耿彥章，呂海峰，安 君，冀曉菲

（中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

基于LabVIEW的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)估計(jì)虛擬儀器設(shè)計(jì)

耿彥章，呂海峰，安 君，冀曉菲

（中北大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，山西 太原 030051）

針對(duì)在實(shí)際工程研究領(lǐng)域中經(jīng)常要對(duì)SISO系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)的問(wèn)題，開(kāi)發(fā)一套基于LabVIEW的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)與參數(shù)估計(jì)虛擬儀器。該虛擬儀器使用基本定義法與聯(lián)合輸入輸出法兩種傳遞函數(shù)參數(shù)估計(jì)方法進(jìn)行相互比對(duì)，從而得到SISO系統(tǒng)的S域傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式的參數(shù)。通過(guò)對(duì)一個(gè)典型RLC二階電路系統(tǒng)對(duì)該虛擬儀器進(jìn)行理論分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。由高頻狀態(tài)下的誤差分析證明兩種算法的結(jié)合部分在高頻區(qū)間會(huì)增大誤差。最終證明，這套系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)與參數(shù)估計(jì)虛擬儀器所辨識(shí)得到的系統(tǒng)模型參數(shù)在低頻狀態(tài)下具有較高的準(zhǔn)確性。

傳遞函數(shù)；系統(tǒng)辨識(shí)；聯(lián)合輸入輸出法；信號(hào)分析；RLC二階電路

0 引 言

從狹義上講，單輸入單輸出系統(tǒng)（single input single output system，SISO）是自動(dòng)控制領(lǐng)域中的一種系統(tǒng)模型，這種系統(tǒng)只具有一個(gè)信號(hào)參數(shù)輸入端口與一個(gè)信號(hào)參數(shù)輸出端口。從廣義上講，這種SISO系統(tǒng)則存在于工程技術(shù)、社會(huì)生活中的各個(gè)領(lǐng)域。在工程上，對(duì)某個(gè)未知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型分析與系統(tǒng)辨識(shí)是非常有價(jià)值的。一個(gè)未知的SISO電氣、機(jī)械或聲學(xué)[1]系統(tǒng)的工程分析主要體現(xiàn)在系統(tǒng)傳遞函數(shù)（transfer function）的辨識(shí)與參數(shù)識(shí)別[2]。在確定系統(tǒng)的階數(shù)、估計(jì)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)并進(jìn)行系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別方面，國(guó)內(nèi)外已有了很多先進(jìn)方法與理論。李敏花等[3]通過(guò)采用LM算法極小化代價(jià)函數(shù)，應(yīng)用在系統(tǒng)辨識(shí)領(lǐng)域，提出了一種估計(jì)出系統(tǒng)未知參數(shù)的方法。袁東等[4]進(jìn)行了二階系統(tǒng)線性自抗擾控制器頻帶特性與參數(shù)配置研究。Atcitty Stanley發(fā)明了一種自動(dòng)計(jì)算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的計(jì)算方法。秦來(lái)安等[5]將常用的系統(tǒng)辨識(shí)方法進(jìn)行分析對(duì)比，得出了不同的方法適用于不同情況不同要求的工況分析。近些年隨著虛擬儀器技術(shù)的不斷發(fā)展，傳遞函數(shù)與虛擬儀器結(jié)合的工程應(yīng)用實(shí)例不斷增加。柳明洙等[6]通過(guò)設(shè)計(jì)具有分析傳遞函數(shù)功能的虛擬儀器實(shí)現(xiàn)了對(duì)電壓閃變的監(jiān)測(cè)。郭棟梁等[7]基于LabVIEW與參數(shù)分析設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)一種通用電路板自動(dòng)故障診斷系統(tǒng)。盡管系統(tǒng)辨識(shí)與傳遞函數(shù)參數(shù)估計(jì)的理論方法不斷增加，但是迄今為止還鮮有具有對(duì)SISO系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)功能的虛擬儀器設(shè)備出現(xiàn)。

