張合遠(yuǎn)

【摘要】錯(cuò)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要資源，教師要重視其教育價(jià)值，將錯(cuò)題靈活地運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，引發(fā)思維碰撞，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生反思能力，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，巧讓“錯(cuò)題”生成“精彩”。

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)題資源 有效利用 思維能力

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）48-0112-02

布魯納說：“錯(cuò)誤是有價(jià)值的”。怎樣才能發(fā)揮學(xué)生出錯(cuò)的最大價(jià)值，這取決于教師在課堂教學(xué)中，如何有效利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，順應(yīng)學(xué)生的思維，挖掘錯(cuò)誤背后根源，追尋糾錯(cuò)策略。錯(cuò)誤是學(xué)生學(xué)習(xí)中的寶貴經(jīng)歷，也是教學(xué)過程中的重要資源。面對(duì)錯(cuò)題，我們應(yīng)本著以人為本的教育理念，以研究者的角色，以積極的態(tài)度，善加利用，巧妙引導(dǎo)，抓住稍縱即逝的教學(xué)機(jī)遇，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生反思意識(shí)，提高學(xué)生的合作探究及創(chuàng)新能力，拓展學(xué)生思維空間，優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)，從而促進(jìn)學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀的和諧發(fā)展，巧讓“錯(cuò)題”生成“精彩”。

一、善用錯(cuò)題，激發(fā)興趣，喚醒精彩

英國(guó)心理學(xué)家貝恩布里奇說：“錯(cuò)誤人皆有之，作為教師不利用是不可原諒的”。對(duì)待錯(cuò)誤，是“一棍子”打死，還是師生一同尋找錯(cuò)因、商討對(duì)策？還是利用錯(cuò)誤中的合理因素，把錯(cuò)誤作為一種可利用的資源？唯物辯證法認(rèn)為，事物之間是有聯(lián)系的，在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化，壞事可以變成好事。“錯(cuò)誤”資源巧妙地“轉(zhuǎn)化”，不僅能讓學(xué)生盡快走出誤區(qū)，而且能激活學(xué)生的創(chuàng)新思維。

【案例1】計(jì)算分式：-

對(duì)于本題，有個(gè)學(xué)生給出了下面的解法：

原式=2（x-2）-2（x+2）=2x-4-2x-4=-8

顯然有誤，有學(xué)生在下面竊竊私語。

師：“錯(cuò)在哪？”

生：“張冠李戴了，把分式運(yùn)算當(dāng)成了解方程?！?/p>

師：“這位同學(xué)把分式運(yùn)算當(dāng)成了解方程，顯然是錯(cuò)的，但這種想法很有創(chuàng)意，它給我們一個(gè)啟示，能否考慮利用解方程的方法來解它呢？”

學(xué)生經(jīng)過思考、討論，最后終于形成了以下解法：

設(shè)-=A

去分母得：2（x-2）-2（x+2）=A（x+2）（x-2）

解得：A==-

【評(píng)析】本案例中，正是因?yàn)楣P者對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的悅納和欣賞，且因勢(shì)利導(dǎo)，才使學(xué)生的好奇心和創(chuàng)造力在“出錯(cuò)”中發(fā)出異常的光彩。因此，在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)課堂中，教師要勇于面對(duì)學(xué)生的非預(yù)設(shè)生成的錯(cuò)誤資源，積極對(duì)待，冷靜處理，發(fā)掘出學(xué)生錯(cuò)誤中的合理內(nèi)涵，把學(xué)生的這些非預(yù)設(shè)生成盡可能轉(zhuǎn)化為有助于課堂教學(xué)的素材，合理地予以運(yùn)用，變廢為寶，使課堂變得絢麗多彩。

