路志英+任一墨+葛路琨

摘 要：光伏發(fā)電功率預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確與否是太陽(yáng)能光伏發(fā)電是否能夠有效地并入當(dāng)前電網(wǎng)從而大大地提高太陽(yáng)能利用率的關(guān)鍵.分位數(shù)回歸是一種能夠給出輸出量的詳細(xì)完整分布，從而便于分析與研究的回歸模型.樣條就是僅在節(jié)點(diǎn)處平滑連接的多項(xiàng)式函數(shù)，樣條估計(jì)具有簡(jiǎn)單易行和計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn).本文通過(guò)建立基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸模型，在光伏面板發(fā)電功率數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，擬合光伏功率曲線，通過(guò)計(jì)算殘差平方和和確定系數(shù)進(jìn)行對(duì)擬合效果的評(píng)估.結(jié)果表明，該模型利用已有的光伏面板發(fā)電功率數(shù)據(jù)，可以在給出功率預(yù)測(cè)值的完整分布的同時(shí)，準(zhǔn)確有效地分析相關(guān)因素對(duì)光伏發(fā)電功率的影響，展現(xiàn)不同分位點(diǎn)的回歸擬合效果，從而有效地提高光伏系統(tǒng)對(duì)太陽(yáng)能的利用率，避免光伏發(fā)電在接入電網(wǎng)時(shí)所產(chǎn)生的不利影響.

關(guān)鍵詞：光伏功率預(yù)測(cè)；分位數(shù)回歸；樣條估計(jì)法；概率預(yù)測(cè)；曲線擬合

中圖分類號(hào)：TM721 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Photovoltaic Power Regression Model Based on Spline Estimationand Quantile Regression

LU Zhiying，REN Yimo，GE Lukun

（School of Electrical and Information Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China）

Abstract：A quantile regression model was established based on spline estimation. Based on the output data of photovoltaic panel，the curve of power was fitted，which was compared with ordinary least squares regression model and simple quantile regression model. The results show that the quantile regression model can give much more accurate and effective analysis on the influence of relative factors on the output power of photovoltaic panels，improve the efficiency of solar energy，provide the complete distribution of output power，and reduce the negative impact of photovoltaic panel when connected to the grid.

Key words：photovoltaic power prediction；quantile regression；spline estimation；probability prediction；curve fitting

當(dāng)代社會(huì)已經(jīng)公認(rèn)太陽(yáng)能是一種具有強(qiáng)大競(jìng)爭(zhēng)力的綠色能源.利用太陽(yáng)能的有效方式之一是光伏發(fā)電，目前我國(guó)的光伏發(fā)電系統(tǒng)正在由獨(dú)立系統(tǒng)發(fā)展到大規(guī)模并網(wǎng)[1].由于受各種因素的影響，光伏系統(tǒng)進(jìn)行發(fā)電的功率是不穩(wěn)定的，在接入電網(wǎng)時(shí)會(huì)造成一些不利影響[2-3]，因此人們?cè)谑褂霉夥l(fā)電時(shí)常持有謹(jǐn)慎的態(tài)度，從而影響太陽(yáng)能以及光伏發(fā)電的應(yīng)用范圍.

在短期光伏功率預(yù)測(cè)的領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)光伏出力的相關(guān)影響因素和新方法新理論進(jìn)行了一定的分析和研究.文獻(xiàn)[4]利用天氣類型指數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行光伏短期出力預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[5]利用了機(jī)器學(xué)習(xí)的方法之一局部支持向量回歸來(lái)進(jìn)行微網(wǎng)光伏發(fā)電的預(yù)測(cè)；文獻(xiàn)[6]總結(jié)了目前大多數(shù)已有的短期太陽(yáng)能光伏發(fā)電預(yù)測(cè)方法的思路，建立預(yù)測(cè)公式或模型，對(duì)光伏電站發(fā)電量進(jìn)行預(yù)測(cè).

分位數(shù)回歸（Quantile Regression，QR）是一種利用自變量的多個(gè)分位數(shù)（例如四分位、中位、百分位等）來(lái)得到因變量完整的條件分布的方法，可以得到更詳細(xì)的描述變量的統(tǒng)計(jì)分布.

樣條是指一種采用分段定義的簡(jiǎn)單方便的多項(xiàng)式參數(shù)曲線，樣條估計(jì)在許多曲線估計(jì)的領(lǐng)域中都得到了大量的應(yīng)用.

