周瑞明

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、創(chuàng)新能力的主陣地，教師作為課堂教學(xué)的引領(lǐng)者，應(yīng)根據(jù)學(xué)科特點做好教學(xué)設(shè)計，盡可能將知識和思維過程暴露給學(xué)生，讓學(xué)生真正做到知其然和所以然，從而提高課堂效率.

[關(guān)鍵詞] 教學(xué)設(shè)計；體驗；學(xué)習(xí)方式；教學(xué)活動

本文首先呈現(xiàn)了筆者近期的一堂公開課“平面與平面垂直的判定”的教學(xué)過程，進而基于《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）指導(dǎo)教學(xué)談一些自己對課堂教學(xué)設(shè)計的深刻體會.

[?] 教學(xué)過程設(shè)計

1. 創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

問題1：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過兩平面的平行，今天我們來研究兩平面相交的情況，比如門所在平面與墻面. 怎樣區(qū)分“把門開大一些與小一些”是指哪個角大一些？平面幾何中“角”又是怎樣定義的？

問題2：在前面的學(xué)習(xí)中，我們是如何定義“異面直線所成的角”“直線和平面所成的角”？其共同特征是什么？

以上問題先由學(xué)生自由發(fā)言，教師再作小結(jié)，并提出問題：在日常生產(chǎn)實踐中，經(jīng)常要涉及兩平面相交所成的角的情形，如修水庫的大壩、發(fā)射人造衛(wèi)星等. 這類型的角有何特點？又該如何表示呢？下面我們一起來觀察、探究.

2. 研究實例，探求新知

（1）二面角的有關(guān)概念

數(shù)學(xué)實驗：學(xué)生每人拿出一張作業(yè)紙并將其對折，然后觀察其形狀，緊接著教師引導(dǎo)學(xué)生思考，并針對以上問題進行類比、歸納，從而得出二面角的概念及表示方法.

問題3：現(xiàn)實生活中還有與二面角相關(guān)的例子嗎？請舉例.

（2）二面角大小的度量

問題4：如何刻畫兩平面所成的角？（定義的合理性——讓學(xué)生參與進來）——產(chǎn)生二面角的平面角的概念.

學(xué)生：相交的直線必共面，可以從二面角的棱上一點出發(fā)，且在二面角的面上的兩條射線之間的夾角.

教師（追問）：你是怎么想到的？

（通過學(xué)生的解釋和在教師幫助下的概括，讓學(xué)生體驗空間關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化為平面關(guān)系來表示的）

問題5：過棱上一點在二面角的面上的射線有多少條？由這樣的射線組成的平面角有多少個？大小一樣嗎？

學(xué)生：無數(shù)條；無數(shù)個；不一樣.

問題6：用這種方法來度量同一個二面角顯然不合理，怎樣才能使得這樣的平面角的大小唯一？也就是過棱上一點的射線唯一呢？

學(xué)生：與棱垂直.

問題7：如何定義二面角的平面角？

二面角的平面角的定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA與OB構(gòu)成的∠AOB叫作二面角α-l-β的平面角.

特征：過棱上任一點；分別在兩個平面內(nèi)作射線，射線垂直于棱.

思考：當(dāng)端點在棱上移動時，平面角的大小會變嗎？（這些問題在二面角的定義產(chǎn)生過程中議論）

注意：①二面角的大小是用平面角來度量的，其范圍是[0，180°）；②平面角是直角的二面角叫作直二面角.

問題8：聯(lián)系直線與平面垂直的定義，能否引用二面角的平面角的大小來給面面垂直下一個定義呢？

總結(jié)：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角為直二面角，就說這兩個平面垂直.

思考：觀察教室里相鄰兩個墻面與地面可以構(gòu)成幾個二面角，指出其中一個二面角的面、棱、平面角及其度數(shù).

問題9：根據(jù)平面與平面垂直的定義來判定平面與平面垂直方便嗎？談?wù)勀愕目捶ǎ⒅赋鍪欠裼袆e的判定途徑.

設(shè)計意圖：通過提問為探尋平面與平面垂直的判定定理做好準(zhǔn)備.

（3）判定定理的探究

直觀感知：根據(jù)同學(xué)們?nèi)粘Ｉ畹挠^察，你們能感知到并列舉出平面與平面垂直的具體事例嗎？

動手實踐：①演示門開與關(guān)的過程：門所在平面與地面始終垂直嗎？為什么？門在轉(zhuǎn)動的過程中，門軸始終與地面保持著垂直的關(guān)系（門軸所在的直線是地面的一條垂線），因此門所在的平面總與地面垂直的原因在于門所在的平面始終經(jīng)過地面的一條垂線. ②將數(shù)學(xué)課本打開，直立于桌面上，觀察紙張所在平面與桌面是否垂直.

設(shè)計意圖：設(shè)置這個動手實踐的環(huán)節(jié)，目的是為了讓學(xué)生更清楚地看到兩平面垂直與否的關(guān)鍵因素是什么，讓學(xué)生在情境中學(xué)，在情理中思考，并通過內(nèi)心去感悟，學(xué)習(xí)身邊的數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟空間圖形的性質(zhì).

探究思考：上述演示的平面與平面的位置關(guān)系中有何共同點？是什么因素起了決定性作用呢？通過觀察感知，發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直，關(guān)鍵有兩個要素：①一條線垂直于一個平面；②這條線在另一平面內(nèi).

