李倩++王改霞

【摘要】本文建立和研究了依賴媒介（蚊子）傳播的瘧疾傳播模型，建模過程中考慮了蚊子吸血和產(chǎn)卵兩個不同的生理階段。

【關(guān)鍵詞】瘧疾；媒介；生理階段

【基金項(xiàng)目】河南省高等學(xué)校重點(diǎn)科研項(xiàng)目（17A110030）；信陽學(xué)院院級科研項(xiàng)目（2016yb13）。

【中圖分類號】O242.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）02-0015-02

引言

瘧疾是一種傳染性疾病，由瘧原蟲引起，通過蚊子叮咬傳播。瘧疾是世界上最常見也是最嚴(yán)重的熱帶傳染病之一[1]。瘧疾的發(fā)病率和死亡率較高，對人類生活和健康影響較大[2]，[3]。為了控制瘧疾，我們應(yīng)了解蚊子的生命周期和生理階段。本文介紹一種新的控制瘧疾傳播的途徑，通過觀察蚊子的種群數(shù)量，讓其作為一個參數(shù)變量，建立瘧疾傳播動力學(xué)模型。考慮媒介與人類的數(shù)量關(guān)系。

一、預(yù)備知識

初值問題：

（2.1）

的解為（2.2）

二、模型的建立

本文在建立和研究依賴媒介（蚊子）傳播的瘧疾模型時，考慮蚊子的生理階段，把蚊子分為兩類：第一類是處于產(chǎn)卵階段的蚊子，用U表示；第二類是吸食人類血液的蚊子，用V表示；這里U，V都表示雌性蚊子，因?yàn)槲覀冎牢拔桂B(yǎng)下一代的蚊子都是雌性蚊子，所以我們不考慮雄性蚊子對人類的影響，這種分類是在研究瘧疾傳播時的一個新的分類方法。然后把人類和媒介（蚊子）分為易感類和染病類，這樣就有6個變量，所有人類系統(tǒng)中的變量和參量都帶上下標(biāo)h，而媒介系統(tǒng)的則分別帶上下標(biāo)u和v。因此，在任一時刻t，人類的易感和感染數(shù)量用Sh（t），Ih（t）表示。媒介系統(tǒng)中：產(chǎn)卵階段和吸血階段的易感和感染媒介數(shù)量分別用Su（t），Sv（t）和Iu（t），Iv（t）表示。用Nh（t）表示t時刻的總?cè)丝跀?shù)，則Nh（t）=Sh（t）+Ih（t），用Nm（t） 表示t 時刻的媒介（蚊子）的總數(shù)，則Nm（t）=Su（t）+Sv（t）+Iu（t）+Iv（t）。

在給出數(shù)學(xué)模型之前，我們先做出下列假設(shè)：

（H1） 對于人群，新出生的嬰兒均為易感者，為了簡化模型，我們讓人類的出生率λh和死亡率μh一樣，均為μh；人類的康復(fù)率為rh，并且不考慮因病死亡，即人口是個常數(shù)。

（H2）對于蚊子，我們只考慮雌性蚊子，并且新出生的蚊子均為易感者，假設(shè)蚊子的增長按照logistic函數(shù)增長：。這里λ0是一個正的常數(shù)，L>0是環(huán)境的最大容納量，θ=Su 或是θ=Iu。

（H3）兩類媒介（易感類、染病類）的自然死亡率相等，均為μv。

（H4）易感媒介僅被染病人群傳染，易感人群僅被染病媒介傳染。人類從易感到染病是由Sh（t）和Iv（t）接觸的結(jié)果，且疾病的傳播依賴于二者之間的接觸率，當(dāng)Iv（t）成功的與一個Sh（t）接觸并吸血，設(shè)其接觸率為βh，則人類的方程為：

（3.1）

系統(tǒng)（3.1）中兩個微分方程相加，可得到關(guān)于總?cè)丝贜h（t）的微分方程：N′h=0，這表明總?cè)丝谑莻€常數(shù)。接下來我們來討論媒介種群的變化情形，當(dāng)Su（t），Iu（t）類媒介以λv為出生率繁殖下一代時，由于它們出生后都是易感者，這會使新一代Sv（t）增加，則其下一代是：avλv（Su（t））Su（t）+avλv（Iu（t））Iu（t）其中av是蚊子吸食血液后成功的回到蚊子的棲息地的概率，另一方面，如果Su（t）類蚊子被Ih（t）感染，則Su（t）轉(zhuǎn)換成了Iu（t）類到達(dá)蚊子的棲息地后，產(chǎn)卵后變成了Iv（t），從而增加了Iy（t）的數(shù)量。新出現(xiàn)的Sv（t）接著會去人類居住地吸血完成它自己的生命周期。如此反復(fù)。另外Sy（t），Iy（t）均以μv的自然死亡率而減少，所以我們得出吸血媒介（蚊子）的動力學(xué)方程為：

