陳建恩，劉 軍，葛為民，孫 敏

（1.天津理工大學(xué) 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384）

簡諧激勵(lì)作用下強(qiáng)非線性吸振器的能量轉(zhuǎn)移效能

陳建恩1，劉 軍1，葛為民1，孫 敏2

（1.天津理工大學(xué) 天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384；2.天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384）

以單自由度主結(jié)構(gòu)承受簡諧激勵(lì)作用時(shí)強(qiáng)非線性吸振器的減振能力作為研究對象，運(yùn)用復(fù)變量平均法獲得系統(tǒng)的慢變方程，并進(jìn)一步得到描述穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的非線性方程組。通過對比復(fù)變量平均法和龍格庫塔獲得的解，驗(yàn)證推導(dǎo)過程的正確性。利用復(fù)變量平均法分析吸振器的能量轉(zhuǎn)移效能及其恒定性。研究結(jié)果顯示，不同激勵(lì)幅值下系統(tǒng)的頻率響應(yīng)存在較大差異。當(dāng)激勵(lì)幅值相對較小時(shí)，吸振器的減振效果明顯。隨著簡諧激勵(lì)幅值的增加，吸振器的能量轉(zhuǎn)移效能無法保持恒定，系統(tǒng)在一定頻帶內(nèi)出現(xiàn)高低兩個(gè)穩(wěn)定響應(yīng)分支，并且兩個(gè)響應(yīng)分支會(huì)隨著激勵(lì)幅值的進(jìn)一步增加而合并。

振動(dòng)與波；強(qiáng)非線性吸振器；復(fù)變量平均法；能量轉(zhuǎn)移；恒定性

靶向能量轉(zhuǎn)移，或稱為定向能量傳遞，是一種從主結(jié)構(gòu)將能量單向不可逆地傳遞至非線性振子的能量轉(zhuǎn)移方式，由此而衍生出的強(qiáng)非線性吸振器具有純非線性剛度(彈簧回復(fù)力不具有線性部分)以保證能量傳遞的實(shí)現(xiàn)[1–2]。傳統(tǒng)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器除利用阻尼耗散振動(dòng)能量外，還需依靠自身慣性力抵消主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，因此需要具有較大的質(zhì)量。另外，調(diào)諧質(zhì)量阻尼器需要與主結(jié)構(gòu)的某一階模態(tài)發(fā)生共振以對該模態(tài)實(shí)現(xiàn)減振，因此，其減振頻帶較窄。強(qiáng)非線性吸振器是通過非線性彈簧完成能量轉(zhuǎn)移并利用阻尼對能量加以消耗，它具有兩大顯著優(yōu)點(diǎn)，一是其質(zhì)量可以遠(yuǎn)小于主結(jié)構(gòu)，二是可以在寬頻帶內(nèi)實(shí)現(xiàn)減振。一些學(xué)者對調(diào)諧質(zhì)量阻尼器和強(qiáng)非線性吸振器的性能進(jìn)行了對比[3–4]，研究表明，除上述兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)之外，在合理優(yōu)化吸振器參數(shù)的前提下，強(qiáng)非線性吸振器具有較強(qiáng)的減振能力。

過去十余年時(shí)間內(nèi)，對于強(qiáng)非線性吸振器的研究主要集中在兩個(gè)方面，一方面是將吸振器應(yīng)用于承受不同形式激勵(lì)的各種結(jié)構(gòu)或裝置，另一方面是優(yōu)化強(qiáng)非線性吸振器的結(jié)構(gòu)以提高其能量轉(zhuǎn)移效能(吸能百分比)。Kerschen等研究了強(qiáng)非線性吸振器對兩自由度主結(jié)構(gòu)的減振能力，研究表明吸振器可同時(shí)從主結(jié)構(gòu)的兩個(gè)自由度吸收能量[5]。Georgiades和Vakais將強(qiáng)非線性吸振器應(yīng)用于簡支梁和懸臂板并對吸振器參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化[6–7]。Ahmadabadi和Khadem研究了接地與不接地強(qiáng)非線性吸振器對于沖擊載荷作用下的懸臂梁的減振效能[8]。Tumkur等利用強(qiáng)非線性吸振器抑制圓柱體的渦激振動(dòng)[9]。Luo等研究了強(qiáng)非線性吸振器對六層建筑模型的減振效能[10]。Guo等將強(qiáng)非線性吸振器用于抑制轉(zhuǎn)子在臨界速度時(shí)的回轉(zhuǎn)振動(dòng)[11]。Izzi等利用強(qiáng)非線性吸振器抑制斜拉索的振動(dòng)[12]。Lee等利用強(qiáng)非線性吸振器抑制兩自由度機(jī)翼模型的氣動(dòng)失穩(wěn)[13]。陳勇利用強(qiáng)非線性吸振器對高聳結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)抑制[14]。Zhang等研究了風(fēng)載作用下軸向運(yùn)動(dòng)弦線在強(qiáng)非線性吸振器作用下的動(dòng)態(tài)特性[15]。

