王宏偉

【摘 要】解決“雞兔同籠”問題，教材中主要引導學生進行猜測與嘗試，利用列舉、假設(shè)的方法來解決問題。教師多站在學生的角度考慮問題，順應(yīng)學生思維特征來選擇學習方式與路徑，引導學生通過猜測嘗試、比較分析、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握方法，鍛煉有序思考能力，積累解決問題的經(jīng)驗。

【關(guān)鍵詞】思維特征 學習方式 深度學習

一、問題提出

“雞兔同籠”問題出自《孫子算經(jīng)》，是我國民間廣為流傳的數(shù)學趣題，在人教版教材四年級下冊“數(shù)學廣角”和北師大版教材五年級上冊“數(shù)學好玩”中都有這樣的教學內(nèi)容。教材安排這樣的教學內(nèi)容，一方面通過生動有趣的古代數(shù)學問題讓學生感受我國古代數(shù)學文化，另一方面在解決問題過程中使學生掌握問題解決的不同方法和策略。根據(jù)學生的認知發(fā)展水平，教材主要引導學生進行猜測與嘗試，利用列舉、假設(shè)的方法來解決問題。

學為中心，深度學習的課堂，需要教師多站在學生的角度考慮問題，順應(yīng)學生思維特征選擇學習方式與路徑。通過課堂實踐，筆者認為，本課教學教師應(yīng)基于學生的真實思維，讓學生通過猜測嘗試、比較分析，發(fā)現(xiàn)雞兔只數(shù)調(diào)整中腳數(shù)的變化規(guī)律，真正掌握列舉與假設(shè)的方法，在獨立思考與合作交流的學習過程中真正鍛煉學生有序思考及邏輯推理能力，積累解決問題的經(jīng)驗。

二、學情調(diào)查——了解學生怎么想問題

為了了解學生的真實思維，把握學習起點，順應(yīng)學生思維特征，引導學生實現(xiàn)深度學習，筆者圍繞“對于雞兔同籠這樣的問題學生已經(jīng)會了什么”“本課學習學生真正的思維困難在哪里”“通過課本學習學生能有怎樣的提升發(fā)展”三個問題對學生進行了課前調(diào)查。

（一）調(diào)查內(nèi)容

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 12個頭，從下面數(shù)，有 40 只腳。雞和兔各有幾只？（你能用幾種方法解答，請寫一寫、算一算或者畫一畫）

（二）調(diào)查結(jié)果

1.主要方法

（三）調(diào)查分析

“雞兔同籠”問題對于四年級學生來說具有挑戰(zhàn)性（正確率為35.7%），正確解決問題的學生主要采用猜測法，其次是列表列舉法。假設(shè)全是雞或兔的方法，如果學生沒有經(jīng)過課外輔導都還不會正確運用。因此列舉法是適合學生認知發(fā)展水平的有價值的方法，需要學生重點學習掌握。

在學生的作品中可以看到，腳數(shù)與頭數(shù)的內(nèi)在變化關(guān)聯(lián)是學生解決問題的思維障礙所在，其中顧“腳”不顧“頭”的錯誤近20%。若將題目中 “從下面數(shù)，有 40 只腳”這一條件前置則發(fā)生這一錯誤的可能性更大?？梢姸鄶?shù)學生解題時只盲目計算，缺乏假設(shè)推演，已有的單一線性的解題經(jīng)驗固化了思維，解題的策略性思考能力比較弱。

三、教學思路——設(shè)計順應(yīng)學生思維特征的學習路徑

基于課前學生調(diào)查，筆者認為，如何讓學生從不會列舉或錯誤列舉到真正學會列舉方法，會用列舉法解決問題是本課學生學習提升的重點所在。先顧“頭”再顧“腳”和先顧“腳”再顧“頭”只是方法上的不同，如何正確列舉、有序思考，探索變化規(guī)律，才是學生用列舉方法解決問題的價值所在。教師要利用好學生“只顧腳，不顧頭”的錯誤資源，跳出單一從頭這一維度進行列舉的思維局限，用更開放的姿態(tài)，站在更高的角度來理解列舉方法，讓學生充分經(jīng)歷嘗試、驗證、調(diào)整、總結(jié)這一解決問題的過程，積累解決問題的策略性經(jīng)驗。

四、學習過程——促進深度學習的實現(xiàn)

（一）揭題引入，明確基本關(guān)系

1.呈現(xiàn)問題

籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有 10個頭，從下面數(shù)，有 26 只腳。雞和兔各有幾只？

2.梳理信息

你讀懂了哪些信息？

板書：雞頭+兔頭=10 雞腳+兔腳=26

（教學意圖：明晰已知條件是解決問題的首要環(huán)節(jié)，問題中“雞頭+兔頭=10；雞腳+兔腳=26”是學生用列舉法解決問題的兩個重要數(shù)量關(guān)系，教師有意強化“數(shù)量關(guān)系”解讀，為學生“嘗試解決”做必要的準備。）

（二）嘗試交流，掌握列舉方法

1.呈現(xiàn)錯誤——顧“腳”不顧“頭”

師：老師這里有一位同學嘗試解決這個問題的方法，大家看看這位同學怎么想的？這樣想對嗎？（引導學生檢驗頭數(shù)和腳數(shù)）

方法：5×4=20（只） 3×2=6（只） 20+6=26（只）

答：兔5只，雞3只。

小結(jié)：這位同學先根據(jù)“雞腳+兔腳=26”這個數(shù)量關(guān)系來思考的，可是忘記了“雞頭+兔頭=10”這一條件。我們怎樣才能找到正確答案呢？

