-10）2的平方根是_____.

5.已知3a-1與13-5a是x的兩個相異平方根，求x的值.

四、教學(xué)效果反饋

筆者在執(zhí)教后的一個月內(nèi)，曾以自己任教班級（45人）為樣本，針對易錯項目展開四次統(tǒng)計，第一次只考查題目（1）（3），后三次考查以下三種題型.

（1）25的平方根是__________；

（3）解方程：（x-3）2=49.

統(tǒng)計結(jié)果（如表1）：

表1

從結(jié)果來看，當(dāng)天的課后作業(yè)學(xué)生掌握情況不錯，絕大部分學(xué)生能夠正確理解“平方根”的概念，明確算式中帶根號的數(shù)的符號屬性，也能應(yīng)用平方根的概念解簡單的一元二次方程.但這一結(jié)果伴隨著新知識的學(xué)習(xí)，數(shù)字屬性的內(nèi)容已經(jīng)明確了，字母屬性的式子遺忘與錯誤開始增多.第四周測試后經(jīng)過糾正，期中考試前再次復(fù)習(xí)相同內(nèi)容時，全班只有1名學(xué)生解題（3）時出現(xiàn)錯誤，其他兩題都能全部正確解答.

五、教學(xué)反思

1.理解運算對象是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.所謂數(shù)學(xué)運算，是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的思維過程.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算方向，選擇運算方法，設(shè)計運算程序，求得運算結(jié)果.從數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)形成的過程來看，理解運算對象是培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的前提與基礎(chǔ).

平方根及其表達(dá)形式是學(xué)生非常陌生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，古人經(jīng)過了近兩千年才承認(rèn)了無理數(shù)，才結(jié)束了因無理數(shù)的產(chǎn)生而帶來的第一次數(shù)學(xué)危機(jī).學(xué)生要在一節(jié)課內(nèi)就理解它，無疑是具有相當(dāng)難度的.故本課的設(shè)計需要深入理解概念，逐步滲透學(xué)習(xí).整堂課由五個部分構(gòu)成.（1）認(rèn)識到開方是一種運算；（2）認(rèn)識開方的運算符號；（3）理解被開方數(shù)的非負(fù)要求；（4）認(rèn)識開平方運算結(jié)果的性質(zhì)符號的意義；（5）將數(shù)的開方運算拓展到式的開方運算.這種分解概念認(rèn)識難點、分步突破重點的設(shè)計最終達(dá)到了預(yù)想的教學(xué)效果.

2.課堂教學(xué)設(shè)計要預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤.

軍隊的訓(xùn)練場上有這樣一句話：平時多流汗，戰(zhàn)時少流血.課堂訓(xùn)練也是一樣，平時將學(xué)生容易出現(xiàn)的問題預(yù)設(shè)更多一些，做到“預(yù)設(shè)≥生成”，學(xué)生在解決問題時就能少走彎路.但是預(yù)設(shè)錯誤并不是直接提醒學(xué)生不要犯錯誤，而是將容易犯的錯誤恰當(dāng)?shù)卣显谡n堂的每個流程中，埋下一個個“演習(xí)地雷”，當(dāng)學(xué)生不小心踩上去時，讓他自己去體會和總結(jié)，從而避免在“戰(zhàn)場”上踩上真正的地雷.本堂課中就預(yù)設(shè)了許多學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤.

例如：為了防止學(xué)生出現(xiàn)平方根寫不完整的現(xiàn)象，在引例中設(shè)計了根據(jù)上一行乘方運算中（-3）2=9，填寫下一行（ ）2=9；

為了防止學(xué)生在帶分?jǐn)?shù)和小數(shù)的開方時出現(xiàn)錯誤，設(shè)計了例1中的“求的平方根”和“求0.0016的平方根”；

為了防止學(xué)生產(chǎn)生“帶根號的數(shù)都能夠化簡為有理數(shù)”的錯誤認(rèn)識，設(shè)計了“求7的平方根”；

為了從正、反兩方面理解平方根，在基礎(chǔ)練習(xí)中設(shè)計了“±0.16是_______的平方根”；

為正確辨別平方根的概念與性質(zhì)，設(shè)計了六道判斷正誤的題，每一道都直指學(xué)生最容易犯錯的細(xì)節(jié)；

為進(jìn)一步讓學(xué)生抽象開方運算的本質(zhì)，設(shè)計了解方程x2=16，以及方程的一系列變化形式.

