孫文豪，張 鋒，羅順安，汪 涵

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門 361021）

自適應(yīng)主動(dòng)振動(dòng)控制仿真分析

孫文豪，張 鋒，羅順安，汪 涵

（華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門 361021）

在FxLMS自適應(yīng)算法中，次級通道會(huì)影響輸入信號自相關(guān)矩陣的可對角化性和特征值擴(kuò)散度，從而影響算法的收斂速度。為了降低次級通道對輸入信號的影響，加快算法的收斂，提出將改進(jìn)的FxLMS算法—SOFxLMS算法應(yīng)用于振動(dòng)主動(dòng)控制研究中。在Simulink中分別搭建基于兩種算法的主動(dòng)振動(dòng)控制仿真結(jié)構(gòu)，基于系統(tǒng)穩(wěn)定的前提，在相同條件下對兩種算法進(jìn)行仿真對比分析。仿真結(jié)果表明：在迭代步長較大、濾波器階數(shù)較少的條件下，SOFxLMS算法具有更好的振動(dòng)控制效果。

振動(dòng)與波；自適應(yīng)算法；主動(dòng)振動(dòng)控制；Simulink仿真；次級通道

自適應(yīng)主動(dòng)振動(dòng)控制方法的基本原理是根據(jù)傳感器獲得的振動(dòng)信號，在結(jié)構(gòu)上直接附加力源(作動(dòng)器)，并通過自適應(yīng)控制規(guī)律調(diào)節(jié)，產(chǎn)生一個(gè)與振源大小相等、相位相反的振動(dòng)信號來抵消有害振動(dòng)[1–2]。由于振動(dòng)主動(dòng)控制能有效抑制振動(dòng)，具有功耗低、自適應(yīng)性強(qiáng)、計(jì)算復(fù)雜度低等優(yōu)點(diǎn)，能彌足被動(dòng)控制技術(shù)的不足，成為近年來振動(dòng)控制工程領(lǐng)域的熱點(diǎn)[3–4]。作為振動(dòng)主動(dòng)控制器的核心，控制算法的選擇至關(guān)重要。而FxLMS算法根據(jù)實(shí)際情況能夠?qū)崟r(shí)適應(yīng)調(diào)整，且不依賴控制目標(biāo)的頻寬大小，成為振動(dòng)控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛、最受歡迎的算法之一[5–6]。目前FxLMS算法多側(cè)重于其自身特性的研究及結(jié)構(gòu)改進(jìn)后的應(yīng)用。Hansen等分析了時(shí)域中影響單輸入單輸出的FxLMS算法的因素，并提出了相應(yīng)的解決方案[7]。Chang等提出應(yīng)用一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的FxLMS算法來控制非線性寬頻帶噪聲，仿真表明所提方法能夠有效降低窄頻帶和非線性寬頻帶的噪聲[8]。Tang等在主動(dòng)噪聲控制研究中，提出應(yīng)用一種時(shí)頻域FxLMS算法，與時(shí)域FxLMS算法相比，該算法具有更好的收斂性能[9]。李以農(nóng)等在單級齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制的實(shí)驗(yàn)研究中，提出應(yīng)用一種次級通道在線辨識的反饋FxLMS算法，在Simulink中建立了控制算法模塊并通過仿真分析驗(yàn)證了所提算法的正確性、有效性[10]。Bo等提出將動(dòng)量LMS算法應(yīng)用到FxLMS算法中，得到一種累積加權(quán)FxLMS算法，并將該算法應(yīng)用在窄頻帶主動(dòng)噪聲控制研究中[11]。Song等針對主動(dòng)噪聲控制研究，采用一種基于FxLMS算法修正的可優(yōu)化變步長的仿射投影算法，仿真結(jié)果證明該算法的收斂速度較改進(jìn)前得到有效提升[12]。揭偉俊等將FxLMS算法應(yīng)用于雙層隔振系統(tǒng)，并利用Simulink完成了雙層隔振系統(tǒng)的振動(dòng)主動(dòng)控制仿真，通過合理調(diào)節(jié)參數(shù)，F(xiàn)xLMS算法能明顯改進(jìn)主動(dòng)控制效果[13]。以上研究雖在提升算法收斂速度和降低穩(wěn)態(tài)誤差等方面達(dá)到了一定程度的預(yù)期效果，但往往以提高算法在結(jié)構(gòu)和計(jì)算上的復(fù)雜度為代價(jià)。本文以提高FxLMS算法的收斂速度和穩(wěn)定性為目標(biāo)，同時(shí)為了避免改進(jìn)后算法會(huì)大幅增大結(jié)構(gòu)和計(jì)算等方面的復(fù)雜度，提出將一種改進(jìn)的SOFxLMS(Self-orthogonalizing Filtered-x least mean square)自適應(yīng)算法應(yīng)用于振動(dòng)主動(dòng)控制仿真研究中，并對該算法和FxLMS算法的主動(dòng)振動(dòng)控制效果進(jìn)行對比分析。仿真結(jié)果表明在濾波器階數(shù)相對較少的大范圍內(nèi)，SOFxLMS算法具有更好的振動(dòng)控制效果。