通過(guò)建立基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸模型，在光伏面板出力功率數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，可以準(zhǔn)確地?cái)M合光伏出力曲線，并與OLS模型以及簡(jiǎn)單分位數(shù)回歸模型的擬合效果進(jìn)行比較與分析.結(jié)果表明，基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸模型能夠更加準(zhǔn)確地?cái)M合光伏出力曲線，得到光伏出力數(shù)據(jù)的條件分布的完整分布，在詳細(xì)地描述光伏出力的分布的指導(dǎo)下可以有效地提高光伏系統(tǒng)對(duì)太陽(yáng)能的利用率.

1 數(shù)據(jù)資料

1.1 原始數(shù)據(jù)

本文數(shù)據(jù)來(lái)源于The Global Energy Forecasting Competition 2014 （GEFCom2014），是對(duì)三塊光伏面板的相關(guān)影響因素進(jìn)行逐小時(shí)采集得到的.數(shù)據(jù)包括12個(gè)相關(guān)因素，包括風(fēng)速、氣溫、氣壓、輻照、降水等，以及相對(duì)應(yīng)的光伏出力數(shù)據(jù)（標(biāo)幺值），相關(guān)因素的具體描述如表1所示.

1.2 數(shù)據(jù)集的劃分

影響光伏發(fā)電系統(tǒng)的短期發(fā)電量預(yù)測(cè)結(jié)果的因素很多，關(guān)系也相當(dāng)復(fù)雜.文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]列舉出如太陽(yáng)光照強(qiáng)度、太陽(yáng)入射角度、光伏電站的位置、轉(zhuǎn)換效率、大氣壓、溫度、安裝角度、時(shí)間、季節(jié)等等的影響因素.文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]指出了光伏發(fā)電系統(tǒng)，其發(fā)電量時(shí)間序列本身具有高度自相關(guān)性的特點(diǎn).

本文對(duì)原始數(shù)據(jù)集進(jìn)行劃分.首先除去夜晚光伏出力明顯為0的情況（世界時(shí)9～20時(shí)），然后利用某天的前30天共計(jì)360組小時(shí)發(fā)電量數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集，該天12組小時(shí)發(fā)電量數(shù)據(jù)作為測(cè)試集，劃分原始數(shù)據(jù)集.endprint

2 分位數(shù)回歸

2.1 分位數(shù)回歸的基本概念

經(jīng)典回歸的目的在于估計(jì)因變量的均值.當(dāng)回歸假設(shè)成立時(shí)，這一方法是有效的，也就是說(shuō)經(jīng)典回歸的隨機(jī)項(xiàng)需要來(lái)自均值為0且同方差的正態(tài)分布，即正態(tài)性假設(shè)和方差齊性假設(shè)[11-12].

實(shí)際中上述兩個(gè)假設(shè)往往是難以成立的，因此文獻(xiàn)[13]和文獻(xiàn)[14]首先提出了分位數(shù)回歸的概念，放松了兩個(gè)回歸假設(shè)，對(duì)于隨機(jī)項(xiàng)不需要假設(shè)的具體分布，從而使分位數(shù)回歸廣泛地應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、醫(yī)學(xué)、生物等領(lǐng)域.分位數(shù)回歸為研究者提供了一個(gè)無(wú)法從經(jīng)典回歸中獲得的新視角，有助于分析因變量條件分布的完整特征，可以在更加寬松的條件下挖掘到更加豐富的信息[15-16].

2.2簡(jiǎn)單分位數(shù)回歸的模型

設(shè)X為實(shí)值隨機(jī)變量，分布函數(shù)為F（x）=P（X≤x），則對(duì)任意0<τ<1，有

F-1（τ）=inf{x：F（x）≥τ}（1）

式中：F-1（τ）即為X的τ分位數(shù)；inf（x）表示集合x(chóng)的下確界.

常用Q（τ）表示X的τ分位數(shù)，則Q（0.5）表示中位數(shù).在實(shí)際問(wèn)題研究中，中位數(shù)可以和均值共同來(lái)反映數(shù)據(jù)所包含的位置等信息.

對(duì)于Y的一組隨機(jī)樣本Y1，Y2，…，Yn，樣本均值是β=arg min∑ni=1（yi-β）2的最優(yōu)解；樣本中位數(shù)則是Q（0.5）=arg minβ∈R∑ni=1|yi-β|的最優(yōu)解.

