吳長征,劉殿富,岳 義，3,韋寶琛

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109; 3.上海航天設(shè)備制造總廠,上海 200245)

?

空間雙臂機(jī)器人運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)分析與建模研究

吳長征1,劉殿富2,岳 義1，3,韋寶琛1

(1.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240; 2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所,上海 201109; 3.上海航天設(shè)備制造總廠,上海 200245)

針對空間雙臂機(jī)器人運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)建模，對失重狀態(tài)下空間機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)分析與建模進(jìn)行了研究。給出了雙臂機(jī)器人左右臂的DH坐標(biāo)及參數(shù)，建立了正運(yùn)動學(xué)的計(jì)算公式，基于臂形角的方法，給出了更高效的空間機(jī)器人冗余單臂的解析形式逆解求解方法。分析了空間雙臂機(jī)器人全部工作狀態(tài)，引入二元判定系數(shù)歸納得到了雙臂獨(dú)立運(yùn)動、雙臂協(xié)同操作、閉鏈本體漂浮、開鏈本體漂浮4種四種機(jī)器人工作狀態(tài)，并基于拉格朗日方程得到了4種不同工作狀態(tài)下的動力學(xué)模型。通過對空間雙臂機(jī)器人運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)進(jìn)行分析與建模，為空間雙臂機(jī)器人的設(shè)計(jì)與研究提供理論基礎(chǔ)。

空間雙臂機(jī)器人； 冗余； 解析形式； 逆運(yùn)動學(xué)； 動力學(xué)； 失重； 建模； 判定系數(shù)

0 引言

空間機(jī)器人在在軌維護(hù)(如失效衛(wèi)星捕捉、故障衛(wèi)星修復(fù))，代替航天員在危險(xiǎn)復(fù)雜的太空環(huán)境中進(jìn)行艙外作業(yè)、完成空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)，以及空間站的建設(shè)與維護(hù)等方面發(fā)揮了重要作用[1-2]。雙臂機(jī)器人的協(xié)作性能優(yōu)良。但同時(shí)協(xié)作性能使其運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)具更強(qiáng)的耦合性和非線性。強(qiáng)耦合性和非線性導(dǎo)致其運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)模型更復(fù)雜。空間機(jī)器人的構(gòu)型從最早期的單臂機(jī)器人Canadarm逐步發(fā)展到Dextre，Robonaut2等雙臂機(jī)器人，從而提高協(xié)作性能[3-5]。7自由度冗余機(jī)械臂因其避障、避關(guān)節(jié)極限、避關(guān)節(jié)奇異、最小化關(guān)節(jié)力矩、改善機(jī)械臂可操作度等的優(yōu)勢，成為雙臂機(jī)器人臂型中最常用的類型[6-10]。

運(yùn)動學(xué)逆解是運(yùn)動學(xué)分析的重要內(nèi)容，也是運(yùn)動規(guī)劃及控制的基礎(chǔ)。針對冗余機(jī)械臂的運(yùn)動學(xué)逆解解法進(jìn)行了大量研究，但多是基于偽逆的方法，如加權(quán)雅可比、阻尼最小二乘法、梯度下降法等[7,11-12]。這些方法均是數(shù)值解法，且部分還加入了優(yōu)化指標(biāo)?；趥文娴慕夥茚槍Σ煌牟僮魅蝿?wù)或操作指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，但求解效率及速度較低。文獻(xiàn)[13]提出了臂形角解法，引入臂形角約束獲得解析形式的逆解。解析型的解法則能極快得到解，但使機(jī)械臂失去了很多特性，如靈活性等?？臻g機(jī)器人工作時(shí)處于失重狀態(tài)，對機(jī)器人的動力學(xué)控制則需重新建立在失重環(huán)境中的動力學(xué)方程。建立動力學(xué)模型方法有拉格朗日方程、牛頓歐拉法、凱恩方程等[14]。拉格朗日法，只從能量的角度出發(fā)，通過對廣義坐標(biāo)求導(dǎo)得到系統(tǒng)的廣義力；牛頓歐拉法通過分析每根桿件的受力情況建立迭代形式的動力學(xué)方程，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。上述方法，同樣適于空間機(jī)器人的動力學(xué)建模。針對特定自由漂浮狀態(tài)下的無根空間機(jī)器人系統(tǒng)，有虛擬機(jī)械臂、虛擬地面法、動力學(xué)等效法等[15]。本文針對基于偽逆的求解方法效率不高的問題，結(jié)合臂形角給出了空間雙臂機(jī)器人逆運(yùn)動學(xué)解析形式求解方法，引入二元判定系數(shù)，將機(jī)器人的工作狀態(tài)歸納表示為4種不同工作狀態(tài)，針對4種工作狀態(tài)，基于拉格朗日方程建立對應(yīng)強(qiáng)耦合、非線性工作的空間雙臂機(jī)器人動力學(xué)模型，為空間雙臂機(jī)器人的設(shè)計(jì)與研究提供理論基礎(chǔ)。

