李朝陽

（莆田礪青中學,福建莆田351100）

小升初數(shù)學銜接教學探微
——以人教版七（上）應用題及幾何規(guī)律題教學為例

李朝陽

（莆田礪青中學,福建莆田351100）

針對小升初數(shù)學教學中學生感到較難的兩大知識點：列方程解應用題、幾何規(guī)律題進行教學研究，用比較通俗易懂的方法引導學生理解掌握七（上）中的應用題及幾何規(guī)律題：配套問題可以理解為數(shù)量比問題；工程問題、行程問題可以理解為花錢問題；銷售問題可以理解為方程“利潤=售價-進價”；分段問題理解為真分段與假分段；點鐘問題應理解為分針與時針的追及問題，而這里研究的幾何規(guī)律題都與公式n（n-1）有關。

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小升初；銜接教學；應用題；幾何規(guī)律題

小學升入初中,數(shù)學學科是大多數(shù)學生轉(zhuǎn)折的一個學科［1］，在應用題與規(guī)律題方面，學生尤為畏懼，往往成為小升初學生學習上的一個障礙，在教學上能給學生更好的解釋總結，對學生的理解掌握有積極作用，特做了歸納總結。

一、列方程解應用題

（一）配套問題

配套問題可理解為數(shù)量關系問題。如：一批工人（w人）安排去加工某物，某物是由A、B兩部份組成，一個工人一天可生產(chǎn)Aa個、Bb個，其中m個A、n個B組成一套，則應按排x人去生產(chǎn)A，求x？思考的時候我們可以把x個工人生產(chǎn)的A數(shù)量求出，（w-x）個工人生產(chǎn)的B數(shù)量求出，它們的比為m：n，即：（a·x）:［（w-x）·b］=m：n，最后列方程時把它寫成積的形式：n·a·x=m·（w-x）·b，它就是一個簡單的數(shù)量比問題。

（二）工程問題、行程問題

工程問題和行程問題都可以理解為花錢問題，思考模型為：小明有100元錢，今天花30元，明天花70元，就把這100元錢花完了，則30+70=100。

工程問題：一件工作甲單獨做10天完成，乙單獨做20天完成，甲先做2天后，甲、乙再合作天x完成，求x？可以理解為甲每天花（x+2）天，乙每天

行程問題：兩地相距1000米，甲的速度50米/分鐘、乙的速度40米/分鐘，甲、乙相向而行，x分鐘后還相距100米？可以理解為甲每天花錢50元，乙每天花錢40元，x天花了（1000-100=900）元，則可列方程：50x+40x=1000-100?；ㄥX的問題是學生的平時自已的親身體驗，學生比較容易接受，把行程和工程問題往這方面引導可讓學生更容易理解掌握。

（三）銷售問題

銷售問題大部分題目都可以轉(zhuǎn)化成方程：利潤=售價-進價。當然，這里利潤=利潤率×進價，售價=標價×折數(shù)/10。

例：一件衣服標價120元，打八折后賣出還有5%的利潤，求衣服進價x元？

利用“利潤=售價-進價”來構造方程為：利潤=利潤率×進價=5%x；售價=標價×折數(shù)/10=120×8/10，易得方程：5%·x=120×8/10-x，從而得解。x天，最后把錢（單位1）都花完了。則可

（四）分段問題：

分段問題分為兩種：一種定義為假分段：分的幾段不獨立，隨數(shù)量的增加所有的價格都隨之改變。另一種定義為真分段：分的幾段獨立，隨數(shù)量的增加各分段的價格是獨立的。

假分段：某公園購團體票方法是：0-10人全票50元/人；10-30人團購打九折，票價45元/人；30-50人團購打八折，票價40元/人；50人以上團購打七折，票價35元/人。本班師生共同48人去公園游玩，如何購購票更合算？

分析：這種分段隨著人數(shù)的增加所有人的票價都下降，是屬于假分段。若用30-50人團購打八折購票，需40×48=1920元；若用50人以上團購打七折購票，購票51張，需35×51=1785元，所以購票51張（3張沒用到）反而更便宜。這種分段可能出現(xiàn)多買反而少付款的情況，而真分段是不會出現(xiàn)這種情況。

真分段：某地電價的收費標準是，每個月用0-200度，0.5元/度；每個月用200-500度，超過200度的部份0.6元/度；每個月用500度以上，超過500度的部份0.8元/度。某家單月用電300度，應交電費多少？某家單月用電x度，應交電費y元？