Zhang等利用具有并聯(lián)雙振子的強(qiáng)非線性吸振器對軸向運(yùn)動(dòng)梁進(jìn)行了振動(dòng)抑制[16]。Tsakirtzis等研究了具有多自由度振子的強(qiáng)非線性吸振器的能量轉(zhuǎn)移效能[17]。Lamarque等研究了具有非光滑部件的強(qiáng)非線性吸振器在沖擊載荷和簡諧載荷下的減振能力[18]。Gendelman和Starosvetsk等研究了簡諧激勵(lì)作用下含強(qiáng)非線性吸振器的系統(tǒng)的響應(yīng)，并利用分段二次阻尼消除特定情況下的高響應(yīng)分支[19–20]。Manevitch等研究了具有雙穩(wěn)態(tài)部件的強(qiáng)非線性吸振器的能量轉(zhuǎn)移[21]。Shudeifat等研究了具有負(fù)剛度線性彈簧和非線性彈簧的吸振器的性能[22]。Benarous等分析了具有內(nèi)嵌轉(zhuǎn)子的強(qiáng)非線性吸振器的性能[23]。張也弛等分別研究了單、雙自由度強(qiáng)非線性吸振器的減振性能[24–25]。Mattei等利用雙穩(wěn)態(tài)強(qiáng)非線性吸振器抑制雙梁系統(tǒng)的振動(dòng)[26]。熊懷等通過研究非保守系統(tǒng)和對應(yīng)保守系統(tǒng)的能量耗散關(guān)系，提出了一種剛度設(shè)計(jì)方法[27]。

目前，對于沖擊載荷作用下強(qiáng)非線性吸振器效能的研究較多，而對于其他形式激勵(lì)作用下吸振器性能的研究偏少，并且，對于較大載荷作用下吸振器性能的研究更加缺乏。本文主要研究單自由度主結(jié)構(gòu)承受簡諧激勵(lì)作用時(shí)強(qiáng)非線性吸振器的能量轉(zhuǎn)移效能以及較大簡諧載荷作用下能量轉(zhuǎn)移效能的恒定性，總結(jié)了系統(tǒng)響應(yīng)隨著激勵(lì)幅值增加而呈現(xiàn)出的演化規(guī)律。

1 動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

單自由度主結(jié)構(gòu)和單自由度強(qiáng)非線性吸振器所構(gòu)成的系統(tǒng)如圖1所示，其動(dòng)力學(xué)方程可表述如下

其中w和v分別表示主結(jié)構(gòu)和非線性振子的位移，ω為主結(jié)構(gòu)固有頻率，ε為吸振器與主結(jié)構(gòu)質(zhì)量比，并滿足0＜ε＜＜1，A表示激勵(lì)幅值，Ω表示激勵(lì)頻率，強(qiáng)非線性吸振器具有立方非線性剛度。方便起見，令Μ=1。

圖1 連接強(qiáng)非線性吸振器的單自由度線性主結(jié)構(gòu)

運(yùn)用復(fù)變量平均法獲得系統(tǒng)的慢變方程，首先引入如下變換

將式(3)代入方程(1)，并保留慢變部分，可得

其中a1、b1、a2、b2均為t的函數(shù)。將上式代入方程(4)，分離實(shí)部和虛部，可得

求解非線性代數(shù)方程組式(6)，可以獲得主結(jié)構(gòu)的振幅以及主結(jié)構(gòu)與非線性振子之間的相對運(yùn)動(dòng)幅值，其表達(dá)式分別為

為了判斷系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的穩(wěn)定性，令

其中a10、b10、a20、b20是方程(5)的穩(wěn)態(tài)解，δn(n=1、2、3、4)表示穩(wěn)態(tài)解的小擾動(dòng)，將式(8)代入方程組(5)并且僅保留關(guān)于擾動(dòng)的線性部分，可得