本文提出一種基于LabVIEW的SISO系統(tǒng)傳函與階數(shù)估計(jì)虛擬儀器，該方案可以對(duì)常見(jiàn)SISO信號(hào)系統(tǒng)進(jìn)行傳遞函數(shù)的S域參數(shù)識(shí)別，并對(duì)未知系統(tǒng)進(jìn)行辨識(shí)與傳遞函數(shù)階數(shù)判斷?；贚abVIEW的傳遞函數(shù)辨識(shí)系統(tǒng)具有操作簡(jiǎn)便，分析迅速，計(jì)算準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。

1 傳遞函數(shù)的參數(shù)估計(jì)原理

1.1 定義法

對(duì)于一個(gè)廣義系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，通常會(huì)有若干個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)與若干個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)。如圖1所示，一般的SISO系統(tǒng)應(yīng)該只具有一個(gè)輸入節(jié)點(diǎn)與一個(gè)輸出節(jié)點(diǎn)，同時(shí)這個(gè)系統(tǒng)可以是電氣系統(tǒng)，機(jī)械系統(tǒng)或聲學(xué)系統(tǒng)等。

傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)定義是：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸入量與系統(tǒng)輸出量的拉氏變換之比。將輸入點(diǎn)與輸出點(diǎn)之間的整體部分視為一個(gè)完整的系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)系統(tǒng)傳遞函數(shù)H（s）的估計(jì)，可以得出這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性以及穩(wěn)定性等系統(tǒng)的獨(dú)有特性的數(shù)學(xué)描述。系統(tǒng)的輸入信號(hào)X（t）與輸出信號(hào)Y（t），則經(jīng)過(guò)拉氏變換后相除就得到了這個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

圖1 SISO系統(tǒng)示意圖

一種常見(jiàn)的求傳遞函數(shù)的方法是，對(duì)輸入輸出信號(hào)X（t）與Y（t）來(lái)講，傳遞函數(shù)是對(duì)這兩種信號(hào)所在的線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述。因此對(duì)X（t）與Y（t）求互功率譜 SYX（jω），對(duì) X（t）求自功率譜 SXX（jω），則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

當(dāng)測(cè)得系統(tǒng)的輸入信號(hào)X（t）與輸出信號(hào)Y（t）為簡(jiǎn)諧信號(hào)時(shí)[5]，有：

這種傳遞函數(shù)的估計(jì)的方法測(cè)量要求簡(jiǎn)單，計(jì)算步驟較少。所求得的傳遞函數(shù)H（s）是一個(gè)具體的復(fù)數(shù)值。這個(gè)值可以反映輸入信號(hào)與輸出信號(hào)在時(shí)域中的幅值比例與相位延遲關(guān)系，但是不能具體得到這個(gè)傳遞函數(shù)的S域數(shù)學(xué)表達(dá)式。

1.2 聯(lián)合輸入輸出法

LabVIEW的仿真與控制工具包中所包含的傳遞函數(shù)參數(shù)估計(jì)程序采用聯(lián)合輸入輸出法（joint input-output method）進(jìn)行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)參數(shù)原理。這種方法是綜合直接辨別法（direct identification）與間接辨別法（indirect identification）兩種系統(tǒng)辨識(shí)估算模型對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行傳遞函數(shù)估計(jì)與參數(shù)識(shí)別[8-10]。

該方法是對(duì)于某閉環(huán)線性時(shí)不變SISO控制系統(tǒng)，有：

其中 yt與xt分別代表輸出與輸入信號(hào)，G（q，θ）代表在線性時(shí)不變控制器K（q，θ）與外部參考信號(hào)rt影響下的傳遞函數(shù)并且在后移算子q-1中為有理式，且

式中：θ——多項(xiàng)式中的實(shí)數(shù)向量參數(shù)；

νt——期望為0的平穩(wěn)白噪聲；

ma、mb——正整數(shù)。

設(shè)rt為弱平穩(wěn)過(guò)程信號(hào)，它的譜密度為φr（ω）。進(jìn)一步用 G（q，θ），K（q，θ）來(lái)表示 xt與 yt的關(guān)系：

