【摘 要】反問題源于數(shù)學家的數(shù)學研究，在數(shù)學課程內(nèi)容中也大量存在，典型案例之一是雞兔同籠問題。充分挖掘這樣的內(nèi)容，將其融入到數(shù)學教學中，讓學生經(jīng)歷反問題的思考，可以溝通不同問題之間的聯(lián)系，使得學生逐步形成“反之如何”的思維方式，對于提高學生的思維水平，促進學生各個學科的學習，都有所裨益。

【關(guān)鍵詞】反問題 雞兔同籠 反之如何

美國斯坦福大學的數(shù)學家約瑟夫·凱樂（Joseph Bishop Keller ：1923-2016）在1976年2月的《美國數(shù)學月刊（The American Mathematical Monthly）》上，發(fā)表了一篇題為“反問題（Inverse Problems）”的文章①，提出了反問題的概念，并用實例說明了反問題在數(shù)學研究中的重要性。

數(shù)學中的任何問題，無論難易，無論簡繁，都不可能是孤立存在的，都會存在與之相關(guān)的其他問題。將數(shù)學研究中對于反問題的思考方法運用到數(shù)學課程與教學中，對于溝通數(shù)學課程中問題之間的聯(lián)系，讓學生逐步習得事物之間普遍聯(lián)系的觀念，會有所裨益。

一、用“雞兔同籠”理解反問題

雞兔同籠問題源于我國古代算書，引入小學數(shù)學課程后，呈現(xiàn)出一種“孤立”的特征，與數(shù)學課程其他問題和內(nèi)容似乎并沒有直接的聯(lián)系，其數(shù)量關(guān)系和解決問題的方法似乎并不具有普遍性。如果采用反問題的思考方法，就可以發(fā)現(xiàn)雞兔同籠問題與其他問題之間的聯(lián)系。

學生在學習了加法和乘法運算后，對于下面的問題1應(yīng)當不會感到陌生和困難。

問題1：籠中有3只兔和5只雞，問：

（1）雞和兔一共多少個頭？解答：3+5=8（個）

（2）雞和兔一共有多少條腿？解答：4×3+2×5=22（條）

這個問題中，已知信息包括“兔只數(shù)”和“雞只數(shù)”，問題目標（問題答案）包括“總頭數(shù)”和“總腿數(shù)”，解決問題應(yīng)用到了加法和乘法運算。從已知到未知的思考和解決問題的過程可以用圖1直觀地表示出來（見圖1）。

[3？][5？][？][？][？]

圖1 問題1示意圖

所謂反問題的思考，就是將一個問題改變?yōu)橐粋€或幾個新問題。改變的方法是把原問題的全部或者部分答案的內(nèi)容改變?yōu)橐阎畔⒌膬?nèi)容，把原來全部或部分已知信息的內(nèi)容變?yōu)樾聠栴}中答案部分的內(nèi)容。因此就會產(chǎn)生與原問題相關(guān)聯(lián)的新問題。比如可以將問題1改變?yōu)閱栴}2。

問題2：籠中有若干只兔和若干只雞，已知兔和雞一共有8個頭，一共有22條腿。問：兔和雞各有多少只？

問題2的已知信息中包括兔和雞的“總頭數(shù)”和“總腿數(shù)”，問題目標（問題答案）包括“兔只數(shù)”和“雞只數(shù)”。這樣的表述方式與數(shù)學教科書中所說的“雞兔同籠”問題基本一致。這樣的問題對于學生來說，相對于問題1就顯得陌生和困難。問題2的解題方法很多，基本的算式可以是：

兔只數(shù)：（22-2×8）÷（4-2）=3（只）

雞只數(shù)：（4×8-22）÷（4-2）=5（只）

解決問題需要用到的運算包括了減法、乘法和除法，較之問題1顯然復雜了很多?？梢杂脠D2表達出問題的結(jié)構(gòu)和思考的過程。

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][？8

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圖2 問題2示意圖

與圖1對比看，問題2的思考過程與問題1的思考過程恰好是相反的。問題1的已知信息中包含著問題2中答案部分的內(nèi)容，問題2的已知信息中包含著問題1中答案部分的內(nèi)容。類似于此的兩個問題，其中之一往往是為人們所熟悉的，相對簡單的，而另外一個往往是陌生的，有一定困難的。因此就把前者叫作“原問題（Direct Problem）”，后者叫作原問題的“反問題（Inverse Problem）”。因此，可以說，“雞兔同籠”問題實質(zhì)上是學生所熟悉的問題1類型的反問題。