方程(9)的系數(shù)矩陣如下，可運(yùn)用其特征根判斷穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性，當(dāng)穩(wěn)態(tài)解的所有特征根均具有負(fù)實(shí)部時(shí)，該解為穩(wěn)定解。

2 數(shù)值驗(yàn)證

為了驗(yàn)證推導(dǎo)過程的正確性，將復(fù)變量平均法和龍格庫塔獲得的結(jié)果進(jìn)行對比，如圖2、圖3所示。為了獲得具有普適性的結(jié)果，仿真中的所有參數(shù)均采用無量綱量。通過調(diào)節(jié)主結(jié)構(gòu)系數(shù)，可使ω=15。圖2為激勵(lì)幅值A(chǔ)=1時(shí)主結(jié)構(gòu)與非線性振子間的相對運(yùn)動(dòng)，通常用該相對運(yùn)動(dòng)描述兩振子間的能量轉(zhuǎn)移效能[1]，其中，圖2(a)為相對運(yùn)動(dòng)的頻率響應(yīng)。通過系數(shù)矩陣(10)的特征值可以判斷，Ω=15時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，而Ω=15.3時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的。圖2(b)和圖2(c)分別為Ω=15和Ω=15.3時(shí)的波形圖，兩圖由龍格庫塔法獲得，波形圖顯示的結(jié)果與復(fù)變量平均法判斷的結(jié)果相符，Ω=15.3時(shí)的波形圖呈現(xiàn)出強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)。仿真過程中，系統(tǒng)的參數(shù)選取如下：γ1=0.1、ε=0.1、γ2=0.2、k=500。

圖3給出了主結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)以及在兩個(gè)不同激勵(lì)頻率下的波形圖，同樣，復(fù)變量平均法和龍格庫塔獲得的結(jié)果吻合較好。

圖4為未連接和已連接強(qiáng)非線性吸振器的主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)情況對比，結(jié)果顯示，強(qiáng)非線性吸振器在該激勵(lì)幅值下可以大量耗散主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量，取得良好的減振效果。

3 能量轉(zhuǎn)移效能及其恒定性

本節(jié)主要分析不同激勵(lì)幅值下主結(jié)構(gòu)與非線性振子間的能量轉(zhuǎn)移效能以及轉(zhuǎn)移效能的恒定性。圖5為A=0.5時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，在整個(gè)響應(yīng)頻帶內(nèi)，穩(wěn)態(tài)解都是穩(wěn)定的，從圖5(b)可以看出，強(qiáng)非線性吸振器對主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生良好的減振效果。

圖2 A=1時(shí)主結(jié)構(gòu)與非線性振子間的相對運(yùn)動(dòng)

圖3 A=1時(shí)主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)

圖4 A=1時(shí)連接與不連接強(qiáng)非線性吸振器的主結(jié)構(gòu)振動(dòng)

圖5 A=0.5時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖6為A=2時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，當(dāng)激勵(lì)頻帶處于12.6～14范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)在每個(gè)激勵(lì)頻率下均存在三個(gè)解，其中包括兩個(gè)穩(wěn)定解，即系統(tǒng)存在高、低兩個(gè)響應(yīng)分支。當(dāng)激勵(lì)頻帶處于14.6～15.8范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)僅存在一個(gè)不穩(wěn)定解，系統(tǒng)呈現(xiàn)出強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)。當(dāng)激勵(lì)頻帶處于15.9～16.4范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)存在三個(gè)解，其中僅有一個(gè)穩(wěn)定解，主結(jié)構(gòu)將始終處于較低的幅值。

圖7為A=5時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，當(dāng)激勵(lì)頻帶處于8.3～12.9范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定解，兩個(gè)解對應(yīng)的兩個(gè)振子間相對運(yùn)動(dòng)相差較大，而對應(yīng)的主結(jié)構(gòu)的兩個(gè)不同振動(dòng)幅值在這一頻帶內(nèi)相差較小。當(dāng)激勵(lì)頻帶處于15.2～16.7范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)僅存在一個(gè)不穩(wěn)定解。在圖中的其余頻帶內(nèi)，系統(tǒng)僅存在一個(gè)穩(wěn)定解，部分頻帶內(nèi)有兩個(gè)不穩(wěn)定解與穩(wěn)定解共存。