其中 K 為實(shí)數(shù)，P（q，θ）、L（q，θ）都是后移算子 q-1中的多項(xiàng)式，這就要求上式中的分子P（q，θ）形成開(kāi)環(huán)節(jié)點(diǎn)A（q，θ）的子集，即對(duì)于某些多項(xiàng)式，有：

假設(shè)其系統(tǒng)辨識(shí)得到的估計(jì)傳遞函數(shù)具有以下4個(gè)特征：

1）該傳遞函數(shù)不存在零點(diǎn)對(duì)消，且并非是不可確定的；

2）φr（ω）=μ 為一常數(shù)；

3）線性時(shí)不變控制器 K（q，θ），應(yīng)滿足：

并且 P（q，θ）滿足式（9）。

4）閉環(huán)函數(shù)零點(diǎn)應(yīng)滿足：

基于上述理論，只需知道信號(hào)xt與yt就可以按如下的方法估計(jì)傳遞函數(shù)：

其中

是 yt與的均方誤差的一階矩。根據(jù)式（4）給出的系統(tǒng)模型，有：

即為傳遞函數(shù)參數(shù)估計(jì)式。

聯(lián)合輸入輸出法可以在已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為確定的階數(shù)時(shí)，有效辨別系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Z域與S域參數(shù)。但這種方法所估計(jì)出的傳遞函數(shù)參數(shù)是與對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的階數(shù)相關(guān)的，如果被測(cè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)階數(shù)不能在參數(shù)識(shí)別之前被確定，則聯(lián)合輸入輸出法的系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)結(jié)果可能與系統(tǒng)的真實(shí)參數(shù)存在一定的誤差。本文綜合上述兩種傳遞函數(shù)辨識(shí)理論，使用LabVIEW軟件環(huán)境，編寫出一種階數(shù)遞增的傳遞函數(shù)S域參數(shù)識(shí)別程序。該程序可同時(shí)使用兩種不同方法對(duì)SISO系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，結(jié)合兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，將得到的結(jié)果相互比對(duì)，以達(dá)到逐階辨識(shí)的目的。

2 測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)

該程序的軟件結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。使用LabVIEW圖形化編程平臺(tái)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行模塊化編程。整個(gè)系統(tǒng)分為信號(hào)發(fā)生部分、信號(hào)采集部分、信號(hào)處理部分。其中信號(hào)發(fā)生部分的主要功能是產(chǎn)生自定義頻率、幅值、偏移量的簡(jiǎn)諧信號(hào)，配置相應(yīng)的硬件實(shí)現(xiàn)程序。信號(hào)采集部分的主要功能是對(duì)被測(cè)系統(tǒng)的輸入信號(hào)與輸出信號(hào)進(jìn)行時(shí)域采集，并設(shè)置所需要的采樣方式、采樣率與待讀取采樣數(shù)。信號(hào)處理部分的主要功能是對(duì)采集到的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行分流、示波、頻譜分析，同時(shí)編寫相應(yīng)的算法實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)的階數(shù)與參數(shù)估計(jì)。

圖2 軟件結(jié)構(gòu)圖

圖3 軟件流程圖

該程序的程序流程如圖3所示。程序的設(shè)計(jì)思路：首先使用LabVIEW的仿真信號(hào)發(fā)生功能進(jìn)行簡(jiǎn)諧信號(hào)的產(chǎn)生，并且通過(guò)播放波形函數(shù)由計(jì)算機(jī)聲卡產(chǎn)生原始的電壓簡(jiǎn)諧激勵(lì)信號(hào)。該信號(hào)經(jīng)過(guò)功率放大器放大后，對(duì)被測(cè)系統(tǒng)進(jìn)行激勵(lì)。當(dāng)被測(cè)系統(tǒng)為機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，需要接入激振器將電信號(hào)轉(zhuǎn)換為機(jī)械振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行激勵(lì)[11]。使用數(shù)據(jù)采集卡對(duì)系統(tǒng)的輸入與輸出時(shí)域信號(hào)進(jìn)行采集，得到的信號(hào)分別通過(guò)聯(lián)合輸入輸出法與功率譜密度法進(jìn)行運(yùn)算，比較后得出聯(lián)合輸入輸出法所求的S域傳遞函數(shù)是否接近真實(shí)值，如果不接近，則傳遞函數(shù)模型階數(shù)遞增，并重復(fù)至可接受的值為止。

