胡勤

[摘 要] 數(shù)學習題能提升學生對數(shù)學知識的理解，訓練學生思維的靈活度，然而高中數(shù)學的習題教學很容易陷入“就題論題”、“拼命刷題”的怪圈. 如何讓學生將題目搞透徹，如何提升學生習題練習的效率？本文提出應(yīng)該引導學生多維度地研究問題的解決方法，讓學生在探索一題多解的過程中提升認識、訓練方法.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學；一題多解；教學反思

高中數(shù)學教學中，學生解題能力的培養(yǎng)歷來得到大家的普遍重視，但是重視并不意味著加大訓練力度，教師要做到精講精練，從而提高學生練習效率. 某次習題課上，筆者以一道試題為例，引導學生從多個角度來探索解題思路，尋求解答方法，借此暴露學生思維的過程，閃現(xiàn)學生思考的智慧，并讓學生體會到學習的成功，最終取得較好效果，現(xiàn)將相關(guān)實錄和個人體會整理如下，以供讀者參考.

教學實錄

上課之初，筆者通過投影設(shè)備展示以下例題：

平面直角坐標系xOy中，設(shè)f（x）=x2+2x+b（x∈R）的函數(shù)圖像與兩個坐標軸存在三個交點，將經(jīng)過這三個點的圓記作C.

（1）請確定b的取值范圍；

（2）請寫出圓C的解析式；

（3）請判斷圓C是否經(jīng)過某個定點，而這個定點的坐標與b的取值無關(guān)？請闡述你的判斷依據(jù).

當學生充分思考之后，筆者將參考答案呈現(xiàn)出來，并指出參考答案的確非常巧妙、快捷，但是否還有其他的解決方法？

正所謂：“一石激起千層浪”，這一問題的提出，引起學生更加深刻的思考和探索，他們很快就提出了自己的看法.

學生甲：第一個問題求解b的取值范圍，我們可以采用數(shù)形結(jié)合的方法來考慮，即研究函數(shù)圖像. f（x）=x2+2x+b（x∈R）屬于二次函數(shù)，這是一個開口向上的拋物線，其對稱軸為直線x=-1，由于b的取值不確定，因此函數(shù)圖像也不確定，這樣函數(shù)圖像可以上下“動”起來（如圖1所示）. 不難發(fā)現(xiàn).為了讓拋物線與坐標軸有三個交點，所以b應(yīng)該滿足以下條件：f（-1）<0，f（0）≠0？圯1-2+b<0，b≠0？圯b<1，b≠0，因此可以得到b的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）.

教師：很好，通過圖像直觀地將函數(shù)與方程之間的關(guān)系體現(xiàn)出來，這就是數(shù)形結(jié)合思想最顯著的作用. 如果將問題調(diào)整為“已知x的一元二次方程x2+2x+b=0有兩個非零的實數(shù)根，請確定b的取值范圍”，我們也可以采用類似的方法嗎？

學生甲：可以，依據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系，這兩個問題的本質(zhì)其實是相同的.

教師：好的，再來看第二個問題，參考答案是從圓的一般方程入手的，你是否有別的方法來求解圓的方程？

學生乙：我想從圓的標準方程著手嘗試一下，行不行？

教師：這是一個不錯的思路，值得一試.

學生從這一思路出發(fā)開始探索，也能實現(xiàn)問題的解決，但是運算量非常大，很多運算能力一般的學生中途敗下陣來.

教師：從大家的運算可以看出，標準方程的確也是一種可行的思路，但是效率不高. 那么我們再換一個視角，依然用圓的一般方程，將其設(shè)為x2+y2+Dx+Ey+F=0，如果從圓和x軸的交點與方程根的關(guān)系入手，大家能否產(chǎn)生一些新的思路？

在筆者的啟發(fā)下，學生又很快得到了新的解決方法.

學生丙：我們可以假設(shè)圓C與x軸構(gòu)成的交點為點A（x1，0）和點B（x2，0），則x1和x2即為一元二次方程x2+Dx+F=0的兩個實數(shù)根，上述方程應(yīng)該與x2+2x+b=0屬于同一個方程，因此有D=2，F(xiàn)=b. 又因為圓x2+y2+2x+Ey+b=0經(jīng)過點（0，b），所以有b2+Eb+b=0，可以得E=-（b+1），代入可得圓的方程即為x2+y2+2x-（b+1）y+b=0（b<1，b≠0）.

教師：這個想法很是巧妙，我們來總結(jié)一下，求解圓的方程一般有兩個思路，其一是從圓的一般方程入手，其二是采用圓的標準方程.在實際操作時應(yīng)該選擇哪一個方程可以根據(jù)具體的條件進行靈活的選擇，剛才的求解過程還表明即便是同一種思路，從不同角度來思考，也會出現(xiàn)不同的解題方法.學生丙解題思路最大的特點就是“設(shè)而不求”，這種解題技巧源于對方程根最為本質(zhì)的理解，值得我們大家好好體會.

