李 航 何 楓

（北京科技大學 東凌經(jīng)濟管理學院 北京 100083）

一、引言

金融資產(chǎn)波動率的預測是現(xiàn)代金融理論的核心內(nèi)容之一，其估計和預測的準確性對于衍生品定價、風險管理、最優(yōu)投組合選擇等具有重要的意義。由于金融資產(chǎn)內(nèi)部真實的波動率無法準確的觀察到[1]，因此，對于真實波動率的估計和預測吸引了越來越多學者和金融從業(yè)者的研究興趣。在早期關于波動率的研究中，波動率的預測都是基于金融資產(chǎn)的低頻數(shù)據(jù)，但低頻數(shù)據(jù)無法捕捉金融市場稍縱即逝的交易信息的影響。隨著計算機處理和存儲技術的發(fā)展，使得基于高頻數(shù)據(jù)估計金融資產(chǎn)的波動率成為可能。研究發(fā)現(xiàn)，相對于低頻數(shù)據(jù)，高頻數(shù)據(jù)能夠迅速高效地捕捉交易信息，顯著地提高波動率估計和預測的效率?；诖?，Andersen和Bollerslev[2]提出了已實現(xiàn)波動率的概念，并指出相對于低頻波動率而言，已實現(xiàn)波動率能夠顯著降低波動率估計過程中存在的誤差和噪聲。雖然，在實踐過程中金融資產(chǎn)的價格由于報價機制等因素的影響并不是連續(xù)變化的，但 Mentro[3]、Andersen 等[4]、Barndorff-Nielsen[5]從理論方面證實了已實現(xiàn)波動率的極限在一定條件下為積分波動率，進而指出基于日內(nèi)離散數(shù)據(jù)計算的已實現(xiàn)波動率是真實波動率的無偏一致估計。理論上而言，隨著所選交易數(shù)據(jù)頻率的提高，所估計的已實現(xiàn)波動率將越接近于真實波動率。但大量文獻研究指出，由于買賣報價差、不同步交易、流動性效應及閉市效應等因素的存在導致高頻數(shù)據(jù)受到微觀結構噪聲和季節(jié)效應的影響，進而導致日內(nèi)高頻收益率之間存在自相關。且研究發(fā)現(xiàn)，隨著交易數(shù)據(jù)抽樣頻率的提高，微觀結構噪聲和季節(jié)效應導致觀測到的價格對資產(chǎn)真實價格的偏離也就越大，進而導致基于高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)波動率成為真實波動率的有偏估計[6-9]。因此，在實證分析確定數(shù)據(jù)頻率時，需要綜合考慮數(shù)據(jù)信息的利用和規(guī)避上述影響因素影響之間的平衡。Andersen和Bollerslev[2]建議采用5分鐘頻率來進行已實現(xiàn)波動率的計算。除此之外，在現(xiàn)有關于中國股市波動率的研究中，大都以特定股指的現(xiàn)貨數(shù)據(jù)進行研究，如以上證綜指[10，11]、滬深300指數(shù)[12]等高頻數(shù)據(jù)為例對中國市場的波動率預測模型進行研究。隨著中國股指期貨的上市，越來越多的學者開始關注股指期貨的波動率與股指現(xiàn)貨波動率的關系[13-14]?，F(xiàn)有研究發(fā)現(xiàn)，股指現(xiàn)貨和期貨之間存在波動性趨同的特征[15]，因此，本文分別基于股指現(xiàn)貨和期貨高頻數(shù)據(jù)構建滬深300指數(shù)的波動率預測模型，并對高頻數(shù)據(jù)中的微觀結構噪聲和季節(jié)效應進行相應處理。