1 空間雙臂機(jī)器人結(jié)構(gòu)及參數(shù)

1.1 雙臂機(jī)器人虛擬樣機(jī)及組成結(jié)構(gòu)

本文結(jié)合我國空間站的建造及維護(hù)規(guī)劃，研究了一種空間雙臂機(jī)器人。該機(jī)器人由1個(gè)工具箱本體和2個(gè)DLR型7自由度單臂構(gòu)成。工具箱用于存儲不同操作任務(wù)下的機(jī)器人末端工具，同時(shí)該工具箱基座通過雙臂的配合能運(yùn)動到不同的工位進(jìn)行定位。該機(jī)器人能用于空間站的建造及維護(hù)，也可代替航天員進(jìn)行危險(xiǎn)的艙外作業(yè)，以及配合科學(xué)家完成空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)?？臻g雙臂機(jī)器人的虛擬樣機(jī)如圖1所示。

圖1 空間雙臂機(jī)器人虛擬樣機(jī)Fig.1 Virtual prototyping of dual-arm space robot

1.2 空間雙臂機(jī)器人DH參數(shù)

為便于分析雙臂機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)，根據(jù)DH坐標(biāo)系的建立方法，建立空間雙臂機(jī)器人的各坐標(biāo)系如圖2所示[16]。圖2中：∑i為右臂坐標(biāo)系i；∑i′為左臂坐標(biāo)系i′；∑b為基坐標(biāo)系。

由圖2可知：雙臂機(jī)器人左右單臂的DH參數(shù)相同，參數(shù)見表1。表1中：ai為∑i-1與∑i的原點(diǎn)間沿xi軸距離；αi為zi-1軸與zi軸繞xi軸間的夾角；θi為xi-1軸與xi軸繞zi-1軸間的夾角；di為∑i-1與∑i的原點(diǎn)間沿zi-1軸距離。

表1 雙臂機(jī)器人DH參數(shù)

2 空間雙臂機(jī)器人運(yùn)動學(xué)

2.1 空間雙臂機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)

圖2 雙臂機(jī)器人DH坐標(biāo)系Fig.2 DH coordinates of dual-arm space robot

rot(Xi,αi)·tran(ai,0,0)=

(1)

式中：rot(Zi-1,θi)為繞Zi-1軸旋轉(zhuǎn)θi；tran(0,0,di)為沿Zi-1軸移動距離di；rot(Xi,αi)為繞Xi軸旋轉(zhuǎn)αi；tran(ai,0,0)為繞Xi軸移動距離ai。由上述定義，可得相鄰兩坐標(biāo)系齊次變換關(guān)系為

[Xi-1Yi-1Zi-11]T

(2)

則0標(biāo)系至7系的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為

(3)

[X0Y0Z01]

(4)

