劉文洋，王鵬，張文福

基于能量變分原理的單向懸索結構固有振動分析

劉文洋1，王鵬2，張文福3

（1.黑龍江八一農墾大學工程學院，大慶 163319；2.中國建筑股份有限公司技術中心；3.南京工程學院建筑工程學院）

固有振動分析是結構動力分析的基礎，其目的是計算結構的固有頻率和振型。基于能量變分原理提出了單向懸索結構的固有振動分析的簡化方法，給出了自振頻率和振型的簡化計算公式。利用有限元方法對計算結果進行了驗證，誤差均在5%以內。與傳統(tǒng)的Rayleigh法相比，由于考慮了各階振型之間的相互耦合作用，計算結果更加精確。該方法可用于懸索結構的動力分析，也可作為有限元方法的補充。

單向懸索結構；固有振動；能量變分原理；Rayleigh法

固有振動分析的主要任務是確定結構的固有頻率和振型，它是結構抗風和抗震等動力分析的基礎。應用有限元法可以較精確地求出懸索結構的頻率和振型，然而這種方法需要專門的計算程序，不便于一般工程技術人員掌握，特別是在結構方案設計階段，經(jīng)常要對結構形式、結構或構件尺寸以及網(wǎng)格劃分等進行調整，這樣每次均要對計算機的輸入數(shù)據(jù)進行大量的更改，使得計算工作加大，計算時間加長，因而不便對更多的結構方案進行快捷的比較分析。在這種情況下，尋求一種既滿足一般工程精度要求、又簡便易行的簡化計算方法就顯得尤為必要。

近些年來，國內外學者針對橋梁和屋蓋懸索結構固有振動分析的簡化方法做了許多工作。謝官模[1]等人用Rayleigh法推導出了大跨度懸索橋豎向振動基頻的近似計算公式，考慮了吊桿和索夾等對動能的影響。鞠小華[2]用Rayleigh-Ritz法對已有的懸索橋一階豎向自由振動頻率近似計算公式做了進一步的改進，考慮了邊纜和橋塔剛度的影響以及懸索橋自由振動的實際振型。才英俊[3]基于能量變分原理給出了單向勁性索結構振動頻率的簡化計算公式。沈世釗[4]用Rayleigh-Ritz法推導得出了索網(wǎng)、雙層索系和橫向加勁單向懸索結構自振頻率的簡化計算公式。張文福[5]分別用Rayleigh-Ritz法和Rayleigh法推導得到了索網(wǎng)結構、雙層索系和勁性索結構振動頻率的簡化計算公式。

在前述研究的基礎上，基于能量變分原理對單向懸索結構進行研究，提出了固有振動分析的簡化方法。

1 分析的基本思想

式中，w為懸索結構的豎向位移。

將分析限于微幅振動情況，略去高于二階的微量，計算出結構的總勢能，然后由勢能駐值原理得到基于能量變分原理的振型方程，由振型方程可求得懸索結構各階頻率與振型。

2 單向懸索結構的固有振動分析

2.1 基本假定[4-5]

對單向懸索結構進行固有振動分析時，首先作如下基本假定：（1）索是理想柔性的，只能承受拉力；（2）索的材料符合虎克定律；（3）索是小垂度的，且結構只做微幅振動；（4）僅考慮豎向位移，忽略橫向位移；（5）左右支座均為固定鉸支座。

2.2 能量變分法

圖1 單向懸索結構計算簡圖Fig.1Structural model of single-cable structure

式中，f為索的垂度，l為索的跨度。

設振動位移函數(shù)為

如圖1所示的單向懸索結構，其曲面方程為

其中，W（x）與時間t無關，但應滿足邊界條件，稱之為振型函數(shù)或模態(tài)函數(shù)，其形式選為

經(jīng)推導得到單向懸索結構固有振動問題的總勢能為[5-8]

式中，E為材料的彈性模量，A為懸索的截面面積。

將式（2）和式（4）代入到式（5），經(jīng)積分可得到單索結構的總勢能表達式，由勢能駐值原理，?Π/?Am= 0，可得

式（6）就是基于能量變分原理導出的單索結構的振型方程，由該方程可求得各階頻率與振型。

對稱振動時（m、i均為奇數(shù)），取p＝7，則方程（6）的展開式為

這是一個關于四個未知數(shù)（A1、A3、A5、A7）的4×4階齊次線性方程組。欲使Am有非零解，則其系數(shù)行列式必為零，從而得到關于ω2的四次頻率方程。求得四階固有頻率（i=1，2，3，4）并回代入方程（7）可確定四個未知數(shù)Am。由公式（3）可疊加得到相應的振型，即

反對稱振動時（m為偶數(shù)），由方程（6）可得

2.3 瑞雷（Rayleigh）法[9-10]