1 算法結(jié)構(gòu)

1.1 FxLMS算法

如圖1所示，自適應(yīng)濾波器的權(quán)值W主要受FxLMS算法的誤差信號e(n)以及經(jīng)次級通道濾波后的輸入信號XS(n)和的影響，初級通道濾波延遲后得到初始振動(dòng)信號，與此同時(shí)，參考信號X(n)經(jīng)模擬次級通道的模型后得到濾波后的輸入信號XS(n)，XS(n)與誤差信號e(n)的乘積作為誤差梯度的估計(jì)值參與到算法的權(quán)值迭代過程之中。

圖1 FxLMS算法結(jié)構(gòu)框圖

N階FIR濾波器的輸出Y(n)等于卷積運(yùn)算

在仿真中，次級通道可以用M階FIR濾波器來建模

濾波后的輸入信號則為

控制器產(chǎn)生的控制信號等于濾波器與次級通道傳遞函數(shù)的卷積

誤差信號e(n)為初始振動(dòng)信號d(n)與控制器輸出的反振動(dòng)信號YS(n)之和

將式(1)、式(3)、式(4)代入式(5)，可得

其中XS(n)表示輸入向量

W(n)用來表示抽頭權(quán)值向量

在自適應(yīng)濾波中，均方誤差(MSE)被視為應(yīng)用最廣泛的一種目標(biāo)函數(shù)，在線性組合器和FIR濾波器兩種情形下，目標(biāo)函數(shù)可以表示為

將均方誤差最小化即可得到維納解w?，如式(10)所示，其中Rss為輸入信號的自相關(guān)矩陣，p為期望信號與輸入信號的互相關(guān)向量。FxLMS算法采用以下方式來更新權(quán)值

其中μ是自適應(yīng)步長，Xs^為利用次級通道S的估計(jì)模型，并用來對參考信號進(jìn)行濾波得到輸入信號(Xs^=Xs)。

將式(6)、式(10)代入式(11)中，并對式(11)求期望，可得到等式

ΔW為自適應(yīng)算法在第n次迭代中自適應(yīng)濾波器的權(quán)值與維納解之差。

實(shí)際上，F(xiàn)xLMS算法是基于最速下降法的一種簡化的方法，利用時(shí)間Rss和p的平均估計(jì)值來代替其精確估計(jì)值，而且這種方法的最大缺陷就在于其需要實(shí)時(shí)搜索Rss和p的值；另外，算法收斂速度的快慢也依賴于自相關(guān)矩陣的特征結(jié)構(gòu)。

將相關(guān)矩陣Rss進(jìn)行分解

其中Q為正交矩陣，Λ為對角矩陣，且對角矩陣Λ中的元素與自相關(guān)矩陣Rss的特征值相對應(yīng)。將式(13)代入式(12)中得到如下等式

對上式進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)，算法的最大步長主要受限于自相關(guān)矩陣的最大特征值的倒數(shù)

