【摘 要】對于除法運(yùn)算中整除的情況，也就是余數(shù)為0的情況，應(yīng)當(dāng)視為是“有余數(shù)”還是“沒有余數(shù)”，對于這一問題一直存在不同意見，類似的問題在運(yùn)算以及幾何圖形的認(rèn)識等方面都存在。其中蘊(yùn)含著的是辯證法中對立統(tǒng)一的思想，也即任何事物的存在，都伴隨著其對立一方的存在，對立的雙方在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)活動，感悟這樣的思想。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想 對立統(tǒng)一 數(shù)學(xué)課程

在一份小學(xué)數(shù)學(xué)試卷中，有這樣一個(gè)試題：

一個(gè)有余數(shù)的除法算式中，除數(shù)是5，余數(shù)最大可能是幾？余數(shù)有幾種可能？

此試題考查的知識點(diǎn)顯然是“余數(shù)要比除數(shù)小”，因此對于“余數(shù)最大可能是幾”的問題，其答案自然應(yīng)當(dāng)為4。但對于“余數(shù)有幾種可能”的問題，一些教師的意見存在分歧。

分歧的焦點(diǎn)在于，除了余數(shù)可能是“1，2，3，4”之外，對于整除的情況，應(yīng)當(dāng)看作是“沒有余數(shù)”還是“有余數(shù)”？換句話說，余數(shù)為0的情況應(yīng)當(dāng)看作是“有余數(shù)”還是“無余數(shù)”？

一、沒有余數(shù)與余數(shù)為0

如果從日常生活經(jīng)驗(yàn)來看，比如6個(gè)蘋果平均分給2個(gè)小朋友，每人分得3個(gè)蘋果，此時(shí)通常就叫作“分完”了，或者叫作“無剩余”。如果是7個(gè)蘋果平均分給2個(gè)小朋友，就是每人分得3個(gè)，剩下1個(gè)，此時(shí)就叫作“沒有分完”，或者叫作“有剩余”。這樣就形成了“有余數(shù)”和“無余數(shù)”的兩種情況，這兩種情況表現(xiàn)出“有”與“無”的關(guān)系，是截然相反、相互對立的關(guān)系。

用數(shù)學(xué)的語言說，在正整數(shù)范圍內(nèi)研究除法，自然會出現(xiàn)“整除”和“不整除”兩種情況。用字母a表示被除數(shù)，字母b表示除數(shù)，如果數(shù)a能夠被數(shù)b整除，那么這個(gè)除法算式就可以寫為如下的算式1：

算式1：[a÷b=q]

其中的字母q表示除法的結(jié)果，也叫作商①。如果這樣的除法不能整除，除法運(yùn)算的結(jié)果就會出現(xiàn)余數(shù)，如果用字母r表示這個(gè)余數(shù)②，那么這個(gè)算式就要寫為如下的算式2：

算式2：[a÷b=q……r]

由于“余數(shù)要比除數(shù)小”的要求，其中余數(shù)r的取值可以是“1，2，……b-1”，一共有b-1種可能性。從形式上看，整除的算式1中沒有余數(shù)“r”，不能整除的算式2中有余數(shù)“r”。由此看出，整除的除法和有余數(shù)除法從算式上看也表現(xiàn)出“有”與“無”的差異，是一種對立的關(guān)系。

而數(shù)學(xué)家思考問題常常會運(yùn)用辯證法的思維方式，認(rèn)為對立的雙方在一定的條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的。因此就會創(chuàng)造條件將處于對立狀態(tài)的對象納入到同一個(gè)系統(tǒng)之中，使之成為同一個(gè)系統(tǒng)中的不同狀態(tài)，這種思維方式通常叫作“使之一致（Unifying）”。

運(yùn)用“使之一致”的思維方式，就可以轉(zhuǎn)變對“沒有余數(shù)”的看法，把“無”看作“有”，也就是把“無余數(shù)”看作是“有余數(shù)，且余數(shù)為0”。這樣“無余數(shù)”的情況就與“有余數(shù)”的情況取得一致，統(tǒng)一到一個(gè)系統(tǒng)中了。前面的算式1和算式2就可以統(tǒng)一為算式3：

算式3：[a÷b=q……r]

