唐舉

[摘 要] 以認(rèn)知精制理論在陳述性知識(shí)中的廣泛成功實(shí)踐為背景，以探索在程序性知識(shí)中的應(yīng)用為目的，在數(shù)學(xué)習(xí)題課教學(xué)中，師生共同從約束條件、函數(shù)形式、問(wèn)題情境三個(gè)維度對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式，教學(xué)過(guò)程以學(xué)生解題—教師變式—學(xué)生變式為主線，以學(xué)生對(duì)變式的可行性分析和教師的點(diǎn)評(píng)為結(jié)束點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)題目組的形式區(qū)別和本質(zhì)聯(lián)系，在程序性步驟上形成更強(qiáng)烈的信息刺激，達(dá)到對(duì)知識(shí)的精制；教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)解題明顯更加積極，且更加主動(dòng)去概括題目組的一般性解法。

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)知精制；變式；程序性知識(shí)；分離參數(shù)；轉(zhuǎn)化思想

認(rèn)知心理學(xué)的研究證明：如果要使信息保持在記憶中，并與記憶中已有的信息相聯(lián)系，學(xué)習(xí)者必須對(duì)材料進(jìn)行某種形式的認(rèn)知重組或精制。國(guó)內(nèi)目前盛行的合作學(xué)習(xí)方式中，向他人講述材料就是認(rèn)知精制的過(guò)程，再比如聯(lián)想記憶、編碼記憶都是對(duì)原有內(nèi)容的精制，極大地提高了記憶效率。但是，合作學(xué)習(xí)主要是針對(duì)陳述性知識(shí)的言語(yǔ)精制，專門針對(duì)程序性知識(shí)的認(rèn)知精制學(xué)習(xí)方式鮮有文章介紹。數(shù)學(xué)是程序性知識(shí)占比最大的學(xué)科，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，最大的困難是加工完信息A后，不知道使用哪種方法到達(dá)B，而這種方法可能是學(xué)生已經(jīng)掌握的，自己卻檢索不出來(lái)。因此，數(shù)學(xué)迫切需要一種適合的認(rèn)知精制學(xué)習(xí)方式。

基于以上理論，筆者在習(xí)題課教學(xué)中大膽嘗試，以題目變式為主要教學(xué)方式，尋求知識(shí)方法的精制。

一、約束條件的變式——精制解題時(shí)的方法策略優(yōu)化

原題：設(shè)函數(shù)[f（x）=x3-3x+a]，若該函數(shù)在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

學(xué)生1：[f′（x）=3x2-3]，由單調(diào)性得[f（x）min=f（1）]≤[0]，[f（x）max=f（2）]≥[0]，得[-2]≤[a]≤[2]。

教師：很好，考慮到了極值，而且端點(diǎn)處也沒(méi)有漏解。請(qǐng)同學(xué)們看變式：

變式1：設(shè)函數(shù)[f（x）=x3-3x+a]，若該函數(shù)在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有[2]個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

學(xué)生1：方法一樣，只要再求出極值[f（1）]，[f（x）min=f（1）]<[0]，[f（0）]≥[0]，得[0]≤[a]<[2]。

教師：為什么端點(diǎn)處一開(kāi)一閉呢？

學(xué)生1：我是畫圖看出來(lái)的，要保證2個(gè)交點(diǎn)。

教師：有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，你能編個(gè)變式嗎？

學(xué)生1：把題目中零點(diǎn)個(gè)數(shù)改為1個(gè)。

教師：好，它就作為我們的變式2。

變式2：設(shè)函數(shù)[f（x）=x3-3x+a]，若該函數(shù)在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

學(xué)生1：只要再把圖像往下拉動(dòng)一點(diǎn)，保證[f（0）]在[x]軸下面，[f（2）]在上面，得到[-2]≤[a]<[0]。

教師：很形象，但是正確答案是[-2]≤[a]<[0]或[a=2]。為什么會(huì)漏解？ 怎樣避免這種錯(cuò)誤呢？

學(xué)生1：[a=2]時(shí)是個(gè)特殊情況，如果分離參數(shù)[a]，看成直線和一個(gè)固定圖像的問(wèn)題就很直觀了。

教師：既然轉(zhuǎn)化成橫線與定圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，那還可以怎么變呢？

學(xué)生1：還可以把區(qū)間改變。

根據(jù)學(xué)生想法，區(qū)間[[0，2]]改成[[-1，1]]，變式如下：

變式3：設(shè)函數(shù)[f（x）=x3-3x+a]，若該函數(shù)在區(qū)間[[-1，1]]內(nèi)恒有[f（x）]≥[0]，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

學(xué)生1：[a]≥[2]。

解析：其實(shí)，學(xué)生編制變式2的過(guò)程中，已經(jīng)在無(wú)意識(shí)地對(duì)變式進(jìn)行精制，因?yàn)榫谱鳛橐环N對(duì)原有知識(shí)的精細(xì)加工過(guò)程，是對(duì)所學(xué)內(nèi)容附加信息的過(guò)程，它可以是邏輯上的推理，也可以是對(duì)信息的擴(kuò)展與延伸，增加已知的例證，補(bǔ)充某些細(xì)節(jié)，進(jìn)行某種類推。在為本題備課時(shí)筆者發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生用的都是不分離參數(shù)的解法，這也無(wú)可厚非，因?yàn)檫^(guò)程簡(jiǎn)潔且答案正確，但是原題蘊(yùn)藏著很大的探究?jī)r(jià)值，題目中約束條件的改變，促使學(xué)生在思維定式中犯常規(guī)性錯(cuò)誤。合理的契機(jī)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)方法先“回爐”再進(jìn)行精細(xì)加工，不僅掌握了分離參數(shù)法的“化繁動(dòng)為簡(jiǎn)動(dòng)”的妙處所在，更遵循了科學(xué)試錯(cuò)、對(duì)比記憶法的學(xué)習(xí)規(guī)律，使得學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更加清晰和完善。