當(dāng)模型為線性模型Y=XTβ+ξ時(shí)，假設(shè)ξ的分布為F，那么回歸分位數(shù)β（τ）的值，等價(jià)于如下函數(shù)的解：

minβ∑（i|Y≥XTiβ）τ|Yi-XTiβ|+

∑（i|Y≥XTiβ）（1-τ）|Yi-XTiβ|（2）

在樣本觀測(cè)值（xi1，xi2，…，xip，yi），i=1，2，…，n上，可以求得參數(shù)β=（β0+F-1（τ），β1，…，βp）T在第τ分位處的估計(jì)為：

（τ）=arg minβ∈Rp+1∑ni=1ρτ（yi-xTiβ）（3）

那么對(duì)應(yīng)的樣本Y的條件τ（0<τ<1）的分位數(shù)估計(jì)為：

τ（Y|X）=XT（τ）（4）

顯然分位數(shù)回歸方法并不需要預(yù)先對(duì)分布作假設(shè)，并且對(duì)離群點(diǎn)的干擾較不敏感，因而比普通最小二乘回歸更穩(wěn)健.通過(guò)選取不同的τ值 ，分位數(shù)回歸可以得到Y(jié)不同的分布，而不僅僅像經(jīng)典回歸只得到Y(jié)的條件期望[17-19].

3 基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸

3.1 樣條估計(jì)

簡(jiǎn)單的分位數(shù)回歸模型是建立在線性模型的假設(shè)上的，屬于參數(shù)模型，模型僅用一些參數(shù)表示，但是限制較多，需要預(yù)先假定回歸函數(shù)和樣本的分布形式，從而造成了模型的泛化能力弱，穩(wěn)健性較差的后果.在這種情況下可以采用比較自由，受約束少的非參數(shù)模型，對(duì)于數(shù)據(jù)的分布不作太大要求，從而使得模型的泛化能力強(qiáng)，穩(wěn)健性高[20].因此本文通過(guò)采用樣條函數(shù)進(jìn)行樣條估計(jì)，擬合非參數(shù)回歸模型，放松參數(shù)模型的限制[21-22].

樣條函數(shù)估計(jì)是一種全局逼近估計(jì)從而近似逼近非參數(shù)模型的方法，估計(jì)效果取決于樣條節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置的選擇[23].樣條光滑法具有簡(jiǎn)單易行和計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)[24].為此，本文構(gòu)建了基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸模型，即分別采用B樣條和自然B樣條進(jìn)行樣條估計(jì)，建立分位數(shù)回歸模型，從而達(dá)到更好的分位數(shù)回歸效果[25].

3.2 B樣條估計(jì)和自然B樣條估計(jì)

B樣條函數(shù)是由B樣條基函數(shù)的線性組合構(gòu)成，有許多的定義方法.可以采用deBoor-Cox遞推公式定義三次B樣條基函數(shù)，其具體形式為：

B4i（x）=

（ξi+4-ξi）（x-ξi）3S4i（ξi），x∈[ξi，ξi+1]；

（ξi+4-ξi）（x-ξi）3S4i（ξi）+（x-ξi+1）3S4i（ξi+1），x∈[ξi+1，ξi+2]；

（ξi+4-ξi）（ξi+3-x）3S4i（ξi+3）+（ξi+4-x）3S4i（ξi+4），x∈[ξi+2，ξi+3]；

（ξi+4-ξi）（ξi+4-x）3S4i（ξi+4），x∈[ξi+3，ξi+4]；

0，x∈[ξi，ξi+4]；

（5）

式中：

S4i（x）=（x-ξi）（x-ξi+1）（x-ξi+2）（x-

ξi+3）（x-ξi+4），ξi：i=1，…，m（6）

是樣本區(qū)間上的節(jié)點(diǎn)序列.

B樣條估計(jì)方法對(duì)結(jié)點(diǎn)（knots）之間的估計(jì)是比較準(zhǔn)確，但對(duì)邊界的擬合效果較差.此時(shí)可以引入在自變量最小值和最大值處各增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，用線性模型擬合邊界位置的樣本點(diǎn)的思想，從而改善B樣條估計(jì)方法對(duì)邊界的擬合效果，此時(shí)稱為自然B樣條.