2.2 冗余機(jī)械臂逆解解法

2.2.1 臂形角定義

在笛卡爾空間中表征一個(gè)物體的位姿需要參數(shù)6個(gè)，而上述機(jī)械臂有7個(gè)輸入的冗余機(jī)械臂。單臂的前三個(gè)關(guān)節(jié)、后三個(gè)關(guān)節(jié)相互正交，如圖3所示，該機(jī)械臂單臂可等效為S-R-S構(gòu)型，分別構(gòu)成肩關(guān)節(jié)、肘關(guān)節(jié)和腕關(guān)節(jié)。因具冗余特性，對末端同一位姿，機(jī)械臂有無窮多組輸入組合能滿足，亦即機(jī)械臂存在自運(yùn)動。

圖3 機(jī)械臂等效S-R-S構(gòu)型Fig.3 Equivalent configuration S-R-S of manipulator

為得到唯一的機(jī)械臂逆解，引入臂形角約束[13]。機(jī)械臂臂形角定義如圖4所示。圖4中：肩部三關(guān)節(jié)軸線相交于點(diǎn)S；腕部三關(guān)節(jié)相交于點(diǎn)W；點(diǎn)E為第四關(guān)節(jié)坐標(biāo)系的原點(diǎn)；v為第一關(guān)節(jié)的軸線矢量。S，E，W三點(diǎn)構(gòu)成臂型面，v與SW構(gòu)成參考平面，ψ為臂型面與參考面間的夾角。

圖4 臂形角定義Fig.4 Definition of arm-angle

2.2.2 肘關(guān)節(jié)角求解

根據(jù)串聯(lián)機(jī)械臂正運(yùn)動學(xué)，末端工具坐標(biāo)系位姿在0系中可表示為

(5)

(6)

式中：iRj為i系姿態(tài)至j系中姿態(tài)的旋轉(zhuǎn)矩陣；0l0s,3lse,4lew,7lwt為常值向量，且

(7)

(8)

(9)

(10)

此處：d0s為0系原點(diǎn)與點(diǎn)S的距離；dse為點(diǎn)S，E的距離；dew為點(diǎn)E，W的距離；dwt為點(diǎn)W至工具坐標(biāo)系(即7系)原點(diǎn)的距離。

(11)

則SW在0系中可表示為

0xsw=0x7-0lbs-0R77lwt=0R3(3lse+3R44lew)

(12)

假設(shè)機(jī)械臂末端的位置與姿態(tài)固定時(shí)，則SW亦固定，即0xsw固定。因此，對任意固定的末端位姿，此種S-R-S構(gòu)型的冗余機(jī)械臂的自運(yùn)動不改變腕關(guān)節(jié)交點(diǎn)W的位置，腕關(guān)節(jié)的姿態(tài)在基坐標(biāo)系中的表示則取決于繞SW軸的旋轉(zhuǎn)角度，即腕部的姿態(tài)取決于臂形角ψ。繞SW軸的旋轉(zhuǎn)可表示為按任意軸旋轉(zhuǎn)變換矩陣

0Rψ=I3+ sinψ[(0usw)×]+

(1-cosψ)[(0usw)×]2

(13)

式中：I3為三階單位陣；0usw為與0xsw對應(yīng)的單位向量；符號“×”表示反對稱陣。則可得

(14)

由圖3可知：當(dāng)末端的位姿固定時(shí)，肘部的關(guān)節(jié)角亦是固定的。此結(jié)論可通過計(jì)算式(12)的歐式范數(shù)驗(yàn)證，即

(15)

(16)

(17)

將式(16)代入式(5)、(6)，用臂形角表述的運(yùn)動學(xué)方程可寫成

(18)

(19)

(20)

式中：

(21)

2.2.3 肩關(guān)節(jié)及腕關(guān)節(jié)角求解

由于肩關(guān)節(jié)角依賴于臂形角，先計(jì)算出臂形角為零時(shí)的參考關(guān)節(jié)角。如上所述，參考關(guān)節(jié)角可由固定關(guān)節(jié)三的關(guān)節(jié)角為0求解，且參考關(guān)節(jié)角需滿足