只需要認(rèn)為其中的余數(shù)r可以是0，把“沒有余數(shù)”看作是“余數(shù)為0”，余數(shù)“r”的取值范圍從“1，2，……b-1”的b-1種可能，擴(kuò)大為“0，1，2，……b-1”的b種可能。其中的余數(shù)r為0時(shí)就是前面的算式1，r不等于0時(shí)就是算式2的情況。這樣就將截然不同、對立關(guān)系的兩種除法算式，統(tǒng)一為一個(gè)算式了。這個(gè)算式在數(shù)論中通常叫作“帶余除法定理”，常常寫為乘法的形式：

算式4：[a=bq+r， 0≤r

雖然叫作“帶余除法定理”，但其中是包含“r=0”，也就是整除的情況，此時(shí)把余數(shù)為0認(rèn)為是有余數(shù)的。因此前面試題中，如果把余數(shù)為0認(rèn)為是“無余數(shù)”，那么答案就是4種可能；如果把余數(shù)為0認(rèn)為是有余數(shù)，那么答案自然就是5種可能了。

類似的例子還有，對于“2[÷]5”，如果在整數(shù)范圍內(nèi)，這個(gè)算式是沒有意義的，就像把2個(gè)蘋果平均分給5個(gè)人，這個(gè)分的過程是無法實(shí)現(xiàn)的。但是在數(shù)學(xué)中，仍然認(rèn)為這個(gè)算式是有意義的，也就是認(rèn)為除法的結(jié)果商為0，余數(shù)等于被除數(shù)2。寫為：

2[÷]5=0……2

在教學(xué)或者考試中，對于這種具有人為規(guī)定意義的內(nèi)容，重要的是理解規(guī)定的道理，感悟其中蘊(yùn)含的思想，而不是結(jié)論本身的對錯。

二、如何理解運(yùn)算中的“無”

小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，乘法運(yùn)算的意思是“相同加數(shù)求和”，就是說至少應(yīng)當(dāng)是兩個(gè)或者兩個(gè)以上的相同加數(shù)相加，才會出現(xiàn)乘法運(yùn)算。比如“[3×2]”，可以看作是2個(gè)3相加，即“3+3”，也可以看作是3個(gè)2相加，即“2+2+2”。

按照這樣的理解，乘法算式“[1×1]”以及“[0×0]”等算式是沒有意義的，因?yàn)椤跋嗤訑?shù)相加”的過程根本沒有發(fā)生，對應(yīng)的“相同加數(shù)求和”的加法算式也無法寫出。因此如何理解諸如“[1×1=1]”以及“[0×0=0]”等沒有乘法意義的乘法算式，就成為數(shù)學(xué)教學(xué)需要研究的問題。事實(shí)上，這些算式的結(jié)果都是數(shù)學(xué)家做出的人為規(guī)定，有關(guān)乘法運(yùn)算這樣的規(guī)定可以概括為如下兩條：

l規(guī)定1：1乘任何數(shù)的結(jié)果還是這個(gè)數(shù)。

l規(guī)定2：0乘任何數(shù)的結(jié)果都是0。

任何人為規(guī)定通常有兩個(gè)方面的來源，其一是符合人的直覺，其二是符合相應(yīng)的規(guī)律或規(guī)則。比如，為什么規(guī)定“1乘任何數(shù)的結(jié)果還得這個(gè)數(shù)”？比如“[2×1]”，除了直覺上表示“1個(gè)2”或者“2個(gè)1”相加，結(jié)果應(yīng)當(dāng)?shù)扔?，更重要的原因是要符合運(yùn)算律，比如可以把數(shù)字1看作是“4-3”的結(jié)果，那么就可以運(yùn)用分配律對“[2×1]”進(jìn)行如下計(jì)算：

其結(jié)果等于2，說明規(guī)定“[2×1]=2”不僅符合直覺，也不違背乘法對加、減法的分配律。

對于“0乘任何數(shù)的結(jié)果都是0”的規(guī)定，也有類似的原因，比如可以把0看作是“3-3”的結(jié)果，也運(yùn)用分配律對“[2×0]”進(jìn)行計(jì)算：

這就說明規(guī)定“[2×0]=0”不僅與“2個(gè)0相加等于0”的直覺相符，同時(shí)與分配律也不矛盾。正是這樣的規(guī)定，將“無乘法”與“乘法”變得一致，實(shí)現(xiàn)了“無”與“有”的統(tǒng)一。

在初中數(shù)學(xué)課程中，表示相同因數(shù)相乘的指數(shù)與冪的運(yùn)算中，也有類似情況。比如3個(gè)4相乘“[4×4×4]”，可以表示為冪的形式“[43]”，其中的“4”叫作冪的底，“3”叫作指數(shù)。在這里就出現(xiàn)了如何理解“[41]”和“[40]”的問題。這兩種情況都沒有發(fā)生“相同因數(shù)相乘”的過程，因此就需要規(guī)定相應(yīng)的取值。

