盧劍霞

摘 要： 隨著新一輪基礎(chǔ)教育改革的推進(jìn)，數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)被納入我國(guó)中學(xué)課程教學(xué)。在新教材的實(shí)驗(yàn)和推廣中，以“課題學(xué)習(xí)”為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的重要方式之一。教師用自己的智慧去研究教材、整合知識(shí)，有創(chuàng)造性地教學(xué)，讓學(xué)生親歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型，并進(jìn)行解釋與應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，獲得成功的體驗(yàn)和克服困難的經(jīng)歷。

筆者設(shè)計(jì)的《課題學(xué)習(xí) 最短路徑問(wèn)題（第2課時(shí)）》參加了“2016福建省青年教師優(yōu)秀課觀摩與交流活動(dòng)”，在活動(dòng)中參評(píng)并獲得二等獎(jiǎng)?，F(xiàn)以本節(jié)課為例，就教學(xué)中如何精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，借助自制教具，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展等方面談?wù)劰P者的設(shè)計(jì)與思考。

關(guān)鍵詞： 轉(zhuǎn)化思想；化歸思想；最短路徑；平移

一、 教學(xué)思路的設(shè)計(jì)

內(nèi)容分析

1 課標(biāo)要求

“課題學(xué)習(xí)”，著重在于考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法等解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。本節(jié)課是“最短路徑問(wèn)題（第2課時(shí)）”，讓學(xué)生經(jīng)歷用“平移變換”和“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)尋求分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法的過(guò)程，在觀察、操作、想象、論證、交流的過(guò)程中，體會(huì)圖形變化在解決問(wèn)題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化的思想。

2 教材分析

本節(jié)課以“造橋選址”為背景，開展對(duì)“最短路徑問(wèn)題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問(wèn)題，再利用平移將線段和最小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問(wèn)題。對(duì)它的學(xué)習(xí)和研究，有助于對(duì)最短路徑問(wèn)題的分析、解決。為今后在求立體圖形、圓、平面直角坐標(biāo)系中求最值問(wèn)題提供了方法。

學(xué)生在七年級(jí)和上節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，已經(jīng)掌握了用與最值有關(guān)的公理、定理解決問(wèn)題的推理能力。“造橋選址”是實(shí)際生活中的極值問(wèn)題，在這個(gè)問(wèn)題中，平移起了一個(gè)橋梁作用，學(xué)習(xí)過(guò)程的本質(zhì)是推理與化歸的過(guò)程。有助于提高學(xué)生的推理能力、應(yīng)用意識(shí)；分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

3 學(xué)情分析

最短路徑問(wèn)題從本質(zhì)上說(shuō)是最值問(wèn)題，作為初中學(xué)生，在此之前很少涉及最值問(wèn)題，解決這方面問(wèn)題的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)尚顯不足，特別是面對(duì)具有具體背景的最值問(wèn)題，更會(huì)感到陌生，無(wú)從下手 。

與上節(jié)課相比，本節(jié)課的問(wèn)題更為復(fù)雜，出現(xiàn)了三段線段的和最小問(wèn)題，解答“當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+MN+NB最小”，需要將其轉(zhuǎn)化為“當(dāng)點(diǎn)N在直線b的什么位置時(shí)，AM+NB最小”。能否這樣轉(zhuǎn)化，如何實(shí)現(xiàn)這樣的轉(zhuǎn)化？有的學(xué)生會(huì)存在理解上和操作上的困難，還有的學(xué)生可能會(huì)受思維慣性的影響（上節(jié)課學(xué)習(xí)了“利用軸對(duì)稱解決最短路徑問(wèn)題”）。在教學(xué)中要巧妙引導(dǎo)，其本質(zhì)還是在于對(duì)“兩點(diǎn)之間，線段最短”的深刻理解。

教學(xué)目標(biāo)：

對(duì)教學(xué)內(nèi)容的研究是為了制定精準(zhǔn)的教學(xué)目標(biāo)，本節(jié)課的總體教學(xué)目標(biāo)是：能利用平移解決最短路徑問(wèn)題，體會(huì)圖形的變換在解決最值問(wèn)題中作用，感悟轉(zhuǎn)化的思想。