分析：各個分階是獨立的價格，是屬于真分段。300度包含兩個段，前200度0.5元/度，超過200度部份（300-200=100度）0.6元/度，則收的電費是：200×0.5+（300-200）×0.6=160元。真分段才是今后我們學習的分段函數(shù)，如下：

（五）點鐘問題：

點鐘的分針與時針的運動可以理解成行程問題中的追及問題。因為時針與分針的速度比是1:12，時針走30°（1格），分鐘走360°（12格），時間過60分鐘；可以設時針走x°，則分針走12x°，而時針的1°對應時間是兩2分鐘。

可先求度數(shù)，再乘以2轉(zhuǎn)成化成時間。

如圖1：3:00后過幾分鐘時針與分針重合?

圖1

分析：思考的時候可以設3:00后到時針與分針重合時時針走x°，則分針走12x°，重合時分針與時針走過的角度差為90°，則可列出方程：12x-x=90，從而很容易求出時鐘與分針重合時行走的角度，再乘以2轉(zhuǎn)化成時間。［2］

二、幾何規(guī)律題方面

（一）有關n條直線的最多交點個數(shù)問題：（如圖2）

初看“2、3、4…”與“1、3、6…”似乎看不出個所以然來，我們可以換個角度來思考：2條線最多有1個交點、3條線最多有1+2=3個交點、4條線最多有1+ 2+3=6個交點……

直線條數(shù)234n

圖2 2.

（二）有關n點分得的最多線段條數(shù)問題（包括線段兩端點）：（如圖3）

點個數(shù)234n

可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n-1.最多交點個數(shù)：1，3，6，n（n-1）

圖3

（三）有關n條射線分得的最多角問題（射線包括角兩邊）：（如圖4）

射線條數(shù)234n

由圖3可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n-1.

圖4

觀察（二）、（三）中的圖示會發(fā)現(xiàn)，它們的數(shù)據(jù)、代數(shù)式都與（一）中的規(guī)律一樣：兩條線、一個交點；兩點、一條線段；兩條公共端點的射線、一個角，可以用一樣的思路來解這類規(guī)律題。

（四）在這里有必要指出，當（二）中不包括線段兩端點、（三）中射線不包括角兩邊時規(guī)律如何呢？我們可以把上面的數(shù)據(jù)作如下變化：（如圖5、圖6）

可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n-1.

所有角個數(shù)：1，3，6，分點個數(shù)（圖5）

圖5

其規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n+1.

初看這個規(guī)律，發(fā)現(xiàn)與前面的規(guī)律不一樣，其實個規(guī)律只是不包括兩個端點（n少了2），所以在前面所得的規(guī)律中的n都加上2就得出代數(shù)式

圖6

這與（二）、（三）中的規(guī)律實際上只是數(shù)據(jù)對應的關系問題，前面（二）、（三）最后一個數(shù)加到（n-1），而（四）中最后一個數(shù)加到（n+1），致于思考和解答的方法都是一樣的。

（五）平面上有關n刀分得的最多塊餅問題：（如圖7）

切餅刀數(shù)（圖7）

圖7

規(guī)律：1，1+2，1+2+3，1+2+3+…+n+1.

所有角個數(shù)：1，3，6

規(guī)律:1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+…+n.

最多分得塊數(shù)

如果能先理解等差數(shù)列加法（用結對子方法理解：1+100=101；2+99=101……共結成50對，若共有奇數(shù)個數(shù)，則最后一個數(shù)單獨可算半對，方法一樣適用），再加上上面的圖解分析，相信這些規(guī)律題就能“迎刃而解”了。［3］

最后，縱觀七（上）學生覺得較難的應用題及規(guī)律題，我們在教學上可以盡可能的用他們以前學過的或生活中體驗的知識或經(jīng)驗來解釋，學生會更容易理解接受，當他們能解決這些難題，不但在初中數(shù)學學習上開了個好頭，而且能大大增加他們學習數(shù)學的自信，對接下來的初中數(shù)學學習有積極的影響。

［1］陳開春.小升初數(shù)學教學銜接問題的思考［J］.中學課程輔導（教學研究），2015（1）.

［2］王海明.試析七年級列方程解應用題的瓶頸現(xiàn)象及對策［J］.數(shù)學學習與研究：教研版，2011（18）.

［3］李守霞.初中數(shù)學幾何教學中運用模型教學研究［J］.中國校外教育（中旬），2015（2）.

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1673-9884（2017）06-0050-03

2017-03-10

李朝陽，男，莆田礪青中學一級教師。