李 志 慧，郭 戈，王 兵

(1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116026；3.國網(wǎng)吉林省電力有限公司檢修公司， 吉林 長(zhǎng)春 130021 )

基于最優(yōu)算法的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)性能研究

李 志 慧1，郭 戈*2，王 兵3

(1.大連理工大學(xué) 控制科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024；2.大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院， 遼寧 大連 116026；3.國網(wǎng)吉林省電力有限公司檢修公司， 吉林 長(zhǎng)春 130021 )

針對(duì)時(shí)隙ALOHA隨機(jī)調(diào)度下的離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，提出一種閉環(huán)系統(tǒng)特征矩陣譜條件數(shù)與極點(diǎn)配置相結(jié)合的控制器設(shè)計(jì)方法．為了同時(shí)考慮控制系統(tǒng)與通信系統(tǒng)性能，將閉環(huán)系統(tǒng)特征矩陣譜條件數(shù)的最小值問題轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)控制器設(shè)計(jì)的優(yōu)化，降低控制系統(tǒng)對(duì)信道吞吐率的要求，使得控制系統(tǒng)與較低吞吐率的通信系統(tǒng)同時(shí)穩(wěn)定，從而實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定．仿真結(jié)果表明，該方法設(shè)計(jì)的控制器具有良好的控制性能，能夠在較低吞吐率的信道中穩(wěn)定運(yùn)行．

網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)；吞吐率；時(shí)隙ALOHA；極點(diǎn)配置；最優(yōu)化

0 引 言

在制造業(yè)、車輛、航空器、航天器、船舶等領(lǐng)域，系統(tǒng)信息與控制信號(hào)之間經(jīng)常需要通過網(wǎng)絡(luò)傳輸，每個(gè)經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)連接的系統(tǒng)組成部分都稱為節(jié)點(diǎn)．當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)回路需要通信信道連接時(shí)，被稱為網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，通信信道連接傳感器與控制器或控制器與執(zhí)行器．由于網(wǎng)絡(luò)資源有限，多個(gè)傳感器共同分享一個(gè)信道時(shí)，如果沒有協(xié)作，信息將會(huì)頻繁地發(fā)生碰撞，子系統(tǒng)不能及時(shí)獲取信息，最終導(dǎo)致通信系統(tǒng)和控制系統(tǒng)不穩(wěn)定．因此，多個(gè)節(jié)點(diǎn)接入網(wǎng)絡(luò)時(shí)，接入信道的方式成為了關(guān)注的熱點(diǎn)問題．MAC層決定信息接入信道的方式，將通信系統(tǒng)中的MAC層協(xié)議與控制系統(tǒng)性能相結(jié)合，對(duì)于保證通信系統(tǒng)與控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重要意義．

通信系統(tǒng)中MAC層調(diào)度協(xié)議負(fù)責(zé)分配多用戶共享的信道資源，TDMA是多址協(xié)議中的一種信道劃分方式，其在時(shí)域上實(shí)現(xiàn)用戶信號(hào)正交化．在文獻(xiàn)[1-2]中，采用固定分配方式將用戶接入網(wǎng)絡(luò)．在文獻(xiàn)[1]中，根據(jù)MRBS序列產(chǎn)生的接入序列，子系統(tǒng)周期性地接入網(wǎng)絡(luò)中，但沒有考慮未接入信息因素的影響．文獻(xiàn)[2]中，結(jié)合最優(yōu)控制，得出周期性調(diào)度序列．然而，固定分配方式很難處理突發(fā)和分布式網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)問題．隨機(jī)分配方式[3]不同于固定分配方式，適合處理分布式網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的問題，通過退避算法[4]來減少碰撞次數(shù)，如純ALOHA調(diào)度協(xié)議[5]、時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議[6-7]、載波偵聽多路訪問/碰撞避免調(diào)度協(xié)議(CSMA/CA)[8]．在隨機(jī)接入的通信系統(tǒng)中，吞吐率是重要的性能指標(biāo)，可以利用單位時(shí)間內(nèi)通信系統(tǒng)成功傳輸信息的概率表示．純ALOHA調(diào)度協(xié)議的吞吐率很低；時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議在純ALOHA調(diào)度協(xié)議的基礎(chǔ)上改進(jìn)，其吞吐率提高了一倍；CSMA/CA調(diào)度協(xié)議通過偵聽信道提高吞吐率，但增加了成本．本文的通信系統(tǒng)采用時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議，規(guī)定各個(gè)傳感器只能在時(shí)隙開始時(shí)刻傳輸數(shù)據(jù)．在時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)隨機(jī)系統(tǒng)．