……

預(yù)錯的課堂，學(xué)生的神經(jīng)是高度集中的，因為他們不知道何時腳下就埋了一顆“地雷”，所以學(xué)習(xí)效率也是很高的.教師的備課講求“預(yù)設(shè)”，預(yù)設(shè)什么呢？不就是應(yīng)當(dāng)預(yù)設(shè)學(xué)生可能出現(xiàn)的困難或錯誤嗎？

3.教學(xué)內(nèi)容的選擇要基于理解數(shù)學(xué)的需要合理整合與補(bǔ)充.

在實際教學(xué)中，仍有許多教師將教材視為“圣旨”，不得對其作出絲毫更改.固然，“教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容順序是反復(fù)考量的，語言是字斟句酌的，例題是反復(fù)打磨的，習(xí)題是精挑細(xì)選的”，但實施課程改革后，各地市紛紛出臺自己的教材，人民教育出版社的教材也是幾經(jīng)修訂，故教材雖然具有權(quán)威性，但并不妨礙老師的個人解讀.而且教材針對的對象是其使用區(qū)內(nèi)的所有學(xué)生，勢必要照顧大多數(shù)，教師根據(jù)自己班級的實際情況，根據(jù)當(dāng)?shù)亟虒W(xué)的實際要求，根據(jù)自己課堂的實際需要，大膽重組教材，這樣才是“用教材教，而不是教教材”.

本節(jié)課的設(shè)計從多方面考慮后，最終決定先學(xué)“平方根”，后學(xué)“算術(shù)平方根”，這樣更有利于學(xué)生突破性質(zhì)符號理解的障礙.從初中第一課開始，筆者就與學(xué)生一起總結(jié)了初中的數(shù)“先確定符號，后確定數(shù)值（絕對值）”的特點，重組教材，先解決開方運算的符號問題，再解決絕對值的問題，符合本班學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).

為了與后續(xù)知識聯(lián)系，本課還埋下了許多伏筆，如對“被開方數(shù)小數(shù)點移動兩位，平方根的小數(shù)點對應(yīng)移動一位”這一結(jié)論，設(shè)計了“求0.0016的平方根”；為了讓學(xué)生理解“被開方數(shù)既可以是有理數(shù)，又可以是無理數(shù)”，設(shè)計了判斷題“表示π的平方根中的負(fù)值”；為了讓學(xué)生理解設(shè)計了化簡

對平方根的認(rèn)識是初中數(shù)的運算中最困難的內(nèi)容，筆者盡管作出了一些嘗試，但也存在許多瑕疵，如學(xué)生對形如“x2=16”的問題頻繁出錯，故拋磚引玉，以待大家.

1.史寧中.推進(jìn)基于學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)改革［J］.中小學(xué)管理，2016（2）.

2.華志遠(yuǎn).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與構(gòu)成［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2016（5）.

3.秦佑春，劉伯新.學(xué)“實數(shù)”，你會出現(xiàn)這些錯誤嗎？［J］.數(shù)理天地（初中版），2008（12）.

4.周玉.教材研究：編排意圖指向何方？——以人教版“平方根”教學(xué)編排為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（3）.

*本文系廣東省中山市2016年度規(guī)劃課題“人教版初中數(shù)學(xué)教材章節(jié)起始課的教學(xué)策略研究”（立項號：C2016183）的研究成果之一.