若振型函數(shù)（4）取為僅有一個待定系數(shù)的形式，即

將式（2）和式（10）代入到式（5），經(jīng)積分可得到結構的總勢能表達式，由勢能駐值原理?Π/?A1=0，可得

若給定m，則可由式（11）求得相應頻率，并由式（10）得到相應振型。顯然，單個正弦項難以描述復雜的高階振型，因而其誤差較大。

3 算例

已知：一單層懸索結構，EA=89 760 000 N，f=4.2 m， l=80 m，H0=160 000 N，=120 kg·m-1，計算前4階頻率。解：由式（7）可解得m=1，ω/3.72（1/s）m=3，ω=4.98（1/s）

由式（9）可解得m=2，ω=2.87（1/s）m=4，ω= 5.74（1/s）

這里需要特別說明的是，當m＝2時所求得的頻率為基頻。這是因為索反對稱振動時，索力增量為零，即與EA有關的項不出現(xiàn)在頻率中，顯然，此時結構體系消耗能量最小。所以平面索結構的第1階頻率一般以反對稱為主[4-5]。

前4階頻率與有限元結果的對比見表1，可見應用能量變分法求得的頻率是非常精確的。同時也發(fā)現(xiàn)Rayleigh法在求解反對稱振動頻率時與能量變分法是等價的，但在求解正對稱振動時由于未考慮振型之間的耦合作用，導致誤差很大。

表1 能量變分法與有限元法計算的單索結構自振頻率比較Table 1Comparison of energy variational method and finite element method

4 結論

基于能量變分原理提出了單向懸索結構固有振動分析的簡化方法，給出了自振頻率和振型的簡化計算公式。通過與有限元結果的對比，表明了能量變分法的計算結果是比較精確的，誤差基本在5%以內，而且能量變分法的結果普遍比精確解偏大。此外，與Rayleigh相比考慮了各階振型之間的相互耦合作用，因而能量變分法的精確性自然比Rayleigh法要好。該文提出的方法可用于單向懸索結構的動力分析，也可作為有限元方法的補充。

［1］謝官模，王超.大跨度懸索橋豎向振動基頻的實用近似計算公式［J］.固體力學學報，2008（29）：200-203.

［2］鞠小華，廖海黎，沈銳利.對懸索橋對稱豎彎基頻近似公式的修正［J］.土木工程學報，2002，35（1）：44-49.

［3］才英俊，劉迎春，張文福，等.勁性索結構固有振動分析［J］.大慶石油學院學報，2005，29（2）：91-129.

［4］沈世釗，徐崇寶，趙臣.懸索結構設計［M］.北京：中國建筑工業(yè)出版社，1997.

［5］張文福.空間結構［M］.北京：科學出版社，2005.

［6］李占國，陳乃熙，史堯臣.PL型多楔帶橫向振動規(guī)律試驗研究［J］.長春大學學報2016（12）：1-4.

［7］黃文怡，梁波，孫傳宗.基于有限元的風力發(fā)電機底盤故障分析及改善方案［J］.黑龍江八一農墾大學學報，2015，27（1）：25-28

［8］張文福，孫曉剛，張紅星，等.預應力雙層索靜力分析的能量變分解［J］.空間結構，2007，13（1）：29-31.

［9］Krishna P.Cable-Suspended Roofs［M］.New York：McGraw-Hill，Inc，1978.

［10］張文福，劉文洋.勁性索網(wǎng)結構的固有振動分析［J］.空間結構，2006，12（1）：55-58.

Natural Vibration Analysis of Single-Cable Structure Based Upon the Theory of Energy Variation

Liu Wenyang1，Wang Peng2，Zhang Wenfu3
（1.College of Engineering，Heilongjiang Bayi Agricultural University，Daqing 163319；2.China State Construction Technical Center；3.School Architecture Engineering，Nanjing Institute of Technology）

Natural vibration analysis was the basis of structural dynamic analysis to obtain the natural frequency and vibration mode. Simplified method for natural vibration analysis of single-cable structure was presented based upon the theory of energy variation. The formulas for natural frequency and vibration mode were given out and the accuracy of the results was validated by finite element method.The error was less than 5%in general.Comparing with Rayleigh method，energy variation method was more accurate because the coupling effect of each vibration mode was considered.The presented method could be used in dynamic analysis of suspension cable as well as the supplement of finite element result.

single-cable structure；natural vibration；theory of energy variation；Rayleigh method

TU393.3

A

1002-2090（2017）04-0099-03

10.3969/j.issn.1002-2090.2017.04.022

2016-05-09

黑龍江省科學基金項目（QC2016071）。

劉文洋（1981-），男，講師，同濟大學畢業(yè)，現(xiàn)主要從事多高層鋼結構和大跨空間結構方面的研究。