鄭育玲

摘 要 導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)新增的內(nèi)容之一，它的引入在中學(xué)數(shù)學(xué)中起著非常重要的作用。導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中解決問題常用并且十分便利的手段，不僅能解決函數(shù)單調(diào)性、極值和最值問題，還能解決平面幾何、立體幾何的相關(guān)問題。導(dǎo)數(shù)的方法與傳統(tǒng)的方法比較更為簡潔靈活，因此研究導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題意義重大。本文主要對導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中幾何應(yīng)用問題的進行了詳細的歸納和總結(jié)，給出實際例子進行分析，最終給出導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用總結(jié)出一套解題模式或解題策略，以期指導(dǎo)學(xué)生對這類題型的解題訓(xùn)練。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù) 幾何 定積分

1導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用內(nèi)容分析

課本是通過速度及其變化率來引出導(dǎo)數(shù)概念的，并進一步介紹了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等性質(zhì)中的作用。新課程中，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的處理需要反映以下三個方面的特點。

1.1重視直觀，數(shù)形結(jié)合，突出本質(zhì)

在2004年開始實施的普通高中新課程數(shù)學(xué)實驗中，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)不再以極限的嚴格定義為基礎(chǔ)，而是通過大量的例子，直接引入導(dǎo)數(shù)定義，并直接用極限符號表述由平均變化率到瞬時變化率的過程，這里的處理體現(xiàn)出形的直觀與生動，符號與數(shù)的刻畫的精確與便利，同時也揭示出導(dǎo)數(shù)的幾何意義與代數(shù)特征，符合高中學(xué)生的年齡特征與學(xué)習(xí)特點。

另外，利用導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的單調(diào)性、從曲邊梯形面積的計算與變速運動物體所走路程的計算引入定積分等，都充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，在高中階段這部分內(nèi)容的教與學(xué)更需要突出形對數(shù)的直觀展示。

1.2關(guān)注過程，歸納通法，控制運算

教學(xué)中應(yīng)盡量從學(xué)生熟悉、易理解的問題情境中提煉數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造導(dǎo)數(shù)工具，讓學(xué)生理解應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，并從通性通法的角度認識導(dǎo)數(shù)工具的價值與意義。

作為多項式函數(shù)的特例，一次函數(shù)與二次函數(shù)為初中、高中階段學(xué)生所熟悉的；而三次函數(shù)既有極大值、極小值，又含有零點，用導(dǎo)數(shù)處理較為方便，因此，高中階段，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)時，大多數(shù)以不超過三次的多項式函數(shù)作為載體進行剖析，以控制運算的復(fù)雜性.其他類型的函數(shù)則用類似的方法進行處理。

1.3動靜結(jié)合，加強導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)與最優(yōu)化問題中的應(yīng)用

在應(yīng)用時，應(yīng)從動靜兩個方面理解導(dǎo)數(shù)f'（x）。

（1）若把f'（x）看成是f（x）。在點x出的導(dǎo)數(shù)，那么，這是點（x，f（x））是靜止的，f'（x）是確定的。

（2）當點（x，f（x））沿著曲線f（x）運動時，f'（x）隨著變化，這是f'（x）就是x的函數(shù)，它是變化著的。

因此，在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)性質(zhì)是，要從靜止與運動的角度來細致地加以刻畫，既有單調(diào)性，也有最值、極值問題，并借助圖像進行分析，把握函數(shù)的特征。

在利用導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題時，要從實際問題中確定相關(guān)的最值與極值問題模型，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，加以解決。

2例題解析

2.1平面圖形旋轉(zhuǎn)所得幾何體體積問題

解題策略：（1）確定旋轉(zhuǎn)曲線f（x）；（2）確定定積分的上下限；（3）運用定積分求解該旋轉(zhuǎn)體的體積：V=€%i（f（x））2dx。

例1 由曲線y=和直線x=1及x軸圍成的平面圖形饒x軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的體積為 。

解：由題意幾何體的體積€%iXdx=（€%ix2）|=。

解題引導(dǎo)：確定定積分的上下限→根據(jù)定積分的幾何意義即可求出.（1）轉(zhuǎn)化：將求幾何體的體積轉(zhuǎn)化為運用定積分求解，將形轉(zhuǎn)化為數(shù)；（2）運用定積分求解簡單的幾何圖形的體積：V=€%i（f（x））2dx；（3）注意a，b的取值。

2.2定積分在求面積中的應(yīng)用

解題策略：（1）觀察所求圖形，是否需要分割成若干個曲邊梯形進行求解；（2）確定定積分的上下限：通常是所學(xué)初等函數(shù)的交點，聯(lián)立函數(shù)求解交點坐標；（3）確定被積函數(shù)；（4）求出各曲邊梯形的面積和。

例2 函數(shù)y=2x與函數(shù)y=3x2所圍圖形的面積是_____。

解：聯(lián)立直線y=2x與拋物線y=3x2，解得交點為（-3，-6）和（1，2）拋物線y=3x2與x軸負半軸交點（-，0）。設(shè)所圍部分面積為S，則S=（3x22x）dx=所以所圍部分的面積為。

解題引導(dǎo)：求所圍封閉部分的面積，先要對所圍部分進行分割到三個象限內(nèi)，分別對三部分進行積分求和即可。（1）求幾何圖形的面積：在直角坐標系中，由曲線f（x）、g（x），直線x=a，x=b（a

總之，把握好導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用，充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，突出本質(zhì)特征，提高學(xué)生的求解運算能力。

參考文獻

[1] 尹學(xué)軍. 關(guān)于高中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用教學(xué)的思考[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究. 2011（03）.