在預測模型建模方面，國內(nèi)外學者研究發(fā)現(xiàn)，不論是在相對成熟的資本市場還是在新興市場，其金融資產(chǎn)的已實現(xiàn)波動率都普遍存在長記憶性的特征[16-18]。Barkoulas和Baum[19]首先提出了長記憶性的ARFIMA模型，并用其對歐元的收益率進行實證研究。研究發(fā)現(xiàn)，ARFIMA模型顯著的提高了預測的準確性。Bhardwaj和Swanson[20]對AR、MA、GARCH、ARMA和ARFIMA模型的預測能力進行了比較研究。研究發(fā)現(xiàn)，相對于短記憶模型而言，自相關系數(shù)呈現(xiàn)雙曲線型衰減的ARFIMA模型可以有效地捕捉波動率的長記憶性特征，顯著提高樣本外預測的準確性。Andersen等[21]進一步對多種長記憶性模型的預測精度進行對比分析，研究發(fā)現(xiàn)ARFIMA的預測效果好于FIGARCH、FIEGARCH等長記憶模型。Kanellopoulou和Panas[22]對模型的設定進行了研究，指出ARFIMA模型預測的準確性取決于其波動率序列服從正態(tài)分布且擾動項不存在條件異方差的前提假定，否則預測結果將是不精確的。但國內(nèi)外大量實證文獻發(fā)現(xiàn)[23，24]，基于已實現(xiàn)波動率構造的ARFIMA模型，其波動率分布和擾動項普遍違反了上述假定。對此，有學者指出相對于已實現(xiàn)波動率，已實現(xiàn)波動率的對數(shù)更加近似于正態(tài)分布，且能在很大程度上減輕擾動項的異方差性[4]。本文通過實證研究發(fā)現(xiàn)，對數(shù)化已實現(xiàn)波動率雖然更加接近正態(tài)分布，但仍然在各種顯著性水平下拒絕正態(tài)分布的假定。因此，本文基于ARFIMA模型對對數(shù)化已實現(xiàn)波動率采用8種不同的分布形式進行擬合，并對模型的擾動項進行GARCH族建模來消除條件異方差性的影響。最后，在模型預測及精度檢驗方面，國內(nèi)外學者普遍采用損失函數(shù)法來對不同模型的預測精度進行估計。然而，利用單一損失函數(shù)來評價模型的預測能力所得出的結論無法推廣到其他損失函數(shù)或數(shù)據(jù)中去。對此，Hansen和Lunde[25]在Bootstrap基礎上提出了SPA檢驗的方法。研究發(fā)現(xiàn)SPA檢驗比損失函數(shù)法具有更加優(yōu)異的模型判別能力，從而給出更加穩(wěn)健的結論。但是，SPA檢驗需要首先設定基準模型，然后逐個比較基準模型與剩余模型的優(yōu)劣。當需要比較的模型較多時，該方法不但操作繁瑣，而且每次得到的結果只能說明該基準模型與其他模型的優(yōu)劣。為此，Hansen、Lunde和Nason[26]進一步在SPA的基礎上進行改進并提出模型信度檢驗（MCS），該方法以整個模型集合為基礎，直接對集合中模型的預測能力進行比較。通過運用滾動時間窗的樣本外預測技術和MCS檢驗，本文在6種損失函數(shù)下對所構造的8種波動率模型的預測精度進行對比分析。

二、波動率測度方法及其計量模型

（一） 對數(shù)化已實現(xiàn)波動率的測度

Andersen和Bollerslev[2]研究發(fā)現(xiàn)僅使用日度收益率平方計算的波動率中存在著嚴重的測量誤差和噪聲，而利用高頻數(shù)據(jù)日內(nèi)收益率平方和計算的已實現(xiàn)波動率則可以有效地降低這些測量誤差和噪聲。除此之外，國內(nèi)外學者還研究發(fā)現(xiàn)，在對已實現(xiàn)波動率取對數(shù)后，其波動特征更加符合正態(tài)分布且能夠在很大程度上減輕條件異方差性。因此，本文在構造已實現(xiàn)波動率的基礎上，進一步對其進行對數(shù)化處理。

根據(jù)Andersen和Bollerslev[2]的定義，已實現(xiàn)波動率為日內(nèi)收益率的平方和，其計算公式如下所示：

式中，pt，d表示第t個交易日內(nèi)第d個5分鐘價格的觀測值（d=1，2，...，D），D為日內(nèi)收益率的總個數(shù)。Rt，d表示第t個交易日內(nèi)第d個日內(nèi)收益率，RVt表示第t個交易日已實現(xiàn)波動率。

