譚婕

【摘要】本論文主要研究了具有具有乘法白噪音的Kuramoto-Sivashinsky方程的隨機(jī)吸引子問題，由于確定性的Kuramoto-Sivashinsky方程在整個(gè)空間上的吸引子是不存在的，所以對加上隨機(jī)干擾項(xiàng)的方程僅考慮在其奇函數(shù)解所構(gòu)成的子空間，通過三個(gè)引理，最終得到了隨機(jī)Kuramoto-Sivashinsky方程在奇解子空間上存在緊的隨機(jī)吸引子。

【關(guān)鍵詞】隨機(jī)動力系統(tǒng) 隨機(jī)吸引子 Wiener過程 奇解 Kuramoto-Sivashinsky方程

【Abstract】We show that the Kuramoto-Sivashinsky equation with multilicative noise can be solved pathwise. We consider the random dynamical system associated with odd solutions of the stochastic Kuramoto-Sivashinsky equation. This dynamical system possesses a compact random attractor in L2（I）.

【Keywords】Random dynamical system； random attractor； Wiener processes； odd solutions； Kuramoto-Sivashinsky equations.

【中圖分類號】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）31-0191-02

1.介紹

Kuramoto-Sivashinsky方程首先是由Kuramoto在研究Belousov-Zhabotinsky 反映中的相湍流問題時(shí)提出的。G. Sivashinsky 將此方程擴(kuò)展到2維及以上空間。而在實(shí)際的環(huán)境中，小的不規(guī)則的擾動是不可避免的。因此在Kuramoto-Sivashinsky 方程上加入隨機(jī)項(xiàng)是必要的，這個(gè)隨機(jī)項(xiàng)是一個(gè)狀態(tài)空間的白噪音。許多學(xué)者最近研究了具有白噪音的其它方程，例[2]-[7].

由于的特征值可能是正的，線性算子不是強(qiáng)制的。因此，即使是確定性的系統(tǒng)，要在整個(gè)空間獲得吸引子的一般結(jié)論是很困難的。然而，我們通過觀察發(fā)現(xiàn)若初始值是奇函數(shù)，則隨機(jī)Kuramoto-Sivashinsky 方程在任何時(shí)刻的解都是奇函數(shù)。因?yàn)檫@個(gè)性質(zhì)，我們考慮在奇函數(shù)子空間H0中的隨機(jī)吸引子。

2.問題描述和預(yù)備知識

考慮如下的具有隨機(jī)項(xiàng)的Kuramoto-Sivashinsky 方程：

定理1. 帶乘法白噪音的隨機(jī)Kuramoto-Sivashinsky 方程在奇子空間中的解所產(chǎn)生的隨機(jī)動力系統(tǒng)擁有一個(gè)緊的隨機(jī)吸引子。

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