3.3 基于B樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸

對(duì)于式（7）這樣一個(gè)非參數(shù)模型：

yi=g（xi）+εi，i=1，2，…，n（7）

Y=（y1，y2，…，yn）′是因變量；X=（x1，x2，…，xn）′是自變量；誤差ε=（ε1，ε2，…，εn）′的分布未知.

為了一般化，假設(shè)ε的密度函數(shù)處處不為0.那么在三次B樣條估計(jì)下，非參數(shù)模型可以近似為：

g（xi）=∑mj=-3θjB4j（xj）（8）

基于B樣條下的分位數(shù)回歸估計(jì)方程：

（*τ，QRτ）=arg minb*τ，Θ∑ni=1ρτ（yi-b*τ-

∑mj=-3θjB4j（xi））（9）

這里*τ是ε的100τ%分位數(shù)估計(jì).

那么分位數(shù)模型的Y|X的分位數(shù)回歸的100τ%條件分位數(shù)估計(jì)是：endprint

X′+*τ，=（-3，…，m）′，

X′=B4-3（x1）…B4m（x1）

B4-3（xn）…B4m（xn）（10）

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文基于GEFCom2014所給出的光伏出力的相關(guān)數(shù)據(jù)，在1.2節(jié)構(gòu)建的訓(xùn)練集與測(cè)試集的基礎(chǔ)上，針對(duì)2012年5月份該塊光伏面板出力數(shù)據(jù)，分別構(gòu)造兩種基于樣本的分位數(shù)回歸模型和簡(jiǎn)單分位數(shù)回歸模型以及普通最小二乘回歸模型，利用殘差和確定系數(shù)為指標(biāo)，對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較與分析.

4.1 模型評(píng)價(jià)指標(biāo)

4.1.1 殘差與殘差平方和

1）殘差.數(shù)據(jù)集合中第i個(gè)樣本的殘差ei計(jì)算公式為：

ei=yi-i（11）

式中：yi是第i個(gè)樣本的觀測(cè)值（實(shí)際值），i是對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值.

殘差反映了用回歸方程預(yù)測(cè)引起的誤差.

2）殘差平方和.殘差平方和（residual sum of squares，RSS）就是把每個(gè)殘差平方之后加起來(lái)所得到的值，表示隨機(jī)誤差的效應(yīng).一組數(shù)據(jù)的殘差平方和越小，其擬合的程度越好.

4.1.2 確定系數(shù)

度量回歸直線的擬合程度統(tǒng)計(jì)量是確定系數(shù)R2，R2的計(jì)算公式如下：

R2（y，）=1-∑nsamplesi=1（yi-i）2∑nsamplesi=1（yi-）2（12）

式中：yi是第i個(gè)樣本的觀測(cè)值，i是對(duì)應(yīng)的預(yù)測(cè)值，nsamples是樣本的個(gè)數(shù)，=1nsamples∑nsamplesi=1yi是真實(shí)值的均值.

R2的值越接近于1表示其回歸擬合的效果越好，自變量對(duì)因變量的解釋程度越高，自變量的變動(dòng)占總變動(dòng)的百分比高，真實(shí)值在回歸線附近越密集.

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4.2.1 回歸結(jié)果示意圖

對(duì)于2012年5月1日00：00～23：00的光伏面板出力數(shù)據(jù)，各模型的回歸結(jié)果如圖1所示，其中分位數(shù)為從0.05～0.95每隔0.05選擇一次.

從圖1可以看出，中位數(shù)回歸模型的回歸效果要優(yōu)于普通最小二乘回歸模型；在中位數(shù)回歸模型中，樣條估計(jì)的效果要優(yōu)于簡(jiǎn)單模型的效果，自然B樣條模型又較B樣條模型更加光滑.

為了進(jìn)一步比較兩種樣條模型，在圖2中作出了一日內(nèi)模型在不同分位數(shù)上的回歸結(jié)果.

4.2.2 殘差平方和與擬合優(yōu)度

對(duì)于2012年5月份某日的光伏發(fā)電功率值，為了度量回歸模型的擬合能力，計(jì)算回歸模型的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之間的殘差平方和以及確定系數(shù)的值，計(jì)算結(jié)果如圖3所示.

圖3顯示了中位數(shù)回歸模型以及均值回歸模型均不能達(dá)到令人滿意的曲線擬合效果；在4種回歸模型中，自然B樣條中位數(shù)回歸模型的擬合效果略優(yōu).因此下一步選擇計(jì)算該模型在一日中各個(gè)時(shí)刻上各個(gè)分位數(shù)點(diǎn)的殘差大小，從而比較不同分位數(shù)點(diǎn)的模型擬合效果.計(jì)算結(jié)果如圖4和圖5所示.