二、巧用錯(cuò)題，引導(dǎo)反思，成就精彩

在學(xué)習(xí)過程中，不同的學(xué)生有著不同的知識(shí)背景，不同的情感體驗(yàn)，不同的表達(dá)方式和參差不齊的思維水平，因此，出錯(cuò)在所難免。出錯(cuò)是因?yàn)閷W(xué)生還不成熟，認(rèn)識(shí)問題往往帶有片面性；出錯(cuò)，是因?yàn)閷W(xué)習(xí)是從問題開始，甚至是從錯(cuò)誤開始的；出錯(cuò)，才會(huì)有點(diǎn)撥、引導(dǎo)和解惑，才會(huì)有反思、創(chuàng)新和超越。教師不僅應(yīng)該適當(dāng)?shù)卦O(shè)置一些有一定思維價(jià)值、能激發(fā)學(xué)生驚奇感的問題，讓學(xué)生在這些錯(cuò)誤中進(jìn)行切身體會(huì)，還要引導(dǎo)學(xué)生在辨析錯(cuò)誤的同時(shí)去領(lǐng)悟、去反思，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)探索的興趣，并帶著如何解決這些問題的強(qiáng)烈愿望去遷移知識(shí)、分析思考，從而加深對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

【案例2】已知，如圖1，在△ABC中，∠1=∠2，BD=CD，求證：AB=AC.

生1（不假思索）：證△ABD≌△ACD就能得到。

師：△ABD≌△ACD的條件有嗎？

生（異口同聲）：∵∠1=∠2，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSA）

師：三角形全等的判定中有“SSA”嗎？

生2：沒有，但是“HL”不就是“SSA”嗎？

師：“HL” 和“SSA”分別是什么意思？

生2：“HL”是指滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；“SSA” 是指滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。

師：“HL”是指：如圖2，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

∵∠C=90°，∠C′=90°，AB= A′B′，BC=B′C′

∴Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′

“SSA” 是指：如圖3，在△ABC和 △ A′B′C′中，

∵ AB= A′B′，BC=B′C′，∠C=∠C′

∴△ABC≌ △A′B′C′它們滿足的條件一樣嗎？

生3：一樣。因?yàn)閳D2中∠C=90°，∠C′=90°，這不就是∠C=∠C′嗎？如此一來，圖2中的兩個(gè)三角形和圖3中的兩個(gè)三角形，它們滿足的條件不都是“兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”嗎？

師：不錯(cuò)，的確如此。

生4：（沉不住氣）：那么“HL”就是“SSA”， “SSA”可以判定兩個(gè)三角形全等。

師：下面大家來思考這問題，如圖4，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，在BC上取一點(diǎn)D（中點(diǎn)除外），那你們說△ABD和△ACD是不是也滿足“SSA”的條件？

生5：AB=AC，AD=AD，∠B=∠C，的確滿足“SSA”的條件。

師：那你說它們?nèi)葐幔?/p>

生（齊）：一看就知道不全等。

師：其實(shí)當(dāng)兩個(gè)三角形滿足“兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”條件時(shí)，是不能判定這兩個(gè)三角形全等的，除非只有當(dāng)此“對(duì)角”大于另一組等量的邊的對(duì)角時(shí)，它們才全等。而直角三角形恰能滿足此條件，所以判定三角形全等只有“HL”而沒有“SSA”。

……

【評(píng)析】通過對(duì)錯(cuò)解的辨析與反思，強(qiáng)化刺激學(xué)生思維，產(chǎn)生思維碰撞，達(dá)到“去偽存真”的目的。這一過程也充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的參與熱情，全面激發(fā)了學(xué)生的個(gè)體潛能，幫助學(xué)生突破思維障礙，使他們由“誤”到“悟”。endprint

三、錯(cuò)就錯(cuò)，合作交流，呈現(xiàn)精彩

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)最大限度地滿足每一個(gè)學(xué)生的需要，最大限度地開啟每一個(gè)學(xué)生的智慧潛能。對(duì)于似是而非，學(xué)生不易察覺的錯(cuò)誤，如果教師只告訴正確的做法，難以觸及問題的實(shí)質(zhì)，容易抑制學(xué)生主動(dòng)性和創(chuàng)造性的發(fā)展。如果對(duì)這些錯(cuò)誤巧妙地加以利用，將錯(cuò)就錯(cuò)，多給學(xué)生思維的時(shí)間和空間，這不僅能使不同層次的學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，提高學(xué)習(xí)的積極性，而且可以揚(yáng)長(zhǎng)補(bǔ)短，促進(jìn)學(xué)生合作交流意識(shí)的發(fā)展。