很多學(xué)者對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[9]將多個(gè)傳感器接入網(wǎng)絡(luò)的方式表述為隨機(jī)伯努利過程，但并未考慮碰撞問題．文獻(xiàn)[10]設(shè)計(jì)在一個(gè)周期內(nèi)總能保證信息接入的通信協(xié)議，但是并沒有考慮控制器的設(shè)計(jì)問題．文獻(xiàn)[11]針對(duì)具有不同傳輸速率的子系統(tǒng)設(shè)計(jì)了隨機(jī)接入序列．文獻(xiàn)[12]將執(zhí)行器接入網(wǎng)絡(luò)的過程描述為Markov過程，利用LMI進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析．文獻(xiàn)[13]將傳感器和執(zhí)行器的接入過程均描述為Markov過程，利用LMI進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析．然而它們?cè)谕ㄐ艆f(xié)議的實(shí)現(xiàn)中，仍然需要進(jìn)一步完善．本文不同于文獻(xiàn)[12]和[13]之處是，基于隨機(jī)調(diào)度協(xié)議的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，采用極點(diǎn)配置的方法分析穩(wěn)定性性能和設(shè)計(jì)控制器．

本文采用時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議，將通信系統(tǒng)的吞吐率與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及控制器設(shè)計(jì)相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)通信系統(tǒng)與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的協(xié)同設(shè)計(jì)．

1 問題描述

1.1 系統(tǒng)構(gòu)成

考慮時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下單信道離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)如圖1所示，傳感器是時(shí)間驅(qū)動(dòng)的，控制器和執(zhí)行器是事件驅(qū)動(dòng)的，n個(gè)傳感器共同分享一個(gè)信道，通過時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議競(jìng)爭(zhēng)網(wǎng)絡(luò)資源.

圖1 網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)Fig.1 Networked control systems

被控對(duì)象描述為離散時(shí)不變系統(tǒng)：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)

(1)

式中：x∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)；u∈Rm是控制輸入；A∈Rn×n和B∈Rn×m分別為適當(dāng)維數(shù)的系統(tǒng)矩陣和控制矩陣．矩陣對(duì)(A,B)可控，矩陣B是列滿秩的．

1.2 信息接入機(jī)制

時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議將時(shí)間分成相同長(zhǎng)度的時(shí)隙T，每個(gè)時(shí)隙可以發(fā)送一個(gè)數(shù)據(jù)包，各個(gè)傳感器獨(dú)立地傳輸數(shù)據(jù)，傳感器i只能在某時(shí)隙的開始時(shí)刻傳輸控制信息，如果只有一個(gè)傳感器i在某時(shí)隙傳輸信息，則傳感器i能夠成功傳輸控制信息；如果兩個(gè)或更多傳感器在同一時(shí)隙傳輸信息，則會(huì)發(fā)生碰撞，任一傳感器都不能成功傳輸信息，未成功發(fā)送的控制信息需要等待重傳；如果在某時(shí)隙傳感器都沒有傳輸信息，則信道空閑．

吞吐率S定義為某時(shí)隙成功發(fā)送數(shù)據(jù)包的平均個(gè)數(shù)，網(wǎng)絡(luò)負(fù)載G定義為某時(shí)隙發(fā)送數(shù)據(jù)包(成功發(fā)送的數(shù)據(jù)包和未成功發(fā)送需要重傳的數(shù)據(jù)包)的平均個(gè)數(shù)[14]．由于各個(gè)傳感器的統(tǒng)計(jì)特性相同，pi=S/n，Gi=G/n．吞吐率S=G(1-G/n)n-1．當(dāng)網(wǎng)絡(luò)負(fù)載為1時(shí)，系統(tǒng)的吞吐率取得最大值，Smax=(1-1/n)n-1．