4.3 結(jié)果分析

從圖1不難看出：相對(duì)于均值回歸模型，中位數(shù)回歸模型對(duì)于該日的光伏發(fā)電功率有著較好擬合效果.這是由于分位數(shù)回歸方法不需要對(duì)分布作假設(shè)，并且對(duì)異常點(diǎn)不敏感，從而比均值回歸模型更穩(wěn)健，泛化能力更強(qiáng).圖2顯示了分位數(shù)回歸模型選取不同的分位數(shù)的值，得到光伏發(fā)電功率的完整條件分布的能力，不像最小二乘回歸那樣只得到其條件期望，使得預(yù)測(cè)的信息更加豐富.

從圖1和圖2同樣還可以比較得出，樣條估計(jì)能夠更好地增強(qiáng)分位數(shù)回歸效果，并且自然B樣條估計(jì)在增加節(jié)點(diǎn)的同時(shí)，使樣條在邊界更加的光滑，改善B樣條估計(jì)方法對(duì)邊界的擬合效果.

從圖3中可以看出，對(duì)于日光伏發(fā)電功率，單純的中位數(shù)回歸模型以及普通最小二乘回歸模型均不能達(dá)到很好的曲線擬合效果.這是由于已有的特征（即相關(guān)影響因素）對(duì)于一日各個(gè)時(shí)刻的光伏發(fā)電功率的影響機(jī)制在不同時(shí)刻是不同的，因此會(huì)造成各個(gè)時(shí)刻的回歸結(jié)果的好壞差距，從而影響日光伏發(fā)電功率曲線擬合的效果.

從圖4和圖5中可以看出，一日中各個(gè)時(shí)刻上各個(gè)分位數(shù)點(diǎn)的回歸擬合效果是不同的.因此可以在該實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上繼續(xù)進(jìn)行研究，尋找影響各個(gè)時(shí)刻各個(gè)分位數(shù)點(diǎn)回歸效果的因素，找出不同時(shí)刻回歸擬合效果較好的分位數(shù)點(diǎn)，從而便于模型在實(shí)際中對(duì)光伏發(fā)電功率進(jìn)行預(yù)測(cè).簡(jiǎn)單地看來(lái)，在一天的01：00～03：00時(shí)刻，0.8及0.9分位數(shù)上的回歸模型對(duì)光伏出力功率曲線的擬合效果較好；在07：00～09：00時(shí)刻，0.5及0.4分位數(shù)上的回歸模型擬合效果較好；在09：00時(shí)刻之后，0.6及0.7分位數(shù)上的回歸模型擬合效果較好.

5 結(jié) 論

本文通過(guò)建立基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸模型，對(duì)GEFCom2014所提供的光伏發(fā)電數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，由此得到以下結(jié)論：

1）基于樣條估計(jì)的分位數(shù)回歸模型相對(duì)于普通二乘回歸模型以及簡(jiǎn)單分位數(shù)回歸模型對(duì)日光伏發(fā)電功率的擬合效果更好.

2）分位數(shù)回歸模型能夠得到光伏發(fā)電功率預(yù)測(cè)值的完整分布，可以有效地增加光伏系統(tǒng)對(duì)太陽(yáng)能的利用率，盡力減少接入電網(wǎng)的光伏系統(tǒng)對(duì)電網(wǎng)的不利影響.

3）分位數(shù)回歸模型在呈現(xiàn)厚尾、非對(duì)稱的情況的光伏發(fā)電功率數(shù)據(jù)，可以有效地實(shí)現(xiàn)與分析光伏出力與相關(guān)影響因素的關(guān)系.在本文進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中，不難看出，不同分位數(shù)下對(duì)光伏出力的回歸效果是不同的，因此實(shí)際上，在不同時(shí)刻內(nèi)選取不同分位數(shù)上的回歸，可以實(shí)現(xiàn)光伏發(fā)電功率的有效回歸與預(yù)測(cè).

4）分位數(shù)回歸模型在給出光伏發(fā)電功率預(yù)測(cè)值完整分布的同時(shí)，可以更加準(zhǔn)確有效地分析相關(guān)因素對(duì)光伏出力功率的影響.

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