(22)

(23)

當(dāng)臂形角為0時(shí)，可得轉(zhuǎn)移矩陣

(24)

解得

(25)

得到臂形角為0時(shí)的第二個(gè)關(guān)節(jié)角

0xsw(3))

(26)

第一個(gè)關(guān)節(jié)角

(27)

(28)

則有

(29)

將式(13)代入式(17)，可得

(30)

式中：

(31)

由于已知旋轉(zhuǎn)矩陣

0R3=

(32)

式中：

根據(jù)式(30)、(32)對應(yīng)元素相等，可得

(33)

(34)

(35)

式中：aSij,bSij,cSij分別為AS，BS，CS中的(i，j)元素。

同理，將式(13)代入式(19)，可得

(36)

式中：

(37)

由于已知旋轉(zhuǎn)矩陣

(38)

式中：

根據(jù)式(36)、(38)對應(yīng)元素相等，可得

(39)

(40)

(41)

式(20)、(33)～(35)、(39)～(41)給出了冗余機(jī)械臂的求解計(jì)算公式。當(dāng)給定空間雙臂機(jī)器人機(jī)械臂末端的位姿時(shí)，便能求解得到各關(guān)節(jié)需到達(dá)的關(guān)節(jié)角。

3 空間雙臂機(jī)器人動力學(xué)

3.1 動力學(xué)建?；A(chǔ)

關(guān)于動力學(xué)模型的建立方法有拉格朗日方程、牛頓歐拉法、凱恩方程等[14]。拉格朗日法從能量的角度出發(fā)，通過對廣義坐標(biāo)求導(dǎo)得到系統(tǒng)的廣義力；牛頓歐拉法通過分析每根桿件的受力狀況建立迭代形式的動力學(xué)方程，易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。雙臂機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)操作時(shí)固聯(lián)于空間站上，因雙臂機(jī)器人的質(zhì)量相對空間站可忽略不計(jì)，故忽略機(jī)器人與空間站的耦合作用，則文獻(xiàn)[15]的角動量守恒方法不適于本文空間雙臂機(jī)器人的建模。機(jī)器人單臂為串聯(lián)結(jié)構(gòu)，采用拉格朗日方程更易于重新建立空間雙臂機(jī)器人的動力學(xué)模型。

拉格朗日方程為

(42)

式中：Ek，Ep，qi，F(xiàn)i分別為系統(tǒng)的動能、勢能、廣義坐標(biāo)和廣義力。

機(jī)器人所處的環(huán)境失重，Ep項(xiàng)為0，拉格朗日方程式(42)可改寫為

(43)

由式(43)可知：對雙臂機(jī)器人的動力學(xué)分析只需求出整機(jī)系統(tǒng)的動能，再對廣義坐標(biāo)求導(dǎo)就可得系統(tǒng)所受的廣義力。

求解中，建立坐標(biāo)系并取廣義坐標(biāo)qr(i),ql(j)，其中1≤i≤n,1≤j≤m。令qr(i)為右臂第i關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度，ql(j)為左臂第j關(guān)節(jié)的關(guān)節(jié)角度；ωbase,ωtar分別為基座和目標(biāo)操作物的角速度；mr(i)為右臂第i桿的質(zhì)量，ml(j)為左臂第j桿的質(zhì)量；mbase,mtar分別為基座和目標(biāo)操作物的質(zhì)量；Ir(i)為右臂第i關(guān)節(jié)的慣性張量，Il(j)為左臂第j關(guān)節(jié)的慣性張量；Ibase,Itar分別為基座和目標(biāo)操作物的慣性張量。取左、右臂桿件質(zhì)心的笛卡爾坐標(biāo)分別為(xr(i),yr(i),zr(i))，(xl(i),yl(i),zl(i))；取基座和目標(biāo)操作物質(zhì)心的笛卡爾坐標(biāo)分別為(xbase,ybase,zbase)，(xtar,ytar,ztar)。