二、從反問題思考到“反之如何”思維

數(shù)學中，類似于此的反問題是很普遍的。比如在低年級數(shù)學課程內(nèi)容中，如果把問題“湖面上有28只天鵝，飛走了5只，問：還剩多少只天鵝？”看作是原問題，那么下面的兩個問題就可以成為它的反問題。

l湖面上有一些天鵝，飛走了5只，還剩23只，問：湖面上原來有多少只天鵝？

l湖面上有28只天鵝，飛走了幾只后還剩23只，問：飛走了多少只天鵝？

再比如在圖形與幾何課程內(nèi)容中，如果把“已知圓的半徑求圓面積”看作是熟悉的原問題，那么“已知圓面積求圓的半徑”或者“已知圓面積求圓周長”，就成為它的反問題。

實際教學中，除了關(guān)注這些問題如何解決之外，還可以讓學生經(jīng)歷提出反問題的過程，通過觀察和比較，思考并討論這些問題之間的關(guān)系、解題方法之間的關(guān)系。這樣的活動對于學生發(fā)現(xiàn)并辨別問題之間的聯(lián)系，逐步熟悉對于反問題的思考會起到積極作用。經(jīng)常性地經(jīng)歷反問題的思考，學生就會逐漸形成“反之如何”的思維方式，這種思維方式無論是在學習中，還是在日常工作生活中，都有著廣泛的應(yīng)用。

比如，在學習了“因數(shù)”概念之后，學生首先熟悉的是“已知一個數(shù)，求出其因數(shù)”的問題。這樣的問題相對簡單，已知4，通過列舉的方法就可以知道4的因數(shù)有：1，2，4。因此得到結(jié)論：4有3個因數(shù)。如果有了“反之如何”的思維習慣，這個時候就會反過來思考下面的問題：

l有3個因數(shù)的數(shù)只能是4嗎？

通過試驗可以發(fā)現(xiàn)像9、25這樣的數(shù)也都有3個因數(shù)，因此可以得到一個新的結(jié)論，有3個因數(shù)的數(shù)有很多。進一步還可以思考：

l有3個因數(shù)的數(shù)究竟有多少個？它們有什么共同的規(guī)律嗎？

通過諸如此類問題的思考，最終可以得到關(guān)于“平方數(shù)”與其因數(shù)個數(shù)關(guān)系的結(jié)論，即“正整數(shù)為平方數(shù)的充分必要條件，是其因數(shù)個數(shù)為奇數(shù)”。這樣的結(jié)論都是“初等數(shù)論”學科中的重要定理。

初中數(shù)學課程中所學習的所謂“性質(zhì)定理”和“判定定理”，其實也是“反之如何”思維方式的產(chǎn)物。如果通過觀察發(fā)現(xiàn)：長方形兩組對邊長度相等，并且四個內(nèi)角都是直角?！胺粗绾巍钡乃季S就會帶來一個問題：兩組對邊長度相等，并且四個內(nèi)角都是直角的四邊形一定是長方形嗎？前面問題描述的是長方形自身所具有的性質(zhì)，因此叫作“長方形的性質(zhì)定理”。后面問題關(guān)注的是一個四邊形在什么條件下能夠成為長方形，因此其相應(yīng)的結(jié)論就叫作“長方形的判定定理”。在小學數(shù)學學習中，讓學生經(jīng)常經(jīng)歷反問題的思考，對于學生今后的數(shù)學學習會起到奠基作用。

“反之如何”作為普適性的思維方式，在其他學科的學習中也會產(chǎn)生積極作用。英語學習中，當學生知道了“Thank You”的說法可以對別人表示感謝的意思之后，運用“反之如何”的思維方式，自然的反問題就是：如果想表達對別人感謝的時候，用英語還可以怎樣說？（答案：Appreciate等）任何語言都具有豐富性的特點，也就是表達一個意思的時候，可以有多種不同的表達方式，因此語言學習的一個重要目的是能夠習得并使用這些不同的表達方式。如果學生自己產(chǎn)生了想知道“還可以怎樣說”的愿望，自然就會采用各種可能的方式，自主地去開展學習活動。