該程序的核心算法為對(duì)時(shí)域信號(hào)進(jìn)行自譜與互譜分析，并且調(diào)用LabVIEW的模態(tài)識(shí)別參數(shù)估計(jì)函數(shù)：SI Estimate Function Modal。程序后面板如圖4所示，采集到的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)的時(shí)域信號(hào)在程序內(nèi)同時(shí)進(jìn)行兩種不同的運(yùn)算處理。其中一種是計(jì)算輸入與輸出信號(hào)互功率譜，將得到的復(fù)數(shù)結(jié)果與輸入信號(hào)的自功率譜進(jìn)行除法運(yùn)算，得到傳遞函數(shù)的復(fù)函數(shù)值C1。第2種運(yùn)算是時(shí)域信號(hào)與當(dāng)前假設(shè)階數(shù)同時(shí)輸入到SI Estimate Function Modal函數(shù)中，函數(shù)經(jīng)過(guò)聯(lián)合輸入輸出法計(jì)算后，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)S域表達(dá)式：

圖4 傳遞函數(shù)參數(shù)估計(jì)核心程序

圖5 測(cè)試用RLC電路

將式（3）代入到式（13）中，可求得傳遞函數(shù)的復(fù)函數(shù)值C2。對(duì)于傳遞函數(shù)的特性，通常更關(guān)心結(jié)果的模值與輻角值，因此對(duì)C1與C2進(jìn)行模與輻角運(yùn)算。得到的結(jié)果（即 abs（C1）與 abs（C2），angle（C1）與angle（C2））分別進(jìn)行相除比較。由于一般工程上系統(tǒng)辨識(shí)的準(zhǔn)確度要求控制在95%以上，如果其中某個(gè)較小的值與較大的值比值小于0.97，就判定本次估計(jì)不準(zhǔn)確。這時(shí)測(cè)量系統(tǒng)將會(huì)把預(yù)估階數(shù)提高一階，并且再次進(jìn)行計(jì)算比較。當(dāng)較小的值與較大的值得比值大于或等于0.97時(shí)，則認(rèn)為兩種不同算法得到的結(jié)果相似度超過(guò)97%，從而本次估計(jì)結(jié)果可靠。當(dāng)前的預(yù)估階數(shù)就是系統(tǒng)階數(shù)，得到的參數(shù)就是當(dāng)前系統(tǒng)的傳遞函數(shù)S域參數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為測(cè)試該SISO系統(tǒng)傳函與階數(shù)估計(jì)虛擬儀器的真實(shí)性與可靠性，采用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方法對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行檢驗(yàn)。如圖5所示，設(shè)計(jì)一個(gè)由已知元件組成的RLC二階電路的待測(cè)系統(tǒng)，其特性如下：由一個(gè)L=100 nH的共模電感，一個(gè)R=330 Ω的電阻,一個(gè)C=100nF的電容組成。

圖6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)已知參數(shù)，可以列出這個(gè)二階電路的微分方程，求得該電路的傳遞函數(shù)表達(dá)式為

實(shí)驗(yàn)使用NI-DAQ9234數(shù)據(jù)采集卡對(duì)該二階電路的輸入輸出信號(hào)進(jìn)行采樣。由于聲卡中的信號(hào)輸出電壓小于1V，使用SINOCERA-YE5871A型功率放大器進(jìn)行信號(hào)放大。最終軟件測(cè)試結(jié)果圖分別如圖6所示。

根據(jù)軟件測(cè)試結(jié)果，得到的S域傳遞函數(shù)的最佳階數(shù)為2階，分子參數(shù)為8.859 76×10-1，分母參數(shù)為 9.39×10-7，2.87881×10-2。 代入數(shù)學(xué)表達(dá)式為