1.2 SOFxLMS算法

次級通道的引入會(huì)破壞輸入信號自相關(guān)矩陣的可對角化性，使自相關(guān)矩陣的特征值擴(kuò)散度增大，導(dǎo)致算法的收斂速度降低[14–15]。而當(dāng)次級通道的脈沖響應(yīng)系數(shù)可知，就可利用次級通道脈沖響應(yīng)系數(shù)降低輸入信號自相關(guān)矩陣的特征值擴(kuò)散度來提高算法的收斂速度；通過對輸入信號的自相關(guān)矩陣進(jìn)行計(jì)算，并利用解相關(guān)系數(shù)的方法對輸入信號進(jìn)行變換，以實(shí)現(xiàn)對FxLMS自適應(yīng)算法的自正交化，從而得到改進(jìn)后的SOFxLMS算法。

輸入信號的自相關(guān)函數(shù)為

用矩陣C對可表示為

其中矩陣C為

類比式(14)，將式(19)轉(zhuǎn)換成如下形式

根據(jù)式(20)，算法的迭代步長可設(shè)定為

不難發(fā)現(xiàn)該算法的迭代步長不受次級通道參數(shù)影響。

當(dāng)算法收斂時(shí)

根據(jù)式(20)進(jìn)行相應(yīng)代數(shù)運(yùn)算，可得到如下表達(dá)式

其中矩陣O為一個(gè)N×1的零向量；不管次級通道的脈沖響應(yīng)系數(shù)的值如何，SOFxLMS算法最終都將收斂于最優(yōu)解；也就是說矩陣C的引入增加算法收斂速度的同時(shí)并不會(huì)影響算法的穩(wěn)定性。

1.3 算法計(jì)算復(fù)雜度對比

表1為對兩種算法計(jì)算復(fù)雜度的對比分析，通過表中數(shù)據(jù)的對比可知，F(xiàn)xLMS算法和SOFxLMS算法的計(jì)算復(fù)雜度分別為N和N2。

表1 算法計(jì)算復(fù)雜度

2 控制對象動(dòng)力學(xué)模型

為了分析改進(jìn)前后兩種算法應(yīng)用于振動(dòng)主動(dòng)控制中的控制效果，以單級直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)為控制對象，建立相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)分析模型。

首先進(jìn)行如下假定：齒輪始終繞自身軸線做扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，在垂直于軸線的平面內(nèi)做平移運(yùn)動(dòng)，不存在沿軸線方向的振動(dòng)；齒輪輪齒嚙合模擬為線性時(shí)變剛度彈簧和阻尼，忽略齒側(cè)間隙和嚙合摩擦力的影響；齒輪軸具有彎曲剛度和阻尼以及扭轉(zhuǎn)剛度和阻尼；系統(tǒng)中阻尼均為黏性阻尼。

在不考慮齒輪偏心的條件下，建立如圖2所示的坐標(biāo)系，在建立的固定坐標(biāo)系上對直齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行建模。Oi(i=1,2)為齒輪的理論旋轉(zhuǎn)中心，以兩齒輪理論中心的連線方向?yàn)閤軸方向，坐標(biāo)軸y軸垂直于x軸；模型中圓為齒輪基圓，嚙合線為兩齒輪基圓的內(nèi)公切線；xi、yi(i=1,2)為由于系統(tǒng)振動(dòng)引起齒輪偏離其理論旋轉(zhuǎn)中心的平移線位移；

圖2 齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析模型

θi(i=1,2)為齒輪旋轉(zhuǎn)角位移折算到圓周扭轉(zhuǎn)方向上的扭轉(zhuǎn)線位移；Cib、Cit、Kib、Kit(i=1,2)為輸入軸、輸出軸齒輪處軸的彎曲阻尼和剛度，Km、Cm為嚙合副的嚙合剛度和阻尼，e為齒輪嚙合綜合誤差。

輸入齒輪和輸出齒輪在徑向支承方向上的振動(dòng)平移線位移x1、y1、x2、y2向嚙合線方向上的投影為x1sinα、y1cosα、x2sinα、y2cosα。輸入齒輪相對于輸出齒輪的相對位移在嚙合線方向上的投影為

輸入端電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中Iin為輸入端電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θin為輸入軸軸端電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)角，Tin為電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩。

輸入齒輪的運(yùn)動(dòng)微分方程為

輸出齒輪的運(yùn)動(dòng)微分方程為

輸出軸軸端負(fù)載的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中Iout為輸出軸軸端負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θout為輸出軸軸端旋轉(zhuǎn)角，Tout為輸出端負(fù)載力矩。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)矩陣形式的動(dòng)力學(xué)微分方程為