空間雙臂機(jī)器人系統(tǒng)的總動能為左臂、右臂、基座，以及目標(biāo)操作物的動能之和，即

(44)

式中：η1，η2為二元判定參數(shù)，取值為0或1。此處：右臂、左臂、基座和目標(biāo)操作物的動能分別為

(45)

(46)

Ibase(ωbase)2]

(47)

Itar(ωtar)2]

(48)

當(dāng)ηi(i=1，2)取0時(shí)，系統(tǒng)不存在對應(yīng)動能計(jì)算項(xiàng)，此時(shí)該物體靜止；當(dāng)ηi取1時(shí)，系統(tǒng)存在對應(yīng)動能計(jì)算項(xiàng)，此時(shí)該物體運(yùn)動。

3.2 空間雙臂機(jī)器人動力學(xué)模型

空間雙臂機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)過程中涉及雙臂協(xié)同關(guān)系的轉(zhuǎn)換和本體位型的改變。由式(44)，η1對應(yīng)操作物的狀態(tài)，η2對應(yīng)機(jī)器人本體的狀態(tài)。當(dāng)ηi(i=1，2)取0時(shí)，該物體靜止；當(dāng)ηi取1時(shí)，該物體運(yùn)動。根據(jù)二元判定參數(shù)的取值組合，將機(jī)器人位型的轉(zhuǎn)換歸納為4種工況：當(dāng)η1=0，η2=0時(shí)，機(jī)器人本體固定，雙臂運(yùn)動；當(dāng)η1=1，η2=0時(shí)，雙臂均抓緊扶手，機(jī)器人本體運(yùn)動；當(dāng)η1=0，η2=1時(shí)，對應(yīng)雙臂均抓緊扶手、機(jī)器人本體運(yùn)動，以及單臂抓住扶手、機(jī)器人本體和另外一只臂運(yùn)動兩種工況。基于式(43)，建立4種工況對應(yīng)的動力學(xué)模型。

3.2.1 工況1——機(jī)器人本體固定，雙臂運(yùn)動

該工況發(fā)生在從初始狀態(tài)到協(xié)同操作狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過程中，此時(shí)左右臂同時(shí)運(yùn)動，但不執(zhí)行末端操作，如圖5(a)所示。圖5(a)中：空間雙臂機(jī)器人本體固聯(lián)于空間站電氣樁上，雙臂運(yùn)動為插拔電氣元件做準(zhǔn)備。

圖5 工況1Fig.5 Case 1

工況1的機(jī)器人簡化桿件模型如圖5(b)所示，可分別求出指定運(yùn)動情況下的左右臂的關(guān)節(jié)力矩。圖5中：Pl(j),Pr(i)分別為左臂第j關(guān)節(jié)、右臂第i關(guān)節(jié)的坐標(biāo)。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(49)

3.2.2 工況2——機(jī)器人本體固定，雙臂協(xié)同操作

該工況發(fā)生在機(jī)器人固定在一個(gè)固定工位，雙臂共同完成協(xié)同任務(wù)，如共同拆裝航天器插件、擰螺絲等時(shí)。機(jī)器人本體固定在空間站電氣樁上，雙臂協(xié)同操作進(jìn)行航天器插件的拆裝維護(hù)工作，如圖6所示。

圖6 工況2Fig.6 Case 2

在圖6(b)桿件簡化模型中目標(biāo)操作物也處于運(yùn)動狀態(tài)，需在計(jì)算系統(tǒng)動能時(shí)加入目標(biāo)操作物的動能，目標(biāo)操作物的位姿則可由左右臂的協(xié)同關(guān)系解得。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(50)

3.2.3 工況3——雙臂均抓緊扶手，機(jī)器人本體運(yùn)動

該工況發(fā)生在機(jī)器人在空間站上自主從一個(gè)工位轉(zhuǎn)移到另一個(gè)工位時(shí)，此時(shí)需調(diào)整本體的位置。在此過程中左右臂末端桿件固定，本體發(fā)生運(yùn)動，如圖7所示。