重點(diǎn)：利用平移將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”問(wèn)題。

難點(diǎn)：如何利用平移將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：利用平移將橋的長(zhǎng)度巧妙地化解開去。

二、 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一） 新知學(xué)習(xí)

師：如圖1，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了：牧馬人從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河岸l飲馬，然后到好朋友家B地做客。利用軸對(duì)稱的知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線段最短”，從而找到了使路程最短的點(diǎn)P。

最近，好朋友的家搬到了河的對(duì)岸，他們?cè)O(shè)想如果要在河上造一座橋MN，橋造何處可使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）如圖2，這又出現(xiàn)了一個(gè)“最短路徑問(wèn)題”。

在本節(jié)課中會(huì)運(yùn)用怎樣的圖形變換來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？

設(shè)計(jì)意圖：引入問(wèn)題2

（二） 自主探究

活動(dòng)一、 分析問(wèn)題：

問(wèn)題1：這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們首先要做什么？

生：首先把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體地可以將A、B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河的兩岸抽象為兩條互相平行的直線a、b，將橋抽象為一條與直線垂直的線段MN。

追問(wèn)1：怎樣用幾何圖形來(lái)初步表示以上問(wèn)題？

學(xué)生思考并展示圖形。

追問(wèn)2：對(duì)于橋的確定需要幾個(gè)點(diǎn)？

生：兩個(gè)（點(diǎn)M，N）。

追問(wèn)3：如果已知一個(gè)點(diǎn)可以找到另一個(gè)點(diǎn)嗎？

生思考并回答：可以。

師：這樣把找“一條線段”的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“找一個(gè)點(diǎn)”的問(wèn)題了。繼續(xù)完成圖形。

追問(wèn)4：綜合以上分析，請(qǐng)結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述這個(gè)問(wèn)題。

學(xué)生思考討論，并相互補(bǔ)充，最后達(dá)成共識(shí)：如圖3，直線a∥b，點(diǎn)N為直線b上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN⊥b，交直線a于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)N位于什么位置時(shí)，AM+MN+NB最?。?/p>

也可說(shuō)成：如圖3，直線a∥b，點(diǎn)M為直線a上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN⊥a，交直線b于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)M位于什么位置時(shí)，AM+MN+NB最??？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”。

（三） 合作提升

活動(dòng)二、解決問(wèn)題

追問(wèn)5：?jiǎn)栴}中要求的AM+MN+NB最小，在這三條線段中，有哪些線段會(huì)隨著點(diǎn)N的位置變化而變化？

生：由于河岸是互相平行的且橋要與河岸垂直，決定了橋的長(zhǎng)度MN就是河寬，無(wú)論橋造在何處，MN是必經(jīng)路線，所以AM+MN+NB最小本質(zhì)上就是AM+NB最小。

追問(wèn)6：怎樣保證AM+NB最小呢？

學(xué)生展開討論。（在這一環(huán)節(jié)中，學(xué)生可能出現(xiàn)多種考慮方案，可由小組長(zhǎng)負(fù)責(zé)收集，根據(jù)課堂情況，在后面的環(huán)節(jié)或待新課結(jié)束后進(jìn)行分析討論。）

追問(wèn)7：如圖4，假設(shè)點(diǎn)A、B中間不是隔著一條河（平行線），而是一條直線，你會(huì)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