Taylor和 Xu[27]、Guilbaud 和 Pham[28]、Filimonov和Sornette[29]研究發(fā)現(xiàn)，高頻數(shù)據(jù)中存在季節(jié)效應，并且其會對已實現(xiàn)波動率估計的準確性產(chǎn)生影響。對此，本文采用Taylor和Xu[27]的方法，通過引入季節(jié)乘數(shù)對已實現(xiàn)波動率中的季節(jié)效應進行處理。本文在季節(jié)乘數(shù)的計算過程中使用了1分鐘頻率的交易數(shù)據(jù)，其計算方式如下：

式中，Sd表示第d個5分鐘觀測值的季節(jié)乘數(shù)，表示第t個交易日內(nèi)第i個1分鐘收益率的平方。通過季節(jié)乘數(shù)我們可以進一步求得經(jīng)過季節(jié)因素調(diào)整后的日內(nèi)收益率：

參照Hansen和Lunde[30]的做法，本文對已實現(xiàn)波動率中的微觀結構噪聲進行了處理，具體操作方式如下所示：

式中，q是非負整數(shù)且其不大于 。

最后，對已實現(xiàn)波動率進行對數(shù)化處理，得到對數(shù)化已實現(xiàn)波動率lnRVt。

表1中列出了本文基于股指現(xiàn)貨和期貨高頻數(shù)據(jù)所構建的對數(shù)化已實現(xiàn)波動率。lnRVsi和lnRVf i（i=1，2，3，4）分別表示基于滬深300股指現(xiàn)貨和期貨數(shù)據(jù)構建的對數(shù)化已實現(xiàn)波動率。lnRVs1和lnRVf1是沒有經(jīng)過任何調(diào)整的對數(shù)化已實現(xiàn)波動率，lnRVs2和lnRVf2是對季節(jié)效應進行調(diào)整的對數(shù)化已實現(xiàn)波動率，lnRVs3和lnRVf3是對微觀結構噪音進行調(diào)整的對數(shù)化已實現(xiàn)波動率，lnRVs4和lnRVf4是對上述兩種影響因素都進行處理的對數(shù)化已實現(xiàn)波動率。

表1 對數(shù)化已實現(xiàn)波動率

（二） ARFIMA模型

在模型設定方面，Andersen等[4]發(fā)現(xiàn)，對數(shù)化已實現(xiàn)波動率的波動特征可以通過高斯動力學過程來描述，且該波動率表現(xiàn)出顯著的長記憶性特征。因此，他們建議使用ARFIMA模型來描述對數(shù)化已實現(xiàn)波動率的上述特征。本文采用ARFIMA模型作為基礎模型來對對數(shù)化已實現(xiàn)波動率進行擬合，其基本形式如下：

式中，L為滯后算子，φ（L）和θ（L）分別為自回歸滯后算子和移動平均滯后算子，μ是lnRV的均值，εt為白噪聲。（1-L）d為分數(shù)差分算子，用來刻畫模型的長記憶性，其計算方式如下：

Kanellopoulou和Panas[22]對ARFIMA模型的設定進行了研究，指出ARFIMA模型預測的準確性取決于其波動率序列服從正態(tài)分布且擾動項不存在條件異方差的前提假定。但是大量實證研究，不論是在相對成熟的資本市場還是新興的資本市場，金融資產(chǎn)的波動率都是不符合正態(tài)分布且模型的擾動項存在條件異方差性。雖然有學者進一步指出，已實現(xiàn)波動率的對數(shù)形式近似服從正態(tài)分布且能在很大程度上減輕條件異方差性，但是本文實證研究表明對數(shù)化已實現(xiàn)波動率仍在各種標準的顯著性水平下拒絕正態(tài)分布的假定。對此，本文從兩方面入手對上述問題進行處理。一方面，本文除對對數(shù)化已實現(xiàn)波動率lnRV采用正態(tài)分布（norm）進行擬合外，還額外采用了7種分布形式進行擬合，分別為：有偏正態(tài)分布（snorm）、學生t分布(std)、有偏學生t分布（sstd）、廣義誤差分布（ged）、有偏廣義誤差分布（sged）、廣義雙曲線分布（ghyp）以及JSU分布（jsu）。另一方面，本文在基于ARFIMA模型的基礎上，采用GARCH族模型對擾動項的條件異方差進行建模，從而消除模型的條件異方差性。

