歐陽(yáng)通

【摘 要】伯努利試驗(yàn)是概率論的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，很多學(xué)生不理解其所對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)概率公式的內(nèi)涵，只能夠依葫蘆畫瓢。本文從獨(dú)立學(xué)院的教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生理解公式，運(yùn)用公式解決實(shí)際問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】伯努利試驗(yàn)；二項(xiàng)概率公式；應(yīng)用

伯努利試驗(yàn)是概率論中一個(gè)重要的內(nèi)容， 它是有關(guān)事件獨(dú)立性的一個(gè)固化了的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，對(duì)生產(chǎn)生活有一定的指導(dǎo)意義。因此，有必要進(jìn)行深入淺出的探討。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，選取貼近生活的事例，對(duì)伯努利試驗(yàn)及其概率計(jì)算公式的引入和應(yīng)用進(jìn)行探究。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

給出與實(shí)際相關(guān)的例子比直接告訴模型和公式更容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由易及難，由特殊推廣到一般，在解題的過(guò)程中找到一般規(guī)律。

引例：某人射擊，長(zhǎng)期來(lái)看他的命中率為0.7，比賽時(shí)重復(fù)射擊3次，求恰好命中2次的概率。

先進(jìn)行情境分析：

1.每次射擊之間沒(méi)有影響，即相互獨(dú)立；

2.射擊結(jié)果只有兩個(gè)：命中、未命中；

3.每次射擊命中的概率為0.7。

引例講解：

先記所求事件={恰有2次射擊命中}，哪2次射擊命中并不確定，不妨記A ={第i次射擊命中}，i=1，2，3。故事件B=A A ∪A A ∪ A A ，且這三個(gè)事件是互斥的。每次射擊相互獨(dú)立，所以P（A ）=0.7，P（A ）=0.3。由概率的可列可加性和事件獨(dú)立性的性質(zhì)有：

P（B ）=P（A A ）+P（A A ）+P（ A A ）

=P（A ）P（A ）P（ ）+P（A ）P（ ）P（A ）+P（ ）P（A ）P（A ）

=0.7×0.7×0.3+0.7×0.3×0.7+0.3×0.7×0.7

=3×0.7 ×0.3

從解題過(guò)程中我們可以看到，事件的三種情況的概率是相等的，故可以從組合的角度去理解：從三次射擊中選取兩次射擊是命中的，故有種情況；每種情況的概率相等，均為0.7 ×0.3，表示兩次命中，一次沒(méi)有命中。從而，（1）式可以表示成C ×0.7 ×0.3。

進(jìn)一步拓展：如重復(fù)射擊n次，命中率為p，恰好命中k次的概率如何求解？

由引例，即可以推廣為：C p （1-p） 。

進(jìn)一步引導(dǎo)：

（1）引例中射擊試驗(yàn)具有幾個(gè)特征？

答：a.每次射擊之間沒(méi)有影響，即相互獨(dú)立；

b.射擊結(jié)果只有兩個(gè)：命中、未命中；每次射擊命中的概率不變

（2）可不可以把射擊試驗(yàn)改為其它具有此類特征的試驗(yàn)？

答：當(dāng)然可以，只是換了個(gè)名字而已，本質(zhì)未變。例如：拋硬幣試驗(yàn)：每次拋硬幣相互獨(dú)立，拋硬幣的結(jié)果只有正面和反面兩種結(jié)果。

經(jīng)過(guò)層層引導(dǎo)之后，將滿足上述兩個(gè)特征的這類試驗(yàn)抽象出來(lái)，得到一個(gè)試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀猲重伯努利試驗(yàn)；以及引導(dǎo)出其對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)概率公式。

二、伯努利試驗(yàn)及二項(xiàng)概率公式

定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)滿足：

◆試驗(yàn)條件相同，重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)n次；

◆每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A，A，P（A）=p，0

定理：在伯努利概型中，若一次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p（0

三、模型的應(yīng)用

例：有一批棉花種子，其出苗率為0.8，現(xiàn)每穴種4粒種子，求恰有2粒出苗的概率。

分析：把種一粒種子當(dāng)成一次試驗(yàn)，每粒種子出苗與否是相互獨(dú)立的；每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種：出苗、未出苗，所以該試驗(yàn)為4重伯努利試驗(yàn)。

故：n=4，p=0.8，q=1-p=0.2

p （2）=C p q =C 0.8 x0.2

=0.1536

四、總結(jié)

伯努利試驗(yàn)的兩個(gè)條件是缺一不可的，在利用其概率計(jì)算公式時(shí)，首先要判斷試驗(yàn)是否屬于伯努利試驗(yàn)，如果是才能使用二項(xiàng)概率公式，否則出錯(cuò)！

【參考文獻(xiàn)】

[1]柴根象，蔣鳳瑛，楊筱菡.概率統(tǒng)計(jì)簡(jiǎn)明教程[M].北京：高等教育出版社，2012