生：直接連接A、B即可。

追問(wèn)8：觀察圖3、圖4，這兩個(gè)問(wèn)題有什么聯(lián)系？可以轉(zhuǎn)化為假設(shè)的問(wèn)題嗎？

教師演示教具，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)系。

生：將直線a向直線b平移，平移的方向?yàn)椤芭c河岸垂直”，平移的距離為“河寬”，使兩直線重合，就轉(zhuǎn)化為假設(shè)的問(wèn)題了。

師：平移直線a的同時(shí)，點(diǎn)A有什么需要配合的變化？

學(xué)生小組討論：點(diǎn)A也需要同樣的平移，否則點(diǎn)A與河岸的距離會(huì)發(fā)生變化。

師：這樣就在直線b中找出建橋點(diǎn)N。

師：如何清楚地表達(dá)這種方法？并畫出圖形。

學(xué)生小組合作交流，相互補(bǔ)充

生：過(guò)點(diǎn)A作射線AC⊥a，在AC上截取AA′=河寬，連接A′B，交直線b于點(diǎn)N，點(diǎn)N即為所求。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)搭建平臺(tái)，將“三條線段和”的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“兩條線段和”的問(wèn)題；將“兩平行線”轉(zhuǎn)化為“一條直線”問(wèn)題。通過(guò)這兩個(gè)臺(tái)階，降低問(wèn)題的難度，滲透轉(zhuǎn)化思想，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

（四） 引導(dǎo)發(fā)展

活動(dòng)三、證明問(wèn)題

師：你能證明這樣找到的點(diǎn)N為符合條件的點(diǎn)嗎？通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，要證明“最大”或“最小”這類問(wèn)題，通常怎么處理？

生：常常要另選一個(gè)量，通過(guò)與需求證的那個(gè)“最大”或“最小”的量進(jìn)行比較來(lái)證明。

生：不妨在直線b上另外取一點(diǎn)N′，作為建橋點(diǎn)，過(guò)N′作N′M′⊥a，垂足為M′，連接AM′，N′B，求證：AM+MN+NB

學(xué)生在學(xué)習(xí)提綱上進(jìn)行嘗試證明。

證明：在△A′N′B中，

∵A′B

即A′N+NB

∴AM+NB

∴AM+MN+NB

∴AM+MN+BN最小。

師： 你能解釋小組中出現(xiàn)的各種作法，它們是否符合題意嗎？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步驗(yàn)證作法的正確性，提高邏輯思維能力。

二、 設(shè)計(jì)說(shuō)明與思考

轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)重要思想。任何一個(gè)新知識(shí)，總是原有知識(shí)發(fā)展和轉(zhuǎn)化

的結(jié)果。它可以將某些數(shù)學(xué)問(wèn)題化難為易，另辟蹊徑，通過(guò)轉(zhuǎn)化途徑探索出解決問(wèn)題的新思路。在教學(xué)中我們教師應(yīng)結(jié)合恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容逐步滲透給學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想，使他們能用轉(zhuǎn)化的思想去學(xué)習(xí)新知識(shí)、分析并解決問(wèn)題。

本節(jié)課是上一節(jié)課的續(xù)篇，運(yùn)用故事的形式自然地引入新課即“造橋選址”問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用幾何圖形表示。設(shè)計(jì)有梯度的問(wèn)題，問(wèn)題串如下：

1. 怎樣用幾何圖形表示以上問(wèn)題？

2. 對(duì)于橋的確定需要幾個(gè)點(diǎn)？

3. 如果已知一個(gè)點(diǎn)可以找到另一個(gè)點(diǎn)嗎？

4. 問(wèn)題中要求的AM+MN+NB最小，在這三條線段中，有哪些線段會(huì)隨著點(diǎn)N的位置變化而變化？

5. 怎樣保證AM+NB最小呢？

這樣將總問(wèn)題分解為若干小問(wèn)題，特別是對(duì)于橋的確定，由原來(lái)的找“一條線段”轉(zhuǎn)化為“找一個(gè)點(diǎn)”的問(wèn)題，將兩條平行線通過(guò)平移“一合一分”，并結(jié)合教具的演示，學(xué)生有豁然開朗的感覺(jué)。整個(gè)分析過(guò)程一氣呵成，順理成章，符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的合理建構(gòu)，有利于學(xué)生對(duì)最短路徑問(wèn)題的理解、應(yīng)用。

總之，教學(xué)時(shí)教師需適時(shí)提煉運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想，從實(shí)際問(wèn)題情境中感悟思維機(jī)制，獲取問(wèn)題轉(zhuǎn)化的思想，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，提高數(shù)學(xué)能力，形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[S].北京師范大學(xué)出版社，2011.

[2]義務(wù)教育數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書八年級(jí)上冊(cè).