為保證模型設定的客觀性，本文根據(jù)AIC、BIC、HIC等信息準則及模型“簡約性”的要求，對基于8種波動率的最優(yōu)預測模型進行設定（LM1-LM8），如表2所示。同時，由于ARFIMA模型著重刻畫的是波動的長記憶性，基于穩(wěn)健性的考慮，本文同時基于具有短記憶性的ARMA模型構造了8種短記憶模型SM1-SM8進行實證分析，其構造方法與長記憶模型相同。

表2 基于ARFIMA的預測模型

三、波動率預測及MCS檢驗

（一） 波動率預測方法

本文采用向前一步的滾動時間窗樣本外預測技術對上文所構建的8個波動率模型進行樣本外預測，其具體操作方法如下：首先，我們將數(shù)據(jù)樣本總體（t=1，2，…，T）劃分為估計樣本（t=1，2，…，H）和預測樣本（t=H+1，H+2，…，N）兩個部分。其次，我們通過估計樣本對上文所構建的8個波動率模型分別進行第一次參數(shù)估計，并在此基礎上運用遞推法獲得第H+1天的波動率預測值 。再次，構建新的估計樣本（t=2，3，…，H+1）對上文所構建的模型重新進行參數(shù)估計，同時獲得第H+2天的波動率預測值 。重復該步驟T-H次，可以分別得到8個波動率預測模型第H+1天至第T天的波動率預測值 （t=H+1，H+2，…，T）。

（二） 模型信度檢驗(MCS)

在對模型的預測精度進行檢驗時，國內(nèi)外學者普遍采用損失函數(shù)的方法來衡量波動率預測值與實際值的偏差大小。但是采用何種損失函數(shù)作為衡量標準，學術界尚無定論。因此，Hansen和Lunde[25]建議采用盡可能多的損失函數(shù)作為衡量標準以確保模型預測精度檢驗結果的穩(wěn)健性?；诖?，本文在對8種波動率預測模型進行分析比較時，采用如下6中損失函數(shù)作為預測精度的評判標準。

但需要注意的是，Hansen和Lunde[25]指出采用一種損失函數(shù)得出的結論，只能說明在該樣本中，某一模型比其他模型的預測精度要高。但是該結論并不能推廣到其他樣本或損失函數(shù)中，因此不能得出穩(wěn)健的結論。對此，Hansen等[26]在SPA檢驗的基礎上，進一步提出了模型信度檢驗（MCS）的方法來解決這一問題。

在利用MCS進行檢驗之前，我們需要首先獲得各模型之間的相對損失函數(shù)值dl，uv，t，其計算方法如下：

式中，Ll，u，t 是模型u在第t天利用損失函數(shù)l所求得的損失函數(shù)值。dl，uv，t是模型u、v在第t天在損失函數(shù)l下所求得的相對損失函數(shù)值（l=1，2，...，6；u，v ∈ M； t=H+1，H+2，...，T），M是所有模型的集合。

MCS檢驗的基本原理是，首先假定各模型具有相同的預測精度，然后根據(jù)等價檢驗和剔除準則在一定的顯著性水平下剔除預測精度較差的模型，從而構建最優(yōu)預測模型集合。其具體操作步驟如下：第一步，定義高級對象集合M*，本文初始M*中包含了本文所構建的8種波動率預測模型。第二步，根據(jù)模型具有相同預測能力的假定，給出MCS檢驗的原假設：H0∶E ( dl,uv,t)= 0 。第三步，在給定的置信水平α下，利用MCS統(tǒng)計量對M*中的模型進行兩兩檢驗。本文所選用的MCS統(tǒng)計量為Hansen等（2011）提出的范圍統(tǒng)計量TR和半二次方統(tǒng)計量TSQ，其定義如下：

