張國利

【摘要】本文統(tǒng)計(jì)了華東師范大學(xué)編寫的《數(shù)學(xué)分析（第四版）》教材中的定理、習(xí)題和提及的數(shù)學(xué)家，研究了這些數(shù)學(xué)家傳記以及一些數(shù)學(xué)史在課堂上的教育價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生在數(shù)學(xué)分析課堂上的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的人文素質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)分析；數(shù)學(xué)家；數(shù)學(xué)史；人文素質(zhì)

【中圖分類號(hào)】G642.0 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）13-0055-02

在我校數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院的應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育和統(tǒng)計(jì)學(xué)等幾個(gè)本科專業(yè)里，都采用了華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫的《數(shù)學(xué)分析（第四版）》（以下簡稱《數(shù)》）作為授課教材?！稊?shù)》分為上下兩冊(cè)，其內(nèi)容難易適當(dāng)，習(xí)題豐富，章節(jié)設(shè)置合理，很多高校都采用了此書作為教材，一般用3個(gè)學(xué)期完成教學(xué)。教學(xué)過程中，我們可以采用毛羽輝等編著的《數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（ 上下冊(cè)）》作為輔導(dǎo)教材，可以推薦學(xué)生把東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系劉玉璉等編著的《數(shù)學(xué)分析講義》作為配套教材，當(dāng)然，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生也可以推薦他們閱讀張筑生、歐陽光中、陳紀(jì)修、謝惠民等或直接閱讀Amann、Apostol或Zorich等各自編著的數(shù)學(xué)分析著作。

《數(shù)》中有大量的定理，定義和習(xí)題以及數(shù)學(xué)家的名字，由于和高中數(shù)學(xué)思維的巨大差異，初學(xué)此書的高中畢業(yè)生大多會(huì)略感不適。本文從對(duì)這些定理和數(shù)學(xué)家的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得出了對(duì)本教材貢獻(xiàn)最大的數(shù)學(xué)家，通過對(duì)他們的介紹，可以提高對(duì)教材的可教性和學(xué)生的易學(xué)性，這些課堂上有益的嘗試，確實(shí)收到了一些理想的教學(xué)效果。

一、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家傳記的人文教育價(jià)值

無論哪一本數(shù)學(xué)分析教材都會(huì)有大量的定理及其證明，經(jīng)作者統(tǒng)計(jì)，《數(shù)》正文中共有244個(gè)定理（等價(jià)定理或推論不計(jì)入），提到48位數(shù)學(xué)家（含習(xí)題中的），以數(shù)學(xué)家命名的定理有34個(gè)，約占定理總數(shù)的13.9%。該書共有966道習(xí)題，其中課后習(xí)題中的基礎(chǔ)題有490道，約占50.7%，提高題273道，約占28.3%，總復(fù)習(xí)題203道，約占21%。[1]從這個(gè)數(shù)據(jù)來看，學(xué)生要至少做好全書一半以上的習(xí)題才能算基本掌握教材，要學(xué)精教材至少要做好70%以上的習(xí)題，但從作者的小范圍調(diào)查來看，我校學(xué)生普遍做題沒有達(dá)到50%甚至更低，這是一個(gè)需要注意的問題。