（3.2）

下面考慮產(chǎn)卵蚊子的動力學(xué)方程。一旦Sv（t），Iv（t）從蚊子的棲息地到達(dá)人類的居住地，它們就開始叮咬人類。且有以下分為四種情況：

1.當(dāng)一個Sv（t）成功的從一個Ih（t）那里吸血，且接觸率為βv，成功的可能性為q，這時蚊子變成Iu（t）類，失敗的可能性為1-q，這里假定蚊子吸血失敗后死亡，（以下三種情況也按照這種假設(shè)）這種情況會導(dǎo)致染病媒介的增加。

2.如果一個Sv（t）成功的吸食了一個Sh（t），設(shè)其接觸率也為βv，成功的可能性為p，則這時蚊子變成了Su（t），同樣的失敗的可能性為1-p，這種情況不會產(chǎn)生新的染病類。

3.當(dāng)一個Iv（t）從一個Ih（t）那里吸食血液，接觸率為βh，成功率為p1，這只蚊子就變成了Iu（t）類，另外它失敗的可能性為1-p1，這種情況沒有新的染病類的增加。

4.若一個Iv（t）從一個Sh（t）那里吸取血液，接觸率為βh，成功的可能性為q1，這里蚊子就變成了Iu（t）類。它失敗的可能性為1-q1，這種情況會增加人類的染病數(shù)量。根據(jù)以上敘述可以得出產(chǎn)卵蚊子的動力學(xué)方程為：

（3.3）

接觸率βv，βh分別表示易感類蚊子和染病類蚊子對人類的不同的接觸率。為簡化模型，假設(shè)蚊子成功叮咬人類的概率p，q，p1，q1全部相等且用p表示。蚊子傳播瘧疾的倉室模型流程圖可表示為：

根據(jù)以上的倉室圖，可建立如下瘧疾傳播的動力學(xué)模型：

（3.4）

模型中的變量和參量均是非負(fù)的，且其意義分別如下：

系統(tǒng)（3.4）的可行域如下：

由于人類的人口總數(shù)是一個常數(shù)，若知道易感染者的數(shù)量，就知道染病者的數(shù)量。這里我們主要關(guān)注蚊子的種群數(shù)量變化對于系統(tǒng)的影響。

三、主要結(jié)果

定理4.1閉集

為系統(tǒng)的（3.4）的正向不變集。endprint

證明：

因?yàn)镹′m=av[λv（Su（t））Su（t）+λv（Iu（t））Iu（t）]-μvNm-（1-p）（βvNhSv+βhNhIv）

則N′m≤av[λv（Su（t））Su（t）+λv（Iu（t））Iu（t）]-μvNm，

由于所有的人類和蚊子的變量都是非負(fù)的，并且有βh≥0，βv≥0和0≤p≤1，由前面的logistic方程知，若θ≤L則有λv（θ）≤λ0，因此，若Su≤L，Iu≤L，則：

N′m≤2avλ0L-μvNm，

若則。所以，閉集ψ是正向不變的。

更進(jìn)一步，如果則系統(tǒng)（3.4）的解或者在有限時間內(nèi)進(jìn)入閉集ψ，或者Nm（t）在時間趨向無窮時分別漸進(jìn)趨向。因此，閉集ψ吸引了R+4中的所有解。

四、小結(jié)

本文主要簡單建立起模型，后面的研究中會一步的利用無量綱化簡化模型，給出媒介（蚊子）數(shù)量絕滅與持續(xù)的閾值R*和媒介—人類相互作用的基本再生數(shù)R0的表達(dá)式。給出媒介的平凡平衡點(diǎn)，非平凡平衡點(diǎn)，媒介—人類的無病平衡點(diǎn)，地方病平衡點(diǎn)的存在條件。討論以上平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和后向分支的存在條件。

參考文獻(xiàn)

[1]Z.Hawass，Y.Z.Gad，S.Ismail，et al，Ancestry and pathology in King Tutankhamun's family，JAMA 303（7）（2010）638.

[2]K.Dietz，L.Molineaux，A.Thomas，A malaria model tested in the Africa Savanna，Bull WHO 50（1974）347.

[3]World Health Organisation，The World Malaria Report 2009，WHO Press（2010，）Available at http：//www.who.int/malaria/world malaria report 2010/en/index.html.Assessed August 27，2011.

[4]G.A.Ngwa，C.N.Ngonghala，N.B.S.Wilson，A model for endemic malaria with delay and variable populations，J.Cameroon Acad.Sci.1（3）（2001）169.

[5]Ronald Ross，The Prevention of Malaria，John Murray，London，1911.

[6]G.Macdonld，The analysis of ifection rates in diseases in which superinfection occurs，Trop.Dis.Bull.47（1950）907.

[7]M.I Teboh-Ewungkem，C.N.Podder，A.B.Gumel，Mathematical study of the role of gametocytes and an imperfect vaccine on malaria transmission dynamics，Bull.Math.Biol.72（1）（2010）63.

[8]J.Labadin，C.M.L.Kon，S.F.S.Juan，Deterministic malaria transmission modle with acquired immunity，Proc，Wold Congress Eng.Comput.Sci.2（2009）779.

作者簡介：李倩（1988-），女，河南信陽人，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)傳染病模型。王改霞（1980-）女，河南信陽人，碩士，研究方向：生物數(shù)學(xué)傳染病模型。endprint