該微分方程中各列陣和矩陣的維數(shù)均為8，各量的含義為

m為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣

支承剛度矩陣和嚙合剛度矩陣與支承阻尼矩陣和嚙合阻尼矩陣結(jié)構(gòu)完全相同，只需替換參數(shù)，此處不列舉。

3 仿真分析

為了分析兩種自適應(yīng)算法應(yīng)用于主動(dòng)振動(dòng)控制時(shí)的控制效果，基于模塊化建模的思想[16]，在Simulink中分別搭建基于以上兩種算法的主動(dòng)振動(dòng)控制的仿真結(jié)構(gòu)，激勵(lì)源頻率為90 Hz、100 Hz和110 Hz、幅值均為1的3個(gè)正弦信號和隨機(jī)信號疊加，作為模擬的初始振動(dòng)信號，用level-2系統(tǒng)函數(shù)建立的算法模塊作為仿真控制單元，被控對象為建立的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，控制濾波器階數(shù)N分別設(shè)定為50、100及150，算法步長μ分別設(shè)為0.01、0.001及0.000 1，采樣時(shí)間為0.000 1 s，仿真時(shí)間為10 s。基于系統(tǒng)穩(wěn)定的前提，在相同條件下，對兩種算法采用相同控制濾波器階數(shù)，用不同的迭代步長進(jìn)行3組動(dòng)態(tài)仿真，并對比分析兩種算法應(yīng)用于主動(dòng)振動(dòng)控制中的控制效果。

3.1 自適應(yīng)算法時(shí)域控制效果

當(dāng)兩種算法的濾波器階數(shù)N=50、迭代步長μ=0.001時(shí)，SOFxLMS算法收斂，并在時(shí)域內(nèi)表現(xiàn)出良好的控制效果。而FxLMS算法在迭代步長μ=0.000 1時(shí)，算法控制失效，沒有產(chǎn)生控制效果，如圖3(a)、(b)所示。

增加濾波器階數(shù)至N=100，當(dāng)步長μ達(dá)到0.001時(shí)，SOFxLMS算法收斂，也表現(xiàn)出非常好的振動(dòng)控制效果，而FxLMS算法的迭代步長μ減小至0.000 1時(shí)，產(chǎn)生了一定的控制效果，如圖4(a)、(b)所示。

繼續(xù)增加濾波器階數(shù)至N=150，在迭代步長μ=0.001時(shí)兩種算法都已收斂，但SOFxLMS算法的控制效果較好，而算法迭代步長μ=0.000 1時(shí)，F(xiàn)xLMS算法的控制效果要優(yōu)于SOFxLMS算法，如圖5(a)、(b)所示。

由圖3、圖4、圖5對比可知：當(dāng)算法步長一定時(shí)，濾波器階數(shù)由50增至100的過程中，兩種自適應(yīng)算法的振動(dòng)控制效果都得到了明顯的提升，但SOFxLMS算法的收斂性能要比FxLMS算法表現(xiàn)得更出色，同時(shí)擁有更好的振動(dòng)控制效果；當(dāng)算法的迭代步長μ減小到0.000 1時(shí)，濾波器階數(shù)增至150，此時(shí)FxLMS算法的振動(dòng)控制效果要優(yōu)于SOFxLMS算法；但綜合看來SOFxLMS算法表現(xiàn)出較好的整體性能和控制效果。

通過以上分析，可知在濾波器階數(shù)相對較多和迭代步長較小的條件下，F(xiàn)xLMS算法表現(xiàn)出的控制效果要優(yōu)于SOFxLMS算法；而在逐漸減少濾波器階數(shù)、增大迭代步長的同時(shí)，F(xiàn)xLMS算法的性能明顯不如SOFxLMS算法，且最終控制效果也明顯劣于后者；故在濾波器階數(shù)由少增多的一定范圍內(nèi)，改進(jìn)后的SOFxLMS算法的綜合性能以及在振動(dòng)控制方面更具有優(yōu)勢。