二、函數(shù)形式的變式——精制歸納時(shí)的思想本質(zhì)理解

變式4：設(shè)函數(shù)[f（x）=x3-3ax+1（x∈R）]，若對(duì)于任意[x∈[-1，1]]，都有[f（x）]≥[0]成立，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是_______________。

學(xué)生的兩種典型思路：

思路1：分離參數(shù)得[a]≤[x3+13x]，設(shè)[g（x）=x3+13x]，得[g′（x）=2x3-13x2]，令[g′（x）=0]得[x=2-13]，由單調(diào)性得[g（x）min=g（2-13）=2-23]，所以[a]≤[2-23]。

思路2：①[x=0]時(shí)，代入原式[0]≤[1]恒成立，[a∈R]，②[x∈（0，1]]時(shí)，[a]≤[x3+13x]，③[x∈[-1，0）]時(shí)，[a]≥[x3+13x]，后兩種情況因?yàn)閇x≠0]，在求[x3+13x]最值時(shí)出現(xiàn)困難。

教師：因?yàn)閇x≠0]，[g（x）=x3+13x]的圖像出現(xiàn)了漸近線，因此分離參數(shù)后函數(shù)圖像變繁了，是否還有更好的辦法？

學(xué)生2：原函數(shù)是三次函數(shù)， 可直接求導(dǎo)。然后討論[a]的正、負(fù)、零三種情況，[a]>[0]時(shí)，再討論[a]與[1]的大小，結(jié)合單調(diào)性即可得到答案。

教師：變式4中分離參數(shù)并非最優(yōu)法，直接求導(dǎo)更加簡(jiǎn)單。

解析：兩種方法究竟孰優(yōu)孰劣，答案在數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化與劃歸思想里，因?yàn)榉蛛x不是目的，只是手段，分離參數(shù)是化繁動(dòng)為簡(jiǎn)動(dòng)，分類討論是化整體為部分，數(shù)形結(jié)合是化數(shù)為形，三者又都?xì)w于轉(zhuǎn)化思想。做題時(shí)只有上升到數(shù)學(xué)思想的層面，才能如登臨絕頂，一覽眾山，否則，拘泥于方法的套路，必然會(huì)迷失在題海之中。原題的“回爐”和二次精細(xì)加工在信息源的周圍添加了很多與之相關(guān)聯(lián)的有用信息，提升了思維的高度，更精準(zhǔn)地在儲(chǔ)備的知識(shí)方法中找到合適的求解工具。endprint

三、問(wèn)題情境的變式——精制審題時(shí)的信息聯(lián)想記憶

變式5：設(shè)函數(shù)[f（x）=14x4-32x2+ax]，若該函數(shù)在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

學(xué)生3：把函數(shù)極值點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，變式5即為[f′（x）=x3-3x+a]在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，和原題是一樣的。

教師：這么快就解完了！既然又回歸到原題，那過(guò)程就略去了，你還能再變式嗎？

學(xué)生3：要是等價(jià)推導(dǎo)，可以轉(zhuǎn)化成方程的解或者圖像交點(diǎn)問(wèn)題。

教師：很好，請(qǐng)同學(xué)們都來(lái)試試看，還可以怎么變。

下面整理出學(xué)生們寫出的幾種可行變式。

變式6：已知方程[x3-3x+a=0]，在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有2個(gè)解，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

變式7：設(shè)動(dòng)直線[y=3x-a]與三次函數(shù)[y=x3]的圖像在區(qū)間[[0，2]]內(nèi)有2個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)[a]的取值范圍是________。

解析：相同的數(shù)學(xué)問(wèn)題常以不同的問(wèn)題情境呈現(xiàn)，遇到不熟悉的問(wèn)題情境，學(xué)生會(huì)思路受阻，無(wú)法將文字條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)形式。因此，在教學(xué)中，要注重知識(shí)方法的“成片開(kāi)發(fā)”，梳理其縱橫聯(lián)系，揭示其本質(zhì)屬性。變式6與7的編制其實(shí)是將思維逆推一步，改變了問(wèn)題情境，但是問(wèn)題的本質(zhì)完全沒(méi)有變，這樣的一種精制過(guò)程重在運(yùn)用聯(lián)想的記憶方法喚醒信息源與其他信息之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了認(rèn)知精制的根本目的——更長(zhǎng)久地保持信息和更高效地使用信息。

以變式為載體的認(rèn)知精制教學(xué)方式讓學(xué)生在解題過(guò)程中透過(guò)現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，并自己編題，經(jīng)過(guò)這樣的精細(xì)加工之后，在原有的知識(shí)方法的旁邊生發(fā)出了很多的相關(guān)內(nèi)容，并合理有序地納入到自己的知識(shí)方法體系中去，從而構(gòu)建出一個(gè)連帶反應(yīng)更強(qiáng)烈的知識(shí)方法網(wǎng)絡(luò)體系，以后只要出現(xiàn)一個(gè)關(guān)鍵詞，便可以立即檢索出很多相聯(lián)系的重要信息。

在變式中鞏固舊知識(shí)的記憶，在方法的優(yōu)化上不斷滲透數(shù)學(xué)思想方法，最終達(dá)到認(rèn)知上的精制，這樣的教學(xué)方式值得探索，希望更多的教育工作者參與到認(rèn)知精制理論的教學(xué)實(shí)踐中來(lái)。

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責(zé)任編輯 李杰杰endprint