2.猜測嘗試——顧“腳”再顧“頭”

師：滿足腳數(shù)26只，雞和兔的只數(shù)還可能是多少呢？（學生利用練習紙獨立嘗試列舉）

（1）學生猜測嘗試，然后交流匯總各種方法。

[兔腳/只 雞腳/只 總頭數(shù) 6×4=24 1×2=2 6+1=7 5×4=20 3×2=6 5+3=8 4×4=16 5×2=10 4+5=9 3×4=12 7×2=14 3+7=10 2×4=8 9×2=18 2+9=11 1×4=4 11×2=22 1+11=12 0×4=0 13×2=26 0+13=13 ]

師：通過剛才的嘗試，你有什么發(fā)現(xiàn)。

（2）交流小結(jié)：如果腳的數(shù)量不變，每減少1只兔，就增加2只雞，頭數(shù)就增加1個。

（教學意圖：著名教育家卡爾·威特的教育秘訣之一，就是寬容地、理性地看待孩子的一切，包括是“錯誤”。筆者認為，學生的認知錯誤是最寶貴的教學資源，學生思維由“迷”到“悟”是深度學習發(fā)生的必經(jīng)之路。知“迷”所在，是“悟”之始。教師順應(yīng)學生的思維，大膽呈現(xiàn)錯誤方法，引導學生明白錯誤之所在——顧腳不顧頭，進而學生自然地理解列舉時同時滿足“雞頭+兔頭=10，雞腳+兔腳=26”兩個條件。這為學生掌握列舉方法跨出重要一步。）endprint

3.學會列舉——顧“頭”再顧“腳”

師：除了先考慮滿足腿數(shù)26條，進行猜測嘗試外。還可以怎樣思考呢？

（1）呈現(xiàn)方法1（如下圖）。

（2）組織討論：這位同學是怎么思考的？

生：先考慮頭數(shù)10只，雞如果有1只，那兔就有9只，這樣腳有38只了，如果雞有2只，那兔就有8只，這樣腳有36只，這樣一只一只試下去。

生：這位同學試了很多次才找到正確答案，我嘗試的次數(shù)比他少（呈現(xiàn)方法2）。

師：這位同學怎么想的？

生：他是從中間開始列舉的。

師：5只雞、5只兔試完后，為什么嘗試6只雞、4只兔呢？

生4：因為5只雞、5只兔共30條腿，比26條腿多，所以要減少兔子的只數(shù)，增加雞的只數(shù)。

師：同學們仔細觀察這兩位同學的方法，你發(fā)現(xiàn)雞和兔的只數(shù)變化，與腳數(shù)變化有什么規(guī)律呢？

生：如果總頭數(shù)不變，每增加1只雞，減少1只兔，腳就減少2條。（教師用示意圖演示方法2的變化過程）

（ 教學意圖：從先顧腳再顧頭，到先顧頭再顧腳，從不同角度讓學生進行列舉，打開了學生的思維空間，充分感受列舉方法的關(guān)鍵。同時，通過豐富的材料讓學生體會、理解雞兔頭數(shù)變化與腳數(shù)變化的規(guī)律，為突破難點做了扎實的鋪墊。）

（三）拓展提升：理解“假設(shè)法”

師：誰能調(diào)整得更快更準呢？[呈現(xiàn)方法：10×4-26=14（條），14÷2=7（只）]

師：這位同學是怎么思考的？

生：如果10只都是兔子，那么多了14條腿。

師：我們怎么調(diào)整呢？

生：每減少1只兔，增加1只雞，就會減少2條腿，那么減少7只兔，增加7只雞，就會少14條腿。（課件呈現(xiàn)假設(shè)調(diào)整的過程）

師：14÷（4-2）=7（只），這個算式你明白是怎樣調(diào)整雞和兔的只數(shù)嗎？（同桌相互交流）

師：我們能不能假設(shè)都是雞再進行調(diào)整呢？你能嘗試算一算嗎？（略）

（教學意圖：整節(jié)課學生始終圍繞“雞兔頭數(shù)變化與腳數(shù)變化的聯(lián)系”進行思考與交流。因此，基于列舉方法，假設(shè)法是學生跳一跳能摘到的“桃子”，也是學生思維不斷清晰的自然結(jié)果。）

關(guān)注學情，是“學為中心”的教學核心。課前教師可通過問卷調(diào)查等手段了解學生的思維特征，尊重并用好學生的認知錯誤。在教學設(shè)計時教師多站在學生的角度來思考問題，了解學生的真實困惑在哪兒。在組織學習時多基于學生的認知困惑、思維發(fā)展需求，從學生的已有知識能力出發(fā)，依托數(shù)學任務(wù)驅(qū)動，借助學生豐富的認知成果展開交流。在學習重難點處以核心問題為引領(lǐng)，通過分析比較、歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，獲得數(shù)學經(jīng)驗。數(shù)學學習的過程是學生思維能力、數(shù)學素養(yǎng)提升的過程，教師只有充分關(guān)注學生思維特征，選擇適合的學習方式，才能在課堂上給學生提供更大的思維發(fā)展空間。

（浙江省嘉興市實驗小學 314000）endprint