大部分的數(shù)學(xué)教材都在很直接地向?qū)W生介紹各種定義、定理和直接的證明，而對(duì)這些教學(xué)內(nèi)容的背景提的不多，其實(shí)這是一個(gè)很好的對(duì)學(xué)生進(jìn)行人文教育的機(jī)會(huì)，在課堂上對(duì)學(xué)生的滲透也是最好的提高人文素質(zhì)的方式之一。季羨林大師在首屆北大論壇上曾講到：“在21世紀(jì)，文理交融是學(xué)術(shù)發(fā)展的必由之路，文理雙方的專家都要考慮交融的問題。”[2]其實(shí)，每一個(gè)定義、定理的產(chǎn)生背后都有很多數(shù)學(xué)家研究的艱辛歷程，有該問題產(chǎn)生的萌芽、錯(cuò)誤、改進(jìn)和推廣，了解這些問題背景，不僅對(duì)學(xué)好本門課程的學(xué)習(xí)有利，也會(huì)提高學(xué)生的人文素質(zhì)，對(duì)后續(xù)課程也有很好的影響。因此，作者在《數(shù)》的教學(xué)過程中，越來越體會(huì)到對(duì)數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家傳記貫穿到教學(xué)中的重要性，為此專門搜集了《數(shù)》中出現(xiàn)的全部數(shù)學(xué)家傳記并整理裝訂成4冊(cè)共約500頁的傳記以便為教學(xué)服務(wù)，此外，作者還正在整理《數(shù)》中出現(xiàn)的著名定理或數(shù)學(xué)概念的研究歷程編輯成冊(cè)以方便教學(xué)。同時(shí)作者也積極向?qū)W生推薦一些如吳文俊或林壽的《數(shù)學(xué)史》、齊民友的《重溫微積分》、克萊因（Felix Klein，德國數(shù)學(xué)家、教育家，1849.4.25-1925.6.22，在群論、復(fù)分析和非歐幾何等領(lǐng)域有重要貢獻(xiàn)）原著，舒湘芹等譯的《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》、John Stillwell（澳大利亞，1942-）原著，袁向東等譯的《數(shù)學(xué)及其歷史》等數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)科普著作。

著名華裔數(shù)學(xué)家丘成桐（1949-）說過“多讀幾部科學(xué)家傳記比參加奧賽訓(xùn)練要好的多，培養(yǎng)學(xué)生的興趣太重要了”。[3]作為數(shù)學(xué)系本科《數(shù)》課程的教師，有必要對(duì)數(shù)學(xué)家傳記或數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值進(jìn)行研究。從數(shù)學(xué)家傳記中，我們可以探索其個(gè)人或順利、或挫折的成長經(jīng)歷以及社會(huì)環(huán)境對(duì)個(gè)人成長的影響，可以看到教材上沒有提到的他們對(duì)數(shù)學(xué)的具體貢獻(xiàn)，由此可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，如介紹魏爾斯特拉斯是如何培養(yǎng)教育自己的學(xué)生、歐拉在視力減退的情況下如何著作等身、英年早逝的數(shù)學(xué)家阿貝爾的傳奇故事等。蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基（1918-1970）說過：“所有智力方面的工作都要依賴于興趣?！?[4]強(qiáng)烈的好奇心，是引發(fā)興趣的重要來源。適當(dāng)?shù)叵驅(qū)W生介紹曾經(jīng)解決或尚未解決的數(shù)學(xué)問題能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，如《數(shù)》上冊(cè)第46頁函數(shù)極限的（ε，δ）定義產(chǎn)生過程：18世紀(jì)初，柯西在他的某些文章中已經(jīng)開始使用ε，δ這一類符號(hào)，但沒有提出函數(shù)極限的（ε，δ）定義。1817年波爾扎諾（Bernard Bolzano，捷克數(shù)學(xué)家，1781.10.5-1848.12.18）第一個(gè)提出極限的（ε，δ）定義，最終由魏爾斯特拉斯提出極限的現(xiàn)代（ε，δ）定義，再加上后來戴德金等人提出的實(shí)數(shù)理論才奠定了分析嚴(yán)格化的基礎(chǔ)。第204頁黎曼積分的產(chǎn)生過程及其缺陷：對(duì)于定義在有界閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，在柯西定義的積分里面，，其中δ是對(duì)[a，b]分割的模，是每一個(gè)分割小區(qū)間的左端點(diǎn)，柯西在證明連續(xù)函數(shù)一定是（柯西）可積的證明過程是不完美的，而且其定義也是有局限性的，后來黎曼改進(jìn)了柯西的定義，把柯西積分定義中的改為中的任一點(diǎn)ξi，于是對(duì)柯西積分只適用于任一點(diǎn)震蕩為0的函數(shù)，黎曼積分則將其推廣到了震蕩可以大于0的情形。[5]當(dāng)然黎曼積分在如積分與極限換序運(yùn)算等方面的不便更促使了Lebesgue（法國數(shù)學(xué)家，1875.6.28-1941.7.26）積分的產(chǎn)生和發(fā)展。下冊(cè)第5頁的格蘭迪（Luigi Guido Grandi，意大利數(shù)學(xué)家，1671.10.1-1742.9.4）級(jí)數(shù)：這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散很好證明，但是其切薩羅（Ernesto Cesàro，意大利數(shù)學(xué)家，1859.3.12-1906.9.12）和卻等于，其原因就在于我們對(duì)級(jí)數(shù)和的定義有差異。第14頁p級(jí)數(shù)斂散性的研究歷程：ζ（1）稱為調(diào)和級(jí)數(shù)，其發(fā)散性首先被奧雷斯姆（Nicole Oresme，法國數(shù)學(xué)家，1325-1382）在1350年證明。ζ（2）時(shí)是著名的巴塞爾問題（Basel Problem），1735年，年僅28歲的歐拉得到了經(jīng)典的結(jié)果ζ（2），盡管一開始的證明并不完美，但從此在數(shù)學(xué)屆名聲大振。ζ（3）為稱為阿佩里（Roger Apéry，法國，1916-1994）常數(shù)，1979年Apéry證明了ζ（3）是個(gè)無理數(shù)，更多情況下的ξ（p）是有理數(shù)還是無理數(shù)還不清楚。一般情況下，稱ζ（s）為黎曼zeta函數(shù)，其中s為實(shí)部大于1的復(fù)數(shù)。這個(gè)函數(shù)在解析數(shù)論中有著極其重要的地位尤其是與素?cái)?shù)的分布有著密切的聯(lián)系，它在物理學(xué)、概率論和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)中也有廣泛應(yīng)用。以上幾個(gè)例子我們可以看到教師在這里講授的每一個(gè)小知識(shí)點(diǎn)都可以變成課堂上一段段生動(dòng)的學(xué)習(xí)素材，花費(fèi)適當(dāng)?shù)臅r(shí)間介紹給學(xué)生可以起到點(diǎn)綴豐富數(shù)學(xué)課堂、增加數(shù)學(xué)知識(shí)的親和力、提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣等效果。事實(shí)上，只有那些熱愛數(shù)學(xué)，并能把數(shù)學(xué)看成活生生的、不斷發(fā)展的教師才能真正激起學(xué)生的好奇心和求知欲。