圖7 工況3Fig.7 Case 3

在圖7(b)桿件的簡化模型中機(jī)器人本體運(yùn)動，左右臂末端固定。計(jì)算系統(tǒng)動能時(shí)左右臂末端桿件動能為0。機(jī)器人本體位姿則可由左右臂的協(xié)同關(guān)系來解得。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(51)

3.2.4 工況4——單臂抓住扶手，機(jī)器人本體和另外一只臂運(yùn)動

該工況發(fā)生在機(jī)器人在空間站上工位轉(zhuǎn)移過程中。機(jī)器人一只臂抓住空間站扶手，另一只臂準(zhǔn)備抓住下一工位的扶手，如圖8所示。

圖8 工況4Fig.8 Case 4

在如圖8(b)所示桿件簡化模型中，左臂的末端固定，其余桿件，包括基座均處于動態(tài)，因此可用串聯(lián)臂的解法求出各桿件位置。該工況的系統(tǒng)動能可表示為

(52)

將式(49)～(52)代入式(44)，可得簡化形式的動力學(xué)方程為

τ

(53)

4 結(jié)束語

本文對失重狀態(tài)下的空間雙臂機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)建模進(jìn)行了研究。由分析實(shí)際工程應(yīng)用中的雙臂機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)，用臂形角的解法，給出了求解效率更高的空間雙臂機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)逆解解析方法。分析了空間雙臂機(jī)器人在執(zhí)行任務(wù)中的狀態(tài)，引入二元判定參數(shù)，歸納得到了雙臂獨(dú)立運(yùn)動、雙臂協(xié)同操作、閉鏈本體漂浮、開鏈本體漂浮4種強(qiáng)耦合、非線性工作狀態(tài)下的動力學(xué)模型。通過對空間雙臂機(jī)器人變構(gòu)型工作狀態(tài)下的運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)分析，為后續(xù)空間雙臂機(jī)器人的研制提供理論基礎(chǔ)。后續(xù)將構(gòu)造虛擬工況，對空間雙臂機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)及動力學(xué)特性做進(jìn)一步的研究與驗(yàn)證。

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Kinematics and Dynamics Modeling for Dual-Arm Space Robot

WU Chang-zheng1, LIU Dian-fu2, YUE Yi1, 3, WEI Bao-chen1

(1. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240, China; 2. Aerospace System Engineering Shanghai, Shanghai 201109, China; 3. Shanghai Aerospace Equipments Manufacturer, Shanghai 200245, China)

To establish the kinematics and dynamics model of dual-arm space robot, a study was made to analysis the characters of the robot in non-gravity environment and modeling in this paper. The formulation for forward kinematics of the right and left arm was given out in terms of the robot’s DH parameters. A more efficiency method to solve the inverse kinematics for redundant was derived based on the arm-angle approach. The 2 coefficients of determination parameters were introduced to describe the working condition for space robot. The working condition was analyzed for dual-arm space robot and 4 different kinds of dynamics equations were given based on the Lagrange’s equations, which were the two arms moved independently, the two arms cooperated, the base floating with closed chain and the base floating with open chain. The modeling of kinematics and dynamics laid the foundation for the design and analysis for dual-arm space robot.

dual-arm space robot; redundant; analytical; inverse kinematics; dynamics; non-gravity; modeling; coefficient of determination

1006-1630(2017)03-0080-08

2017-01-12；

2017-03-06

國家自然科學(xué)基金資助(61473187)；教育部青年教師基金資助(20130073120045)；航天先進(jìn)技術(shù)聯(lián)合研究中心技術(shù)創(chuàng)新項(xiàng)目資助(USCAST2015-36)

吳長征(1992—)，男，碩士生，主要從事機(jī)器人運(yùn)動規(guī)劃研究。

TP242.3

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.03.011