三、反問題導致研究的深入

相對于原問題，反問題往往不是唯一確定的。與問題解決者自身的經(jīng)驗以及思維目標直接相關(guān)。比如對于數(shù)學教師，在“雞兔同籠”問題備課中，就會思考怎樣的數(shù)據(jù)更加適合自己學生的水平。因此就希望知道籠中雞和兔的總只數(shù)和總腿數(shù)這兩個條件是什么關(guān)系，是不是相互獨立的。如果是相互獨立的，就意味著這兩個條件可以隨意給出。如果不是相互獨立的，就說明給定一個數(shù)據(jù)時，另一個數(shù)據(jù)必須有一個取值范圍。如果把前面雞兔同籠問題1看作原問題，運用反問題的思考，還可能產(chǎn)生下面的問題3。

問題3：若干只雞和若干只兔關(guān)在同一個籠子中，如果雞和兔共有8只。那么雞和兔的總腿數(shù)應(yīng)該滿足什么條件？

問題3的已知信息中同樣包含問題1答案部分“總只數(shù)”的內(nèi)容，因此同樣可以視為是問題1的反問題。不同的是更具有一般性，而且期望的問題目標和解決的方法不同了。首先容易發(fā)現(xiàn)雞和兔的總腿數(shù)應(yīng)該是偶數(shù)。問題目標可以分解為如下的三個問題：

l雞和兔的總腿數(shù)最大可能是多少？

l雞和兔的總腿數(shù)最小可能是多少？

l雞和兔的總腿數(shù)共有多少種不同的取值？

總腿數(shù)最大的情況其實就是只有1只雞，其余7只都是兔，這時總腿數(shù)為：

2+4×（8-1）=30（條）

總腿數(shù)最大的情況是只有1只兔，其余8-1只都是雞，這時總腿數(shù)為：

4+2×（8-1）=18（條）

總腿數(shù)可能的取值就是介于18和30之間的全部偶數(shù)，列舉出來分別是：

18，20，22，24，26，28，30

這樣的結(jié)論對于命題者是有用的，如果確定總只數(shù)是8，那么總腿數(shù)不能隨意給出，只能是上面7種可能中的一個。前面問題2就是總腿數(shù)為22的情況。如果首先確定總腿數(shù)，還可以研究總只數(shù)的可能性。

問題4：若干只雞和若干只兔關(guān)在同一個籠子中，如果其中的雞和兔共有22條腿。那么雞和兔的總只數(shù)應(yīng)該滿足什么條件？

與前面問題類似，只要對下面三個問題給出答案即可。

l雞和兔的總只數(shù)最大可能是多少？

l雞和兔的總只數(shù)最小可能是多少？

l雞和兔的總只數(shù)共有多少種不同的取值？

雞和兔的總只數(shù)最大的情況就是只有1只兔，其余都是雞。這時雞和兔的總只數(shù)為：

1+（22-4）÷2=10（只）

雞和兔的總只數(shù)最小的情況就是只有1只雞，其余都是兔。這時雞和兔的總只數(shù)為：

1+（22-2）÷4=6（只）

因此雞和兔的總只數(shù)的取值范圍就是從6到10的一切自然數(shù)，共有5種可能性。前面問題2就是其中總只數(shù)為8的情況。

問題3和問題4的研究表明，“雞兔同籠”問題中，“總只數(shù)”和“總腿數(shù)”這兩個條件并非相互獨立，而是相互依賴與制約的。類似這樣關(guān)于不同條件之間關(guān)系的研究，對于全面、深入地理解問題是有益的。

參考文獻：

[1]KELLER J B. Inverse Problems[J]. The American Mathematical Monthly.1976，83（2）：107-118.

[2]郜舒竹. 問題解決與數(shù)學實踐[M]. 北京：高等教育出版社，2012：30.

（首都師范大學初等教育學院 100048）endprint