其中。需要注意的是，式中的漸近分布嚴重依賴于“厭惡參數(shù)”，導致、真實分布非常復雜。但Hansen和Lunde研究發(fā)現(xiàn)，TR及TSQ其對應p值可以通過自舉法（Bootstrap）求得。

當和統(tǒng)計量所對應的p值大于置信水平時，則表明接受原假設；反之，則拒絕原假設，此時需要使用剔除規(guī)則將預測能力較差的模型從高級對象集合中剔除。對應于MCS統(tǒng)計量TR和TSQ的剔除規(guī)則ER和ESQ分別為：

不斷重復第三步，直到?jīng)]有模型再從M*中被剔除為止。對于特定的模型而言，該模型屬于M*的充要條件為其MCS統(tǒng)計量的p值大于α，且p值越大說明該模型的預測精度越高。

四、實證結果

（一） 數(shù)據(jù)樣本說明及統(tǒng)計描述

本文選取2012年12月18日至2017年4月28日滬深300股指現(xiàn)貨和期貨5分鐘交易數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于WIND數(shù)據(jù)庫。對于期貨數(shù)據(jù)而言，本文選取了滬深300股指期貨主力合約作為研究樣本。本文所選取的數(shù)據(jù)區(qū)間中包含了中國股票市場谷底到谷底的一個完整的周期，因此作為波動率的研究樣本具有較好的代表性。表3中給出了本文所構建的8個已實現(xiàn)波動率序列的描述性統(tǒng)計。

表3 對數(shù)化已實現(xiàn)波動率lnRV序列的描述性統(tǒng)計

從表3可以看出，雖然我們對已實現(xiàn)波動率進行了對數(shù)化的調(diào)整，但本文所計算的所有8個對數(shù)化已實現(xiàn)波動率序列都表現(xiàn)出尖峰厚尾的特征，且其Jarque-Bera檢驗顯著地拒絕了對數(shù)化已實現(xiàn)波動率符合正態(tài)分布的假設，這與Kotkatvuori-?rnberg[15]的研究相符。除此之外，所有8個波動率序列都具有嚴重的自相關性，表現(xiàn)在滯后5期、10期和20期的自相關系數(shù)都在1%的顯著性水平下顯著。同時，本文還利用了重標極差法(R/S)對8個對數(shù)化已實現(xiàn)波動率序列的長記憶性進行分析，其Hurst指數(shù)值都大于0.5且小于1，這表明本文所構建的8個波動率數(shù)據(jù)都具有顯著的長記憶性且選擇使用長記憶性的ARFIMA模型是合適的。此外，所有波動率序列都通過了ADF檢驗，表明序列是平穩(wěn)的，可以直接進行實證分析。

（二） 基于對數(shù)化已實現(xiàn)波動率的預測精度檢驗

為了獲得MCS統(tǒng)計量及其對應的p值，我們設定了模擬次數(shù)B=1000和塊長度d=2作為bootstrap過程的控制參數(shù)。參照Hansen和Lund[26]、魏宇等[11]的做法，本文設定置信水平α=0.1，這意味著如果某一模型MCS統(tǒng)計量的p值小于0.1，那么它將會被從高級模型集合中剔除，反之將會保留。表4中給出了ARFIMA模型的MCS檢驗結果。其中，第一列列示的是8種波動率預測模型，第一行為6種損失函數(shù)，表中數(shù)值表示的是對應模型MCS統(tǒng)計量的p值。數(shù)值大于0.1的p值都使用下劃線和加粗方式在表4中予以表示，表明該模型在該損失函數(shù)下幸存了下來。p值越大，則表明預測模型越準確。