【案例3】一道關(guān)于特殊三角形的測(cè)試題：將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC剪開，得到兩張三角形紙片如圖5，將這兩張紙片擺放成如圖6的形式，使點(diǎn)B，D重合，B，C，E在同一直線上，已知AB=4，BC=3，現(xiàn)固定△ABC位置，將△DEF沿射線BC方向平移，在整個(gè)平移過程中，要使△ACE成為等腰三角形，△DEF平移的距離為 。

生1：距離為1。

生2：距離為2。

生3：距離為

生4：距離為1，2或。

師：大家同意哪位同學(xué)的觀點(diǎn)？

生5：好像還有種情形。

師：那么就請(qǐng)同學(xué)們分組討論，探究△DEF平移的距離為多少？

【評(píng)析】大部分學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣較差，分析問題能力比較薄弱，他們雖然注意到了問題中“要使△ACE成為等腰三角形”這個(gè)條件，但沒有意識(shí)到需要完整的分類討論，而只對(duì)AC=AE或AC=CE或AE=CE這三種情形中的一種或兩種情形給出解答。給出三個(gè)答案的學(xué)生，有分類討論的意識(shí)，但忽視了“將△DEF沿射線BC方向平移”的條件，認(rèn)為點(diǎn)E只能在線段BC上，或當(dāng)AE=CE時(shí)點(diǎn)E在線段AE的中垂線上，卻無法求平移的距離。

本案例中，教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行交流，無論是發(fā)言者還是傾聽者，都會(huì)有較大的收獲。在合作探究中學(xué)生不但復(fù)習(xí)了特殊三角形的相關(guān)知識(shí)，并充分感受了分類的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)使學(xué)生的思辨能力和合作探究能力得到培養(yǎng)與發(fā)展。當(dāng)然，在交流過程中，難免會(huì)出現(xiàn)一些爭(zhēng)論，教師就是希望通過這樣的爭(zhēng)論讓學(xué)生明白，哪種做法是正確的，哪種做法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因在哪兒。這樣的合作和交流所起的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了師生之間、生生之間單向的信息交流。這也正是新課程倡導(dǎo)的合作交流的魅力所在。

四、因勢(shì)利導(dǎo)，培養(yǎng)創(chuàng)新，點(diǎn)亮精彩

在數(shù)學(xué)教學(xué)中企圖讓學(xué)生完全避免錯(cuò)題是不可能的，學(xué)生犯錯(cuò)的過程就是一種嘗試和創(chuàng)新的過程。教師應(yīng)該將錯(cuò)題作為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的契機(jī)，引領(lǐng)學(xué)生從錯(cuò)題中找出與正確方法之間的聯(lián)系，因勢(shì)利導(dǎo)，發(fā)揮學(xué)生分析、解決問題的創(chuàng)造性潛能，讓學(xué)生成為教學(xué)活動(dòng)的主體，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

【案例4】九年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)課中一個(gè)題目：在△ABC中，∠B= 25°，AD是BC邊上的高線，并且AD2 = BD·DC，求∠BAC的度數(shù)。

學(xué)生一看到題目馬上動(dòng)手畫起如圖7所示的圖形，并作解答。

∵AD是BC邊上的高線

∴∠ADB =∠ADC=90°

∵AD2=BD·BC

∴=

∴△ABD ∽ △CAD

∴∠CAD=∠ABC=25°

∴∠ACB=90°-25°=65°

師：這個(gè)答案正確嗎？

生2： 還有可能是115°。

教師讓這位學(xué)生板演一下圖形，師生共同歸納了AD的位置，有二種情況：即當(dāng)∠C是銳角時(shí)，高AD在三角形內(nèi)部；當(dāng)∠C是鈍角時(shí)，高AD在三角形外部（如圖8），所以此題的解為65°或115°。正當(dāng)全班無比興奮時(shí)，教師又提出了下列問題：設(shè)點(diǎn)H是等腰三角形ABC三條高線的交點(diǎn)（如圖9），在底邊BC保持不變時(shí)，頂點(diǎn)A到底邊BC的距離發(fā)生變化時(shí)，乘積 S△ABC·S△HBC是否發(fā)生變化？（提示把乘積S△ABC·S△HBC用含BC的代數(shù)式來表示）。