如圖7(a)所示，高低兩個(gè)響應(yīng)分支發(fā)生了合并，可參照圖6(a)觀察，然而這種合并并未使減振效果有所改善。當(dāng)激勵(lì)頻帶處于12.9～14.2范圍內(nèi)時(shí)，主結(jié)構(gòu)的振幅較大，強(qiáng)非線性吸振器的減振效果并不明顯，吸振器主要使主結(jié)構(gòu)的共振頻率發(fā)生了變化，如圖7(b)所示。

圖8為A=8時(shí)的系統(tǒng)響應(yīng)，當(dāng)激勵(lì)頻帶處于5.9～10.8范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)存在兩個(gè)穩(wěn)定解，然而這一頻帶并不在共振頻帶內(nèi)，主結(jié)構(gòu)的振幅一直較低。在圖中的其余頻帶內(nèi)，系統(tǒng)僅存在一個(gè)穩(wěn)定解。在該激勵(lì)幅值下，主結(jié)構(gòu)的共振幅值較大，強(qiáng)非線性吸振器基本未顯示減振效果。

通過上述分析可知，強(qiáng)非線性吸振器與主結(jié)構(gòu)間的能量轉(zhuǎn)移隨著激勵(lì)幅值的增加發(fā)生較大變化。激勵(lì)幅值相對較小時(shí)，吸振器減振效果明顯，隨著激勵(lì)的增大，在共振帶內(nèi)出現(xiàn)不穩(wěn)定的強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)，強(qiáng)調(diào)制響應(yīng)有利于能量的轉(zhuǎn)移[1,2]，即有利于減振，但是該響應(yīng)的發(fā)生也標(biāo)志著主結(jié)構(gòu)的高響應(yīng)分支即將出現(xiàn)。繼續(xù)加大激勵(lì)，高響應(yīng)分支出現(xiàn)，其對應(yīng)的頻帶內(nèi)，強(qiáng)非線性吸振器減振效果明顯降低。進(jìn)一步加大激勵(lì)，高響應(yīng)分支將會(huì)與低響應(yīng)分支在局部合并，高響應(yīng)分支對應(yīng)的頻帶變寬。繼續(xù)增加激勵(lì)幅值，高低兩個(gè)響應(yīng)分支幾乎完全合并。

圖6 A=2時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖7 A=5時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖8 A=8時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

通常以線性與非線性振子之間的相對運(yùn)動(dòng)衡量穩(wěn)態(tài)能量轉(zhuǎn)移效能[1]，本文以整個(gè)頻帶內(nèi)兩振子之間的最大相對運(yùn)動(dòng)衡量強(qiáng)非線性吸振器的最大吸能能力。當(dāng)激勵(lì)幅值增大到一定值后，強(qiáng)非線性吸振器對主結(jié)構(gòu)的減振效果明顯降低乃至于失效。圖9 (a)為最大相對運(yùn)動(dòng)隨激勵(lì)幅值的變化情況。當(dāng)激勵(lì)幅值從0.1增加至0.7的過程中，系統(tǒng)在整個(gè)激勵(lì)頻帶內(nèi)均僅存在一個(gè)穩(wěn)定解，其頻率響應(yīng)與圖5相似。兩個(gè)振子的相對運(yùn)動(dòng)隨激勵(lì)幅值的增加而增加，然而，相對運(yùn)動(dòng)的增幅逐漸減小。激勵(lì)幅值從0.8增加至1.2的過程中，系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定解，其頻率響應(yīng)與圖2相似。并且，隨著激勵(lì)幅值的增加，不穩(wěn)定解所對應(yīng)的頻帶逐漸變寬。激勵(lì)幅值從1.3增加至4的過程中，系統(tǒng)在一定頻帶內(nèi)存在兩個(gè)穩(wěn)定解，其頻率響應(yīng)與圖6相似，在圖9中，由高響應(yīng)分支的最大相對運(yùn)動(dòng)反映吸振器的最大吸能能力，低響應(yīng)分支的信息未在圖中給出。隨著激勵(lì)幅值的繼續(xù)增加，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分別與圖7和圖8類似。

圖9 能量轉(zhuǎn)移效能隨激勵(lì)幅值的變化情況

在激勵(lì)幅值由1.3增加至8過程中，線性和非線性振子間的相對運(yùn)動(dòng)逐漸增加，然而，相對運(yùn)動(dòng)的增幅明顯減小。結(jié)合圖7(b)與圖8(b)可知，隨著輸入能量的增加，吸振器無法始終以相同比例消耗能量，導(dǎo)致減振能力逐漸減弱。圖9(b)為圖9(a)的局部放大圖。