將式（3）代入后，即求得該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。最終將傳遞函數(shù)從幅頻結(jié)果與相頻結(jié)果兩個(gè)方面進(jìn)行分析，與式（5）的理論計(jì)算值對(duì)比結(jié)果如圖7所示。

從圖中可以較為清晰的看出，該SISO系統(tǒng)傳函與階數(shù)估計(jì)虛擬儀器進(jìn)行傳遞函階數(shù)與數(shù)參數(shù)估計(jì)的參數(shù)結(jié)果在低頻部分與理論分析結(jié)果符合良好。在高頻部分，幅頻結(jié)果的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論推導(dǎo)吻合得較好，但是相頻結(jié)果則出現(xiàn)了偏差，偏差值隨著頻率的增大繼續(xù)增加。

圖7 理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

對(duì)上述誤差進(jìn)行分析：根據(jù)聯(lián)合輸入輸出法原理，進(jìn)行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)估計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量取頻率分布區(qū)間廣泛的信號(hào)進(jìn)行分析，例如高斯白噪聲。由式（7）可知，在一次系統(tǒng)辨識(shí)中使用xt所具有的有效值在頻域上分布越廣，則代入方程式后計(jì)算出的結(jié)果越接近真實(shí)值。而使用基本定義法進(jìn)行系統(tǒng)的傳遞函數(shù)估計(jì)時(shí)，則應(yīng)盡量選取頻率成分單純的信號(hào)進(jìn)行分析，例如單一頻率的正弦信號(hào)。但是使用單一頻率會(huì)導(dǎo)致在遠(yuǎn)離該頻率的傳遞函數(shù)部分出現(xiàn)估算誤差。這種算法上的差異造成了該系統(tǒng)在對(duì)SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時(shí)產(chǎn)生的誤差，同時(shí)這種誤差會(huì)隨著代入表達(dá)式中的頻率值增大而繼續(xù)增大。而低頻區(qū)間的頻率值代入式（4）、式（7）后，由于頻帶范圍短，頻率值更小，從而計(jì)算誤差減小，傳參估計(jì)結(jié)果更加精確。

4 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)聯(lián)合輸入輸出法與功率譜密度法原理設(shè)計(jì)的SISO系統(tǒng)傳遞函數(shù)階數(shù)與參數(shù)估計(jì)虛擬儀器，可以準(zhǔn)確辨識(shí)出未知系統(tǒng)在低頻輸入條件下的傳遞函數(shù)階數(shù)與S域數(shù)學(xué)表達(dá)式參數(shù)。由于兩種核心算法具有不同的側(cè)重點(diǎn)，會(huì)造成在系統(tǒng)高頻輸入條件下的傳遞函數(shù)辨識(shí)結(jié)果產(chǎn)生一定的誤差，因此可以從協(xié)調(diào)兩種算法為切入點(diǎn)來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化該虛擬儀器的測(cè)量精確度。

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（編輯：劉楊）

Design of virtual instrument for identification of transfer function of SISO system based on LabVIEW

GENG Yanzhang， Lü Haifeng， AN Jun， JI Xiaofei
（School of Mechanical and Power Engineering，North University of China，Taiyuan 030051，China）

In order to solve the problem of identification of SISO system，a virtual instrument system based on LabVIEW was developed.By using two different methods named basic definition method to identify and joint input-outputmethod to estimate transfer function， this virtual instrument can get the order of the system and the parameters of the transfer function in sdomain.Based on a typical RLC second order circuit system theoretical analysis and experimental verification，this virtual instrument was shown to have high accuracy in identification of SISO systems in the low frequency range.The error analysis of the high-frequency state proves that the combination of the two algorithms will increase the error in the high-frequency range.

transfer function； system identification； joint input-output method； signal analysis；RLC second order circuit

A

1674-5124（2017）06-0103-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.06.022

2016-11-20；

2016-12-08

國(guó)家自然科學(xué)基金（51305409）；山西省青年科技研究基金（2013021020-2）

耿彥章（1990-），男，內(nèi)蒙古錫林浩特市人，碩士研究生，專業(yè)方向?yàn)槁晫W(xué)測(cè)試。