歸納確認：平面和平面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. 簡單概括：線面垂直?面面垂直. 符號表示：

3. 定理運用，鞏固所學(xué)

練習(xí)：在三棱錐P-ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則該三棱錐有哪些平面互相垂直？為什么？

例：如圖3，AB是☉O的直徑，PA垂直于☉O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點. 求證：平面PAC⊥平面PBC.

4. 總結(jié)提升

教師提出下列問題讓學(xué)生思考：

①請歸納確定二面角的平面角的方法.

②證明面面垂直有幾種方法？

③平面與平面垂直的判定定理體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是什么？應(yīng)用定理的關(guān)鍵是找什么？

師生共同就上述問題進行討論、交流、總結(jié)，讓學(xué)生充分發(fā)表自己的意見.

5. 課后作業(yè)，拓展思維

略.

[?] 如何根據(jù)《新課標(biāo)》理念指導(dǎo)課堂教學(xué)設(shè)計

1. 教學(xué)設(shè)計要讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)現(xiàn)過程，而不是直接把數(shù)學(xué)知識塞給學(xué)生

《新課標(biāo)》明確指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì).”這其實也就給教師如何進行教學(xué)設(shè)計指明了方向. 教科書上直接給出兩平面垂直的判定定理，但判定定理的條件是怎么發(fā)現(xiàn)的并沒有說明，這就要求教師在進行教學(xué)設(shè)計時必須思考：該如何引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)這個條件. 只有這樣，學(xué)生才能體驗學(xué)習(xí)的過程，深刻理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，真正體會到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)其實不是枯燥的，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 不能把數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，當(dāng)成前人的事、數(shù)學(xué)家的事，不必學(xué)生去思考、探究，也不能把教學(xué)的重心放在結(jié)論的應(yīng)用與練習(xí)的鞏固上. 作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該明白數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)的演繹學(xué)科，也是一門試驗性的歸納學(xué)科，只有用對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識來設(shè)計自己的教學(xué)，才能把“學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”，讓學(xué)生通過實驗、觀察、探究、歸納，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的過程，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識.

2.教學(xué)設(shè)計要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，爭取做到促進學(xué)生各方面能力的發(fā)展

學(xué)習(xí)過程是學(xué)生自我感知的過程.這種體驗式的過程具有不可替代性，只能在學(xué)生自主感受中生成. 這就要求教師在進行教學(xué)設(shè)計時要有預(yù)設(shè)性，不僅要給學(xué)生提供、設(shè)計這樣的契機，還要關(guān)注學(xué)生在自我感知過程中的動態(tài)反應(yīng)，要根據(jù)學(xué)生的共性需求和個體需求適度調(diào)整教學(xué). 同時，在教學(xué)設(shè)計中教師還要善于從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的生活背景出發(fā)，聯(lián)系生活設(shè)計數(shù)學(xué)，把生活問題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問題生活化，使學(xué)生從周圍熟悉的事物中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)，體會到數(shù)學(xué)就在身邊，感受到數(shù)學(xué)的魅力. 在數(shù)學(xué)設(shè)計中，教師要充分挖掘生活中的數(shù)學(xué)，通過設(shè)計讓學(xué)生自主探索、合作學(xué)習(xí)，在實踐體驗中、實際生活中嘗試學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，更重要的是使學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，即數(shù)學(xué)來自于生活，又應(yīng)用于生活，服務(wù)于生活. 本節(jié)課的教學(xué)試圖努力改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，以問題串的方式展開，通過數(shù)學(xué)實驗、動手實踐等環(huán)節(jié)來完成相關(guān)問題，在合作中自主探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論. 教學(xué)實踐表明，在這樣的教學(xué)活動中，不僅學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)得到了發(fā)展，而且“使學(xué)生具有實事求是的態(tài)度、敢于探索和創(chuàng)新的精神”，身心與品質(zhì)也得到了發(fā)展.

3. 教學(xué)設(shè)計時要考慮教師在教學(xué)活動中的角色

《新課標(biāo)》指出“教師不僅是知識的傳授者，而且也是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者和合作者”，這就要求教師要真正了解學(xué)生，掌握他們對學(xué)習(xí)的動機、興趣、毅力、方法以及效果等情況. 同時教師應(yīng)該將自己置于旁觀者的地位，不帶任何情感色彩進行冷靜地觀察，能根據(jù)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)、行為言語等進行分析，以便更有針對性地進行學(xué)習(xí)評價. 只有這樣，教師才能從傳統(tǒng)的傳授課本知識的角色向引導(dǎo)者、組織者和合作者等角色進行轉(zhuǎn)變. 在課堂，教師要試圖使自己成為教學(xué)活動的組織者，讓學(xué)生成為“演員”. 通過學(xué)生動手實踐、探究，發(fā)展學(xué)生的能力，改變“教師講，學(xué)生聽”的被動接受知識的教學(xué)模式.

總之，隨著課程改革的推進，給我們一線教師帶來了新的機遇，也提出了新的挑戰(zhàn). 我們應(yīng)該抓住機遇，迎接挑戰(zhàn)，不斷學(xué)習(xí)新教育理論，學(xué)習(xí)《新課標(biāo)》；加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的理解；與時俱進，更新教育觀念，用新的教育理念指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計，在為學(xué)生創(chuàng)造發(fā)展空間的同時不斷促進自身的發(fā)展.