3.2 自適應(yīng)算法頻域控制效果

通過時(shí)域控制效果圖可以分析出以上兩種算法的控制效果，但為了進(jìn)一步證明以上兩種算法的有效性和在目標(biāo)頻率處所產(chǎn)生的控制效果，對圖5(a)、圖5(b)進(jìn)行傅里葉變換得到兩種算法在頻域內(nèi)的控制效果圖。

圖6(a)、圖6(b)分別為兩種算法在濾波器階數(shù)N=150、迭代步長μ=0.000 1時(shí)的振動(dòng)頻域控制效果。

圖3 N=50時(shí)的振動(dòng)時(shí)域控制效果圖

圖4 N=100時(shí)的振動(dòng)時(shí)域控制效果圖

圖5 N=150時(shí)的振動(dòng)時(shí)域控制效果圖

圖6 N=150、μ=0.0001時(shí)的算法頻域控制效果

由圖6(a)、圖6(b)對比可以看出兩種算法在目標(biāo)頻率處的控制效果明顯，F(xiàn)xLMS算法在目標(biāo)頻率處的振動(dòng)衰減分別約為30 dB、28 dB、30 dB，而SOFxLMS算法在目標(biāo)頻率處的振動(dòng)衰減分別約為13 dB、20 dB、11 dB，因此，利用自適應(yīng)算法的主動(dòng)振動(dòng)控制方案能有效抑制在目標(biāo)頻率處的振動(dòng)。

4 結(jié)語

為了改進(jìn)振動(dòng)主動(dòng)控制研究中控制算法的性能和提高振動(dòng)控制效果，基于FxLMS算法改進(jìn)得到SOFxLM算法，通過在Matlab/Simulink搭建基于兩種自適應(yīng)算法的振動(dòng)控制結(jié)構(gòu)，并對算法的控制性能進(jìn)行分析，得到以下結(jié)論：

(1)在Simulink中進(jìn)行基于SOFxLMS算法的主動(dòng)振動(dòng)控制仿真研究，仿真結(jié)果證明了改進(jìn)的FxLMS算法—SOFxLMS算法的正確性和有效性。

(2)仿真結(jié)果表明：在算法迭代步長較大、濾波器階數(shù)較少的一定范圍內(nèi)，SOFxLMS算法的振動(dòng)控制效果明顯優(yōu)于FxLMS算法；另外，當(dāng)兩種算法都收斂時(shí)，目標(biāo)頻率處的振動(dòng)能得到有效抑制。

(3)當(dāng)逐漸增加濾波器階數(shù)、減小算法的迭代步長時(shí)，F(xiàn)xLMS算法逐漸表現(xiàn)出更好的控制效果和收斂性能。

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SimulationAnalysis ofAdaptiveActive Vibration Control

SUN Wen-hao,ZHANG Feng,LUO Shun-an,WANG Han
(College of Mechanical Engineering andAutomation,Huaqiao University,Xiamen 361021,Fujian China)

In FxLMS adaptive algorithm,secondary path can affect the diagonality of the filtered self-correlation matrix and the divergence of the eigenvalues,causing a slower convergence for the algorithm.In this paper,an improved FxLMS algorithm——SOFxLMS algorithm is proposed to reduce the influence of the secondary path and increase the convergence speed in active vibration control.The active vibration control simulation models based on the plain FxLMS algorithm and SOFxLMS algorithm are set up respectively in Simulink.On the promise of ensuring the stability of the system,the two kinds of algorithms are compared by simulation analysis under the same circumstances.The results show that the SOFxLMS algorithm has better control effect than that of FxLMS algorithm under the conditions of lower order filter and larger iteration step size.

vibration and wave;adaptive algorithm;active vibration control;Simulink simulation;secondary path

TB535；O328

A

10.3969/j.issn.1006-1355.2017.06.005

1006-1355(2017)06-0023-06+60

2017-04-19

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51405169)；福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015J01636)

孫文豪（1993-），男，碩士生，長春市人，主要研究方向?yàn)辇X輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制研究。E-mail:WilhelmSun@163.com

張鋒（1979-），男，博士，碩士生導(dǎo)師，山東省淄博市人，研究方向?yàn)辇X輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制理論與方法、汽車電子動(dòng)力學(xué)、汽車空氣懸架。E-mail:alwaysqing@126.com