陳家欣

【摘 要】《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學著作，是當時世界上最先進的應用數(shù)學，它的出現(xiàn)標志著中國古代數(shù)學形成了完整的體系；《幾何原本》是古希臘時期乃至整個人類歷史上最重要的數(shù)學著作，是數(shù)學史上一個偉大的里程碑，它不僅是幾何學建立的標志，同時也是公理體系在具體學科中應用成功的標志。

【關(guān)鍵詞】九章算術(shù)；幾何原本；代數(shù)；幾何

引言

《九章算術(shù)》與《幾何原本》是數(shù)學史上東西輝映的兩大巨著，是數(shù)學思想方法的兩個源頭?！毒耪滤阈g(shù)》強調(diào)辯證思維，特別注重實事求是，理論聯(lián)系實際。全書的246道題，都建立在與生活和生產(chǎn)相關(guān)的應用上，形成了以計算為中心的數(shù)學體系，對中國古算影響深遠；而《幾何原本》則相反，與生活和社會的實際問題無關(guān)，全書沒有一道應用題，全部是純粹的數(shù)學問題。兩書同為古代數(shù)學的巨著，對近代數(shù)學的發(fā)展影響深遠，那兩書到底有著怎樣不同的風格特點，本文將從以下三個方面來論述。

1.體系

《九章算術(shù)》開放的歸納體系，全書共246個與生產(chǎn)生活相關(guān)的算術(shù)題目，同一類型的計算問題化歸為一章，共九章。現(xiàn)將各章內(nèi)容簡介如下：

第一章“方田”：田畝面積計算；（“方”面積單位）

第二章“粟米”：谷物糧食之間互相兌換；（“粟”谷物）

第三章“衰分”：比例分配；（“衰”按比例）

第四章“少廣”：已知面積、體積、求其一邊寬廣等；（“少”多少，“廣”寬廣）

第五章“商功”：土木工程、體積計算；（“商”度量，“功”工程）

第六章“均輸”：合理攤派賦稅；（“均”勻，“輸”財物）

第七章“盈不足”：解應用；

第八章“方程”：一次方程組；（“程”程式）

第九章“勾股”：勾股定理；

基本包含了當時所有的數(shù)學分支，注重將數(shù)學與生活實踐相結(jié)合起來，讓數(shù)學來源于生活，更好的服務于生活。從思想的角度來看，《九章算術(shù)》主要是按照由個別到一般的歸納推理方式，《九章算術(shù)》體現(xiàn)觀察—實驗—歸納—分析—概括的數(shù)學研究方式，形成了以開放歸納為主的歸納體系。

《幾何原本》封閉的演繹體系，全書共分13卷，共475個命題（包括5個公設和5個公理），現(xiàn)將各卷內(nèi)容簡介如下：

第一卷“幾何基礎”：5個公設與5個公理，邊與角的大小關(guān)系，三角形與多邊形面積相等的條件，畢達哥拉斯定理的正逆命題。

第二卷“幾何與代數(shù)”：如何將三角形變成等積的正方形。

第三卷“圓與角”：闡述關(guān)于，圓，圓心角，圓周角，切線，割線，垂徑，弦，直徑的定理。

第四卷“圓與正多邊形”：討論圓內(nèi)切與外切多邊形的性質(zhì)。

第五卷“比例”：討論量與量之間的比例理論。

第六卷“相似”：闡述相似多邊形理論。

第七、八、九、卷“數(shù)論”：闡述整數(shù)之間的性質(zhì)。

第十卷“無理量”：主要討論無理量與不可通約的量之間的關(guān)系。

第十一卷“立體幾何”：討論空間直線與平面平行、相交、重合的位置關(guān)系。

第十二卷“立體的測量”：討論立體圖形的體積與面積的性質(zhì)。

第十三卷“建正多面體”：主要討論五種正多面體。

從5個公設與5個公理出發(fā)，通過點、線、面和邏輯的基本方法，把當時所學幾何內(nèi)容都演繹推理出來，在形式上構(gòu)成了一個封閉的演繹體系；從社會的發(fā)展角度，它并不能運用到生產(chǎn)實踐中去，它全部是純粹的數(shù)學問題，因而它對社會的各個領(lǐng)域都是一個演繹的封閉體系。

2.內(nèi)容

《九章算術(shù)》算法化的內(nèi)容，全書246個問題，主要屬于初等代數(shù)內(nèi)容，其中主要的是代數(shù)問題，其中含有少部分的幾何問題也是用代數(shù)的形式處理的。所以《九章算術(shù)》就是一本以算法為中心的著作，全書沒有命題，只有題目與方法，而且這些題目還是分門別類在《九章算術(shù)》的每一個章節(jié)中，這種重實踐而輕理論的特點，造就了《九章算術(shù)》算法化的內(nèi)容。

《幾何原本》抽象化的內(nèi)容，全書475個問題，主要屬于初等幾何內(nèi)容，其中主要的是幾何問題，其中含有少部分的代數(shù)問題也是用幾何的形式處理的。所以《幾何原本》就是一本以幾何為中心的著作，全書探討了數(shù)的若干性質(zhì)，但是從不涉及到數(shù)的計算與應用，它重視實物的共性與抽象的理論，這種重理論輕實踐的特點，造就了《幾何原本》抽象化的內(nèi)容。

3.方法

《九章算術(shù)》模型化的方法，從數(shù)學方法的角度來看，《九章算術(shù)》以社會實踐與生活為基礎，先在實踐中觀察出具有典型意義的生活原型，適當?shù)挠脭?shù)學模型去表述問題，在數(shù)學模型里歸納出數(shù)學模型的共性，再分析給出可以運用的數(shù)學模型?！毒耪滤阈g(shù)》這種以社會實踐為基礎，將其模型化為數(shù)學模型，然后用這個模型去解決更多問題的方法，就稱之為模型化的方法。

《幾何原本》公理化的方法，從數(shù)學方法的角度來看，《幾何原本》以5個公設和5個公理為基本前提，緊接著給出了23個定義，再逐步的引入公理和定理，通過前面給出的公設與公理還有定義逐步的演繹推理出需證明的公理與定理。這種處理問題與知識體系的方法，就稱之為公理化的方法。

【參考文獻】

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