本文僅給出了強(qiáng)非線性吸振器在一組參數(shù)下的仿真數(shù)據(jù)，任意改變吸振器參數(shù)，利用方程(6)和矩陣(10)即可獲得相應(yīng)結(jié)果，結(jié)果均與本文結(jié)果在定性上保持一致，鑒于篇幅限制，在此不再一一給出。

4 結(jié)語

利用復(fù)變量平均法研究了單自由度主結(jié)構(gòu)承受不同幅值簡諧激勵(lì)作用時(shí)強(qiáng)非線性吸振器的能量轉(zhuǎn)移效能。給出了能量轉(zhuǎn)移方式和主結(jié)構(gòu)響應(yīng)隨著激勵(lì)幅值的增加而呈現(xiàn)出的演化規(guī)律。當(dāng)激勵(lì)幅值較小時(shí)，吸振器的吸振效果明顯。然而，隨著輸入能量的增加，吸振器無法始終以相同比例消耗能量，導(dǎo)致減振能力逐漸減弱。其中，系統(tǒng)高響應(yīng)分支的出現(xiàn)及其與低響應(yīng)分支的合并是強(qiáng)非線性吸振器失效的主要原因。

本文研究了結(jié)構(gòu)最為簡單的強(qiáng)非線性吸振器，其缺點(diǎn)在大幅激勵(lì)作用下較為明顯，已有文獻(xiàn)中未見有關(guān)于這一方面的系統(tǒng)性研究?？梢詮膬蓚€(gè)方面對這一缺點(diǎn)進(jìn)行彌補(bǔ)，一是使用多個(gè)吸振器對主結(jié)構(gòu)進(jìn)行減振，在吸振器安裝位置合理的前提下，這一方法可以成倍增強(qiáng)對主結(jié)構(gòu)的吸振能力，然而在實(shí)際工程中，這種設(shè)置需要更多的安裝空間并在一定程度上增加額外質(zhì)量。二是改進(jìn)強(qiáng)非線性吸振器結(jié)構(gòu)，如引言所述，一些學(xué)者對強(qiáng)非線性吸振器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，然而，目前的改進(jìn)主要關(guān)注吸振器在特定激勵(lì)下的能量轉(zhuǎn)移效能，關(guān)于消除高響應(yīng)分支的方法非常缺乏。當(dāng)主結(jié)構(gòu)處于大幅不確定載荷作用下時(shí)，提高能量轉(zhuǎn)移效能固然重要，加強(qiáng)能量轉(zhuǎn)移效能的恒定性亦不可忽視。利用非線性控制理論探索消除高響應(yīng)分支的方法，尤其是探索響應(yīng)分支發(fā)生合并后，提高強(qiáng)非線性吸振器效能的方法，是應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步研究的重點(diǎn)。

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Energy Transfer Efficiency of Nonlinear VibrationAbsorbers under Harmonic Excitations

CHEN Jian-en1,LIU Jun1,GE Wei-min1,SUN Min2
(1.Tianjin Key Laboratory of the Design and Intelligent Control of theAdvanced Mechatronical System, Tianjin University of Technology,Tianjin 300384,China; 2.School of Science,Tianjin Chengjian University,Tianjin 300384,China)

The efficiency of energy transfer from a single DOF primary structure subjected to harmonic excitation to a nonlinear vibration absorber is investigated.The slow flow equations of the system are derived by using complexificationaveraging method,and the nonlinear equations which describe the steady-state response are obtained.The resulting equations are verified by comparing the results which respectively obatined from complexification-averaging method and Runge-Kutta method.The energy transfer efficiency and constancy of the absorber are analyzed by using complexificationaveraging method.The results indicate that the frequency responses of the system are quite different under the excitation with different amplitudes.The vibration suppression effect of the absorber is excellent when the excitation amplitude is relatively small.With the increasing of the excitation amplitude,the energy transfer efficiency of the absorber cannot remain constant.The system will yield a lower stable branch and a higher stable branch,and the two branches will get closer and finally merge with the further increase of the excitation amplitude.

vibration and wave;strongly nonlinear vibration absorber;complexification-averaging method;energy transfer;constancy

O322；O328

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.03.005

1006-1355(2017)03-0024-07

2016-12-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11402170，11402165)

陳建恩（1984－），男，山東省菏澤市人，講師，主要研究方向?yàn)榉蔷€性動(dòng)力學(xué)。Email:vchenje@163.com