邱 慧， 王 惠， 張 佳， 喻 靜

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 揚(yáng)州 225002)

局部化的Mp-可補(bǔ)性質(zhì)對(duì)群構(gòu)造的影響

邱 慧*， 王 惠， 張 佳， 喻 靜

(揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 揚(yáng)州 225002)

已知H是群G的子群，若存在G的子群K，使得G=HK且對(duì)于H的任意極大子群Hi都有HiK

Mp-可補(bǔ)子群；H-子群；Sylow子群；p-超可解群

在群論研究中，子群的可補(bǔ)性和正規(guī)性對(duì)群的結(jié)構(gòu)起著非常重要的作用.國內(nèi)外許多學(xué)者從不同角度給出了一系列廣義的可補(bǔ)性和正規(guī)性的概念，對(duì)有限群的結(jié)構(gòu)作了深入的研究，如文獻(xiàn)[3-9].特別地，2009年，Miao等[10]從正規(guī)子群的極小補(bǔ)出發(fā)提出了M-可補(bǔ)子群的概念.緊接著，Monakhov[11]根據(jù)M-可補(bǔ)子群的概念又給出了Mπ-可補(bǔ)子群的概念，其中π為某一素?cái)?shù)集合.2016年，Gao等[12]利用給定階子群的Mp-可補(bǔ)性質(zhì)，揭示了有限群的結(jié)構(gòu).此外，2008年，郭秀云等[13]將子群在有限群中的π-擬正規(guī)性局部化，研究了Sylow子群的正規(guī)化子中的π-擬正規(guī)子群與群結(jié)構(gòu)的關(guān)系.基于以上工作并結(jié)合H-子群的幾乎m-嵌入性，本文研究了局部化的Mp-可補(bǔ)性質(zhì)對(duì)群的p-冪零性、p-超可解性的影響．

1預(yù)備知識(shí)

定義1[11]稱群G的子群H在G中是Mp-可補(bǔ)的，如果存在K≤G，使得G=HK且對(duì)于H的任意極大子群Hi都有HiK

定義2[14]設(shè)P是G的Sylowp-子群.稱G的子群H是H-子群，如果H滿足P′≤H≤Φ(P).用H(P)表示這些子群H構(gòu)成的集合．

定義3[15]設(shè)A≤G，若A覆蓋或遠(yuǎn)離G的每一個(gè)極大對(duì)(K，H)且1≤K

定義4[15]稱群G的子群A在G中是幾乎m-嵌入的，若存在T≤G和{1≤G}-嵌入子群C，使得G=AT且T∩A≤C≤A．

引理1設(shè)H是一個(gè)H-子群，若H在G中是幾乎m-嵌入的，則H在G中是{1≤G}-嵌入的．

證明因?yàn)镠在G中是幾乎m-嵌入的，所以存在B≤G及C≤G，使得G=HB且H∩B≤C≤H，其中C在G中是{1≤G}-嵌入的.又P=P∩HB=H(P∩B)=P∩B，所以P≤B，于是G=B，從而C=H，因此H在G中是{1≤G}-嵌入的．

1)若K≤M≤G，則K在M中是Mp-可補(bǔ)的；

2)若H≤K，則K/H在G/H中是Mp-可補(bǔ)的；

3)若(|H|，|K|)=1，則HK/H在G/H中是Mp-可補(bǔ)的.

引理4[1]設(shè)N是群G的非平凡可解正規(guī)子群，若N∩Φ(G)=1，則F(N)是G的包含于N的極小正規(guī)子群的直積．

1)若K≤E≤G，則K在E中是幾乎m-嵌入的；

2)若H≤K，則K/H在G/H中是幾乎m-嵌入的；

3)若(|H|，|K|)=1，則HK/H在G/H中是幾乎m-嵌入的．

2主要結(jié)果

定理1設(shè)G是群，p是|G|的極小素因子，P是G的Sylowp-子群.K是G的p-冪零子群且P≤K.如果NK(P)在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-冪零的．

證明假設(shè)結(jié)論不成立且設(shè)G為極小階反例．

2)Op(G)≠1.如果Op(G)=1，那么由上述1)知H=1，于是P是交換p-群.又因?yàn)镻是NG(P)的Sylowp- 子群且P在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，所以由文獻(xiàn)[11]中定理1知NG(P)是p-冪零的.從而NG(P)=CG(P)，由Burnside定理知G是p-冪零的，這與G的選擇矛盾，所以O(shè)p(G)≠1．

4) 最后的矛盾.依據(jù)上述3)及引理4可知Op(G)=L1×…×Lt，其中Li是G的包含于Op(G)的極小正規(guī)子群，i=1，2，…，t.易證得Op(G)=L1是G的唯一極小正規(guī)子群.如果H=Op(G)，那么由H≤Φ(P)知H=Op(G)≤Φ(G)，與上述3)矛盾，因此H

≤

Φ(G)，所以存在M<·G，使得Op(G)

≤

M且G=Op(G)×|M.如果取G的極大對(duì)(M，G)，那么H既不覆蓋(M，G)也不遠(yuǎn)離(M，G)，這與引理1的結(jié)論矛盾．

推論2設(shè)G是群，p是|G|的極小素因子，P是G的Sylowp-子群.K是G的p-冪零子群且P≤K.如果NK(P)在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，且P′在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-冪零的．

推論3設(shè)G是群，p是|G|的極小素因子，P是G的Sylowp-子群.K是G的p-冪零子群且P≤K.如果NK(P)在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，且Φ(P)在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-冪零的．

定理4設(shè)G是p-可解群，p是|G|的素因子，P是G的Sylowp-子群.K是G的p-冪零子群且P≤K.如果NK(P)在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-超可解的．

證明假設(shè)結(jié)論不成立且設(shè)G為極小階反例．

2)Op(G)≠1.由上述1)及G是p-可解群可知，G的任意極小正規(guī)子群均為初等交換p-群，故Op(G)≠1．

推論5設(shè)G是p-可解群，p是|G|的素因子，P是G的Sylowp-子群.K是G的p-冪零子群且P≤K.如果NK(P)在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，且P′在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-超可解的．

推論6設(shè)G是p-可解群，p是|G|的素因子，P是G的Sylowp-子群.K是G的p-冪零子群且P≤K.如果NK(P)在NG(P)中是Mp-可補(bǔ)的，且Φ(P)在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-超可解的．

推論7設(shè)G是p-可解群，p是|G|的素因子，P是G的Sylowp-子群.如果P在NG(P)中是M-可補(bǔ)的，且存在H∈H(P)在G中是幾乎m-嵌入的，那么G是p-超可解的．

致謝 衷心感謝導(dǎo)師繆龍教授的悉心指導(dǎo)與有益討論．

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The influence of localized Mp-supplementedpropertiesonthestructureoffinitegroups

QIU Hui， WANG Hui， ZHANG Jia， YU Jing

(School of Mathematical Science， Yangzhou University， Yangzhou， Jiangsu 225002)

A subgroupHofGiscalledMp-supplementedinGifthereexistsasubgroupKofGsuchthatG=HKandHiK

Mp-supplementedsubgroup; H-subgroup;Sylowsubgroup;p-supersolvablegroup

2017-01-19.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11501235，11271016)；安徽高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目(KJ2017A569)．

10.19603/j.cnki.1000-1190.2017.04.001

1000-1190(2017)04-0423-03

O152.1

A

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