如果規(guī)定“[41=4]”，直覺上比較容易理解。但是如何規(guī)定“[40]”的取值，從直覺上就很難看出來。因此就需要運(yùn)用“同底數(shù)冪相除，指數(shù)相減”的運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算，可以把指數(shù)“0”看作是“2-2”的結(jié)果：

[40=42-2 =4242 =1]

鑒于運(yùn)用運(yùn)算律計(jì)算結(jié)果等于1，因此就需要規(guī)定“[40=1]”，更一般的規(guī)定就是“[a0=1，a≠0]”。

在高中數(shù)學(xué)課程中，有一個(gè)與運(yùn)算相關(guān)的概念叫作“階乘”，表達(dá)的是一個(gè)自然數(shù)依次連續(xù)向下乘每一個(gè)自然數(shù)，比如3的階乘等于“[3×2×1]”，用符號“3！”表示。按照這樣的定義，那么“1！”和“0！”就成為特例，其中事實(shí)上的階乘過程并沒有發(fā)生。

如果規(guī)定“1！=1”是符合直覺的，也是與相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律不矛盾的。如果用n表示任意一個(gè)自然數(shù)，按照階乘的定義，應(yīng)當(dāng)有如下的等式成立：

n！=n（n-1）！

在等式中讓n=2，那么就得到：

2！=2[×]1！

由于等式左邊的2！等于2，所以等式右邊的1！就應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。因此對于規(guī)定“1！=1”，直覺與運(yùn)算規(guī)律都是相符合的。同樣憑直覺看，“0！”的取值似乎應(yīng)當(dāng)是0。在前面等式中，如果n等于1，那么就得到：

1！=1[×]0！

由于等式左邊1！等于1，因此等式右邊0！不能等于0，而應(yīng)當(dāng)?shù)扔?。因此不得不違背直覺，規(guī)定“0！=1”。雖然這樣的規(guī)定從直覺上難以接受，但按照與運(yùn)算律無矛盾的原則，只能這樣規(guī)定。有了這樣的規(guī)定，就將沒有發(fā)生階乘運(yùn)算的特例融入到階乘運(yùn)算的系統(tǒng)中了，實(shí)現(xiàn)了“無”與“有”的一致和統(tǒng)一。

三、點(diǎn)與線的對立統(tǒng)一

在幾何圖形的研究中，也經(jīng)常需要這種對立統(tǒng)一的眼光。比如，平面上的三角形和梯形應(yīng)當(dāng)是完全不同的圖形。如果改變一下思維方式，用運(yùn)動的眼光看待梯形，那么三角形就可以與梯形統(tǒng)一到一個(gè)系統(tǒng)中。

所謂運(yùn)動的眼光，是將作為四邊形的梯形，看作是一條自下而上運(yùn)動線段掃過的軌跡所形成的圖形（見圖1）。

圖1中，運(yùn)動的線段EF從AB位置運(yùn)動到CD位置，留下的軌跡就形成了梯形ABCD。運(yùn)動線段EF在運(yùn)動過程中，其長度均勻地縮短，如果繼續(xù)向上運(yùn)動，直至其長度變?yōu)?，也就是線段EF變?yōu)榱艘粋€(gè)點(diǎn)，其軌跡就形成了一個(gè)三角形（見圖2）。

點(diǎn)與線段原本是完全不同的幾何圖形，不僅從直觀感受上看是截然不同的，從度量的角度看，線段是有長度的，而點(diǎn)是沒有長度的。按照對立統(tǒng)一的思維方式，可以把“無長度”看作是“有長度，且長度為0”，那么點(diǎn)就可以認(rèn)為是特殊的線段，因此也就可以將三角形看作是特殊的梯形，梯形面積公式“[a+b2h]”中的上底長度b為0，那么這一公式就轉(zhuǎn)變?yōu)槿切蚊娣e公式“[a2h]”了。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)生與發(fā)展的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中蘊(yùn)含著的思想，歷來是我國數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)。對立統(tǒng)一作為辯證法思想的重要內(nèi)容，自然應(yīng)當(dāng)融入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的設(shè)計(jì)中去。讓學(xué)生“在活動中經(jīng)歷過程，在過程中獲得經(jīng)驗(yàn)，在經(jīng)驗(yàn)中感悟思想”。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹.小學(xué)數(shù)學(xué)這樣教[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）