從表4中，我們可以得出如下結論：（1）綜合比較前四個預測模型和后四個預測模型，我們可以發(fā)現(xiàn)基于現(xiàn)貨數(shù)據(jù)的波動率預測模型比基于期貨數(shù)據(jù)的模型在預測精度方面表現(xiàn)的要好。這可能是出于以下兩方面的原因：一方面，和其他金融衍生工具一樣，股指期貨能夠對沖風險的同時，也具有高杠桿性、高投機性和高波動性的特點，其風險程度遠大于股票現(xiàn)貨市場[31]。另一方面，相對于中國股票市場長達30年的發(fā)展歷史，中國股指期貨上市至今僅有6年時間，尚處于起步階段。為了防止股指期貨出現(xiàn)過度投機現(xiàn)象，中國證監(jiān)會和中金所在股指期貨的投資者結構、持倉限額以及保證金比例等方面設置了嚴格的限制。因此，雖然近年來滬深300股指期貨已經(jīng)成為全球交易最為活躍的合約之一，但是其在信息傳遞方面的表現(xiàn)仍遜于相對成熟的股票市場[32]。

表4 基于ARFIMA模型的MCS檢驗結果

（2）本文在構建對數(shù)化已實現(xiàn)波動率的過程中考慮了高頻數(shù)據(jù)中微觀結構噪聲和季節(jié)效應對波動率準確性的影響。在基于現(xiàn)貨數(shù)據(jù)的構建的預測模型中，我們可以發(fā)現(xiàn)我們可以發(fā)現(xiàn)LM2的預測精度要高于LM1，這說明季節(jié)效應確實存在于高頻數(shù)據(jù)中且能夠影響預測的準確性。然而，LM3的表現(xiàn)卻不及LM1，但這并不意味著微觀結構效應不存在，而僅能說明微觀結構效應不夠顯著。這是因為，當我們同時對季節(jié)效應和微觀結構效應進行調(diào)整后，實證結果表明LM4在四種基于現(xiàn)貨數(shù)據(jù)構造的波動率中具有最高的預測精度。但是，當我們轉向基于期貨數(shù)據(jù)構造的波動率時，我們發(fā)現(xiàn)僅有LM5在6種損失函數(shù)中幸存，其余三種波動率幸存度都不高。這表明在期貨高頻數(shù)據(jù)中微觀結構噪聲和季節(jié)效應的影響都不是很顯著。

（3）出于實證結果穩(wěn)健性的考慮，本文采用短記憶性的ARMA模型代替著重刻畫長記憶特征的ARFIMA模型重新構造了8個波動率預測模型并進行實證分析，分析結果見表5。從表5中可以看出，基于短記憶模型得出的實證結果與基于長記憶性模型得出的結果基本相同。而且，綜合分析表4和表5的實證結果，我們還可以發(fā)現(xiàn)基于波動率lnRVs4的現(xiàn)貨預測模型不論在長記憶模型LM4還是短記憶模型SM4中都具有最佳的預測精度。

表5 基于ARMA模型的MCS檢驗結果

五、結論

本文利用滬深300股指現(xiàn)貨和期貨5分鐘數(shù)據(jù)來對其真實波動率進行刻畫和預測。在預測模型建模過程中，考慮到波動率不符合正態(tài)分布且擾動項存在條件異方差的事實，本文在基于具有長記憶性的ARFIMA模型對對數(shù)化已實現(xiàn)波動率進行擬合的基礎上，對波動率分別設定8種不同的分布形式并對擾動項進行GARCH族建模。在預測精度檢驗方面，本文采用向前一步的滾動時間窗口樣本外預測技術進行預測，并使用MCS檢驗對不同模型的預測精度進行比較。最后，為了穩(wěn)健性起見，我們使用ARMA模型進行重新建模和實證分析，實證結果與ARFIMA模型的實證結果相似。本文主要的實證結果顯示：（1）與基于期貨數(shù)據(jù)構造的波動率預測模型相比，基于現(xiàn)貨數(shù)據(jù)構造的模型具有更佳的預測精度。（2）在本文所構建的8種波動率預測模型中，基于現(xiàn)貨數(shù)據(jù)構建的且波動率同時對微觀結構噪聲和季節(jié)效應進行調(diào)整的預測模型在長記憶和短記憶模型中的預測精度都是最優(yōu)的。

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