1.3 時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下系統(tǒng)模型

由信息接入機(jī)制得知，傳感器i(i=1,2,…,n)接入網(wǎng)絡(luò)的過程是一個(gè)隨機(jī)過程．用二值函數(shù)δi(k):R→{0,1}表示傳感器i在時(shí)刻k接入網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)．δi(k)=1代表傳感器i在時(shí)刻k接入網(wǎng)絡(luò)，其發(fā)生的概率為pi；δi(k)=0代表傳感器i在時(shí)刻k未接入網(wǎng)絡(luò)，即未接入網(wǎng)絡(luò)的概率為1-pi．每個(gè)傳感器接入網(wǎng)絡(luò)的概率是相同的，為了表達(dá)方便，將傳感器接入網(wǎng)絡(luò)的概率表示為p=pi，每個(gè)傳感器未接入網(wǎng)絡(luò)的概率表示為1-p=1-pi．矩陣σ(k)=diag{δ1(k),…,δn(k)}表示所有傳感器在時(shí)刻k接入網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)，其由時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議的方式?jīng)Q定信息接入序列，σ(k)∈{η0,η1,…,ηi,…,ηn}，ηi(i=1,2,…,n)表示只有傳感器i接入網(wǎng)絡(luò)，僅第i個(gè)對(duì)角元素為1，其余元素為0的矩陣．η0是零矩陣，表示沒有傳感器接入網(wǎng)絡(luò)．

(2)

(3)

結(jié)合式(3)，系統(tǒng)(1)表示為

x(k+1)=[A+BKσ(k)]x(k)

(4)

本文的目的是設(shè)計(jì)使得時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下單信道離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器，分析時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下，通信系統(tǒng)吞吐率與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性和系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系．

2 穩(wěn)定性分析

對(duì)于給定傳感器個(gè)數(shù)的系統(tǒng)，其吞吐率S=pn，為了保證網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定，一方面需要保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，一方面需要保證通信系統(tǒng)的穩(wěn)定性．通信系統(tǒng)穩(wěn)定性[15]的一種解釋為系統(tǒng)的輸出量不小于系統(tǒng)的輸入量，即系統(tǒng)實(shí)際吞吐率小于系統(tǒng)所能容納的最大吞吐率．本文結(jié)合兩方面的穩(wěn)定性展開討論．接下來介紹控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性．

引理1 控制器(3)可以使系統(tǒng)(4)均方穩(wěn)定[16]，如果存在矩陣

(5)

是Schur穩(wěn)定的，?代表克羅內(nèi)克積．

定理1 系統(tǒng)(4)是均方穩(wěn)定的，如果存在控制器(3)，滿足

ρ(A?A+(S/n)(A?BK+BK?A+ (BK?BK)Φ))<1

(6)

證明 根據(jù)式(5)得

(7)

時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下的單信道網(wǎng)絡(luò)每次只能傳輸一個(gè)傳感器信息，因此有

(8)

其中I∈Rn×n．進(jìn)一步有

(9)

因此得出：

W=A?A+(S/n)(A?BK+BK?A+ (BK?BK)Φ)=p(AK?AK)+(1-p)(A?A)+p(BK?BK)(Φ-I)

(10)

其中AK=A+BK．定理1得證．

注：定理1也可以直接利用狀態(tài)誤差矩陣證明．

定義1Pmax是能使系統(tǒng)穩(wěn)定的信息未接入網(wǎng)絡(luò)概率的上界，即在信息未接入網(wǎng)絡(luò)概率小于Pmax的情況下，網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的．

注：Pmax反映了具有開環(huán)的系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，當(dāng)Pmax較大時(shí)，系統(tǒng)仍保持穩(wěn)定，則系統(tǒng)具有較好的性能，事實(shí)上，在傳輸過程中具有信息丟失的系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能也是由閉環(huán)系統(tǒng)的極值點(diǎn)決定的．很明顯，如果閉環(huán)系統(tǒng)是名義穩(wěn)定的，則Pmax大于零．直接求信息未接入網(wǎng)絡(luò)概率是比較困難的，將其轉(zhuǎn)化為求Pmax的下界．

λ^

∈spec(W)，存在λ∈spec(AK?AK)滿足

λ^-pλ≤

(11)

λ^-pλ≤(1-p)κ22(AK)(A22+BK22)

(12)

式(12)可寫為

λ^-(1-α)λ≤ακ22(AK)(A22+BK22)

(13)

其中p=1-α．

(14)

由式(14)可得因此系統(tǒng)(4)在控制器(3)下是均方穩(wěn)定的．

由式(14)得出

α< (15)