教師：有了上面的分析基礎(chǔ)，對于第三個問題，請大家再思考一下，是否還有一些其他的解題思路？

經(jīng)過大約五分鐘的思考，很多學生都有了新的發(fā)現(xiàn)，下面是他們進行交流的成果.

學生?。簩τ诖嬖谛詥栴}的分析，最傳統(tǒng)的方法是先假設(shè)其存在，然后再進行推理. 對于本題，關(guān)鍵點還是在于獲取定點，因此我們不妨從特殊值入手，先讓b分別取為 和-1，由此可得方程組x2+y2+2x- y+ =0，x2+y2+2x-1=0，可以解出x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，將點Q1（-2，1）和Q2（0，1）分別代入圓的方程進行檢驗之后，即可確認圓有這兩個定點.

學生戊：從圓的方程x2+y2+2x-（b+1）y+b=0著手，假設(shè)如果經(jīng)過定點，且由于定點坐標與b的取值無關(guān)，則方程式中只有y=1時，才可以將b消掉，則此刻方程可以化簡為x2+2x=0，由此可以確定兩個點x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，后續(xù)處理與學生丁的方法一致.

學生己：我是從一般情形入手的，即假設(shè)存在定點，則x2+y2+2x-（b+1）y+b=0對任意滿足b<1，b≠0的實數(shù)b都是成立的. 將上述方程按照b進行整理，可得（1-y）b+（x2+y2+2x-y）=0，因此有1-y=0，x2+y2+2x-y=0，可以解得x1=-2，y1=1，或x2=0，y2=1，由此確定存在兩個定點，即Q1（-2，1）和Q2（0，1）.

教師：無論是從一般入手，還是從特殊入手，這些都是解決數(shù)學問題的常規(guī)思維方法，學生戊采用了較為大膽的假設(shè)和探索，進而獲得結(jié)論，這體現(xiàn)了他對式與數(shù)存在高度的敏感性，也有很強的發(fā)現(xiàn)力. 這個問題還有很多值得進一步研究的價值，由于課堂時間有限，我們也就到此為止，請大家在課后再繼續(xù)反思，通過剛才的討論，你有哪些體會？

教后反思

本課的教學過程中，筆者從一道數(shù)學題開始，引導學生從多個不同的視角展開分析，由學生自主探索出很多不同于參考答案的解決方法，讓原本枯燥的數(shù)學課堂顯得更加生動而活潑. 雖然一節(jié)課的時間只處理了一道試題，但是學生的收獲卻是相當巨大的，這是傳統(tǒng)習題課上“教師講、學生聽”的灌輸式模式所不可比擬的.

在這節(jié)課上，學生先后經(jīng)歷了問題懸而未決的苦惱，分享了解題成功之后的喜悅，形成對相似問題深入探討的欲望，這與新課標所倡導的“積極主動、勇于探索的學習方式”是高度統(tǒng)一的. 回顧整個課堂，學生熱情高漲、思維活躍，每一個學生都充分融入思考和討論的氛圍之中，其思維一直都停留在“憤”和“徘”的狀態(tài)下. 在教師的啟發(fā)下，他們嘗試著換用不同視角來展開思考和探索，讓自己的創(chuàng)造意識和相關(guān)能力得到了充分的培養(yǎng)和鍛煉. 圍繞這一個問題所展開的一系列探究活動，包括學生精彩的表現(xiàn)，這些都讓筆者感慨良多，也對新課程理念產(chǎn)生了更加深入的理解和認識.

我們在高中數(shù)學課堂上引導學生進行探究式學習，就要給予學生足夠的時間和空間，從而讓學生能夠讓自身的思維徹底接軌我們的教學活動，真正實現(xiàn)師生共同探究. 我們不能刻意追求課堂表面形式上的熱鬧，讓學生停留于低層次的思維活動，這沒有任何探究價值.而且如果沒有真正激起學生思維的興奮點，他們是很難主動參與到課堂探究中來的，如此探究也就失去其本來的意義，這本質(zhì)上依然屬于低效學習.

在問題解決的探究過程中，讓學生從不同的角度來探索“一題多解”是一種非常重要的學習方式，但是“一題多解”絕不是簡單的方法積累，我們應(yīng)該通過一題多解，真正讓學生實現(xiàn)知識的融會貫通，讓學生的知識盲點在他們的潛意識中閃現(xiàn)光芒，從而提升學生對問題的理解程度，進而強化他們思維的靈活度，增強他們學習的主動意識，讓他們的思維水平在多維度探索問題解決方法的過程中得到升華.endprint