我們對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)，其核心是如何做人，如何為人處世體現(xiàn)了一定的人文精神。課堂教學(xué)僅僅傳遞知識(shí)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們教育的根本要使學(xué)生對(duì)人生價(jià)值有所領(lǐng)悟并產(chǎn)生熱愛生活和事業(yè)的情感，樹立遠(yuǎn)大人生目標(biāo)。1996年，聯(lián)合國教科文組織21世紀(jì)委員會(huì)發(fā)布的報(bào)告《學(xué)習(xí)：內(nèi)在的財(cái)富》提出了學(xué)習(xí)的四大支柱即：學(xué)會(huì)求知、學(xué)會(huì)做事、學(xué)會(huì)共處、學(xué)會(huì)生存。從數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的傳記來看，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程上有著大量相互交流，相互合作的例子，這正是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課堂上提高學(xué)生人文素質(zhì)的最好的教育方式之一。

二、結(jié)語

數(shù)學(xué)教師本身的整體素質(zhì)和人格魅力，直接影響著學(xué)生個(gè)人素質(zhì)的提高，如果在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，能及時(shí)領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的魅力和美，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的價(jià)值，這將使他們終身受益，這跟我們的校訓(xùn)：敬業(yè)奉獻(xiàn)，為人師表和教風(fēng)：德以修己，教以育人也是一脈相承的。

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版，上下冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]婁延常.高等學(xué)?？茖W(xué)教育與人文教育融合路徑的探討[J].中國高教研究，2003（18）1：2-24.

[3]丘成桐.數(shù)學(xué)家之路-從“龐加萊猜想”說起[J]，上海：光明日?qǐng)?bào)，2006，6，29（6）.

[4]胡作玄，鄧明立.大有可為的數(shù)學(xué)[M]，石家莊：河北教育出版社，2006.

[5]齊民友.從積分概念的發(fā)展看數(shù)學(xué)分析基本概念的發(fā)展（續(xù)2）[J].高等數(shù)學(xué)研究，2015.1.endprint