劉瓊玲++王林林

【摘要】極限是高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，對(duì)極限定義的理解常常是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn).本文從數(shù)列極限的幾何意義入手，借助幾何意義的直觀性來理解極限的定義，詳細(xì)分析了極限的有界性、唯一性、保號(hào)性等重要性質(zhì)，并舉例說明了如何從幾何意義的角度尋找部分問題的解題思路.

【關(guān)鍵詞】極限；幾何意義；數(shù)列

【基金項(xiàng)目】國家自然科學(xué)基金（11501561）；中國礦業(yè)大學(xué)基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目（2014QNA58）.

一、引言

極限思想貫穿整個(gè)高等數(shù)學(xué)始終，是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)中的許多概念及運(yùn)算法則都是建立在極限的基礎(chǔ)之上，因此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，使學(xué)生充分理解極限的定義、內(nèi)涵和性質(zhì)等是十分必要的.而通過幾何意義體現(xiàn)出的生動(dòng)活潑的極限思想，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對(duì)極限本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，使得這一概念不再僅僅是一種形式化的表達(dá).

在教學(xué)過程中，首先，從幾何意義的角度給出直觀的幾何解釋，提起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生對(duì)概念或性質(zhì)等有個(gè)直觀的印象和初步的理解，然后，進(jìn)行嚴(yán)格的理論推導(dǎo)，可使學(xué)生理解起來相對(duì)容易，更加容易掌握定義和性質(zhì)的內(nèi)涵，會(huì)收到較好的教學(xué)效果.

二、數(shù)列極限的定義和幾何意義

（一）定義（ε-N語言）[1]

對(duì)于數(shù)列{xn}及常數(shù)a，ε>0（無論多么?。偞嬖谡麛?shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有|xn-a|<ε，則稱a是{xn}的極限，或稱{xn}收斂于a，記作

（二）幾何意義

在定義中|xn-a|<εa-ε0，可以找到一個(gè)正整數(shù)N，只要n>N，所有xn都落在開區(qū)間（a-ε，a+ε）內(nèi)，只有有限項(xiàng)（至多N項(xiàng)）在這個(gè)區(qū)間外面（如圖1）[2].

隨著n的增大，xn代表的點(diǎn)越來越“密集”在點(diǎn)a的附近.

結(jié)合數(shù)列的幾何意義可以更加有效地向?qū)W生講解數(shù)列極限的有界性、唯一性、保號(hào)性以及數(shù)列子列的收斂性等性質(zhì).

三、從幾何意義的角度理解數(shù)列極限的性質(zhì)

（一）有界性：如果數(shù)列{xn}收斂，則數(shù)列{xn}一定有界

分析設(shè) limn→∞xn=a，根據(jù)上述幾何意義，對(duì)于任一給定的正數(shù)ε，一定都有正整數(shù)N，數(shù)列{xn}從第N+1項(xiàng)開始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，不妨取ε=1，那么{xn}從某一項(xiàng)開始都落在區(qū)間（a-1，a+1）里面，剩下的有限項(xiàng)自然是有界的，取一個(gè)既包含區(qū)間（a-1，a+1）又包含剩下的有限多項(xiàng)的閉區(qū)間[-M，M]即可證明結(jié)論成立.

（二）唯一性：如果數(shù)列{xn}收斂，則極限唯一

（四）數(shù)列子列的收斂性：如果數(shù)列{xn}收斂于a，則它的任一子列{xnk}都收斂于a

分析設(shè) limn→∞xn=a，根據(jù)極限的幾何意義，對(duì)于任一給定的正數(shù)ε，都存在正整數(shù)N，數(shù)列{xn}從第N+1項(xiàng)開始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面只有數(shù)列{xn}中的有限項(xiàng)，而{xnk}作為{xn}的子列，自然也只有有限項(xiàng)落在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面，于是可以找到正整數(shù)N*，使得{xnk}從第N*+1項(xiàng)開始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，這就說明{xnk}同樣收斂于a.

對(duì)于函數(shù)f（x）的極限，可以類似地討論其幾何意義并從幾何意義的角度分析其性質(zhì)，這里就不再累述.

四、運(yùn)用幾何意義分析問題并尋找證題思路

部分關(guān)于極限的證明題，同樣可以從幾何意義的角度來理解，從而找到解決問題的正確思路.

分析因?yàn)?limk→∞x2k-1=a且 limk→∞x2k=a，根據(jù)幾何意義可知，對(duì)于任一給定的正數(shù)ε，可以找到共同的正整數(shù)N，數(shù)列{x2k-1}和{x2k}均從第N+1項(xiàng)開始都落在區(qū)間（a-ε，a+ε）里面，在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面只有{x2k-1}和{x2k}中的有限項(xiàng)，因此，在區(qū)間（a-ε，a+ε）外面必然只有數(shù)列{xn}中的有限項(xiàng)，這就說明了{(lán)xn}也是收斂于a.

在高等數(shù)學(xué)中，類似的問題還有很多，例如，導(dǎo)數(shù)[3]、微分中值定理、定積分等等，均有其幾何意義，從幾何直觀出發(fā)對(duì)相應(yīng)的問題進(jìn)行分析可以加深對(duì)概念或問題內(nèi)涵的理解，使得抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得形象直觀，在教學(xué)中合理運(yùn)用這些幾何意義，不僅能夠使得教師的教學(xué)活動(dòng)事半功倍，更能提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]張興永，楊宏晨，吳宗翔，逄世友，趙遷貴.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，2014.

[3]王芳，汪曉勤.HPM視角下“導(dǎo)數(shù)幾何意義”的教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（05）：57-60.