根據(jù)式(11)得出由于

λ^

是任意的，控制器K可以使系統(tǒng)(4)均方穩(wěn)定．

注：從通信角度，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)負(fù)載G=1時(shí)，系統(tǒng)的吞吐率取得最大值，Smax=(1-1/n)n-1，由于系統(tǒng)的吞吐率與未接入概率之間存在關(guān)系S=pn=(1-α)n，如果通信系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則一定存在Smax≥S，(1-1/n)n-1≥(1-α)n．

3 控制器設(shè)計(jì)

選擇控制器矩陣K∈Rm×n使得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣A+BK的譜表示為任意基數(shù)為n的自共軛復(fù)數(shù)，換言之，存在一個(gè)可逆的矩陣T∈Rn×n，滿足

(A+BK)T=TΛ

(16)

式中：Λ為實(shí)偽對(duì)角陣，滿足

其中αl±βli(l=1,2,…,n1)、γv(v=1,2,…,n-2n1)為閉環(huán)系統(tǒng)的特征值．

式(16)可以被表示為

AT-TΛ+BG=0

(17)

G=KT

(18)

(19)

對(duì)于非零數(shù)ω，Ji(Gi)=Ji(ωGi)，使得海森矩陣在最小點(diǎn)奇異，為克服此困難，選擇一個(gè)輔助目標(biāo)函數(shù)[17]

(20)

給定G的初始值，利用梯度解下降法求能使輔助目標(biāo)函數(shù)ψq(G)最小的T(G)，進(jìn)而求出具有魯棒性能的控制器K=GT-1．

4 數(shù)值仿真

圖2表示系統(tǒng)的狀態(tài)誤差，驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)控制器的有效性．圖3中(a)和(b)分別代表傳感器1和傳感器2接入網(wǎng)絡(luò)的序列，“1”代表傳感器正在傳輸信息，“0”代表傳感器沒有傳輸信息．圖3(c) 中的“1”代表信道正在傳輸信息，“0”代表信道處于空閑狀態(tài).

圖2 優(yōu)化極點(diǎn)配置控制器下系統(tǒng)狀態(tài)誤差Fig.2 The system state error under the optimal polenassignment controller

(a) 傳感器1

(b) 傳感器

(c) 信道狀態(tài)

圖3 接入序列
Fig.3 The access sequence

圖4 次優(yōu)化極點(diǎn)配置控制器下系統(tǒng)狀態(tài)誤差Fig.4 The system state error under suboptimal polenassignment controller

5 結(jié) 語

本文針對(duì)時(shí)隙ALOHA調(diào)度協(xié)議下單信道離散網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，基于閉環(huán)系統(tǒng)特征矩陣譜條件數(shù)與極點(diǎn)配置設(shè)計(jì)控制器．首先將時(shí)隙ALOHA 調(diào)度協(xié)議下網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)建模成離散的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)，然后推出通信系統(tǒng)吞吐率與控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的關(guān)系，最后利用MATLAB仿真工具，驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法的有效性．本文未考慮退避過程產(chǎn)生延時(shí)的影響，今后將對(duì)其進(jìn)一步研究．

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Performance study of networked control system based on optimal algorithm

LI Zhihui1,GUO Ge*2,WANG Bing3

(1.School of Control Science and Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China；2.School of Information Science and Technology, Dalian Maritime University, Dalian 116026, China；3.State Grid Jilin Maintenance Company, Changchun 130021, China )

For the discrete networked control system under slotted-ALOHA scheduling protocol, a controller design method is proposed based on the spectrum condition number of eigenmatrix and pole assignment of the closed system. Considering both of the performances of control system and communication system, the minimization problem of the spectrum condition number of eigenmatrix for the closed system is looked as unconstrained optimization problem to realize the optimization of the controller and reduce the need of channel throughput by control system, which can simultaneously stabilize the control system and the low-throughput communication system, and finally realize the stabilization of the networked control system. The simulation results prove that the controller designed by the method is of good control performance and can guarantee the stability in the channel with low throughput.

networked control system; throughput; slotted-ALOHA; pole assignment; optimization

1000-8608(2017)04-0418-06

2016-09-24；

2017-05-23．

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273107,61573077).

李志慧(1990-)，女，博士生，E-mail:lizhihui1650@163.com；郭 戈*(1972-)，男，教授，E-mail:geguo@yeah.net.

TP18

A

10.7511/dllgxb201704013