學(xué)生得到信息后，首先進(jìn)行畫圖分析：S△ABC·S△HBC=BC·ADBC·HD=AD·HD·BC2，乘積S△ABC·S△HBC是否發(fā)生變化關(guān)鍵在AD· HD是否發(fā)生變化。觀察圖形易證Rt△BDH∽R(shí)t△ADC，得AD· HD=BD· DC，由題意易知BD=DC=BC，則乘積S△ABC·S△HBC=BC2。所以當(dāng)?shù)走匓C保持不變時(shí)，乘積S△ABC·S△HBC不發(fā)生變化。這時(shí)有些學(xué)生就有疑慮是否也要分類。我們知道，三角形三條高線的交點(diǎn)位置有在三角形內(nèi)，三角形外，三角形頂點(diǎn)上三種情況.因此本題解答時(shí)必須對(duì)∠A進(jìn)行分類，有∠A是銳角、鈍角、直角三種情況。同學(xué)們?cè)賹?duì)∠A是鈍角、直角時(shí)用同樣方法進(jìn)行探究，得出結(jié)論同∠A是銳角時(shí)一樣。所以當(dāng)?shù)走匓C保持不變時(shí)，乘積S△ABC·S△HBC不發(fā)生變化。

【評(píng)析】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是一個(gè)再創(chuàng)造的過程，本案例中，對(duì)于錯(cuò)誤的出現(xiàn)，教師留給了學(xué)生充分“講理”的機(jī)會(huì)，順應(yīng)了學(xué)生的思維，挖掘出錯(cuò)題背后的創(chuàng)新因素，細(xì)心呵護(hù)學(xué)生創(chuàng)新的萌芽，適時(shí)、適度地給予點(diǎn)撥和鼓勵(lì)，使其茁壯成長(zhǎng)，為課堂教學(xué)增添生命的活力。

五、捕捉錯(cuò)題，優(yōu)化課堂，綻放精彩

優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)是減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高課堂效率的主渠道。而錯(cuò)題作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然產(chǎn)物，教師要善于捕捉錯(cuò)題中的“閃光點(diǎn)”，及時(shí)調(diào)整教學(xué)流程，利用錯(cuò)題資源重組教學(xué)，使教學(xué)處于動(dòng)態(tài)的平衡之中，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)過程的優(yōu)化。讓學(xué)生在全方位剖析錯(cuò)題的過程中，培養(yǎng)其問題意識(shí)和獨(dú)立思考能力，提高數(shù)學(xué)探究能力，綻放數(shù)學(xué)課堂的精彩。

【案例5】九年級(jí)復(fù)習(xí)課中一個(gè)題目：在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形，叫作一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形。若某個(gè)一次函數(shù)的圖像與x，y軸分別于點(diǎn)A，B，則△ABC為此函數(shù)的坐標(biāo)三角形。

（1）求函數(shù)y=-x+3的坐標(biāo)三角形的三邊長(zhǎng)。

（2）求函數(shù)y=- x+b（b為常數(shù)）的坐標(biāo)三角形的周長(zhǎng)為16，求此三角形面積。

對(duì)于第（2）題，學(xué)生是這樣解答的：因?yàn)閥=- x+b的圖像與y軸的交點(diǎn)為（0，b），與x軸的交點(diǎn)為（b，0），所以坐標(biāo)三角形的斜邊長(zhǎng)為b，所以由b+b+b=16，得b=4，所以S△=b·b=。

【評(píng)析】 第（2）小題解法中的錯(cuò)誤經(jīng)常出現(xiàn)在有關(guān)坐標(biāo)與線段長(zhǎng)度轉(zhuǎn)換的問題中，是比較普遍和典型的。由于解題的答案是正確的，出現(xiàn)這種錯(cuò)誤很具迷惑性，因此教師把解答過程展示給學(xué)生，讓他們自己辨析和判斷，很多學(xué)生不能很快發(fā)現(xiàn)以上解答的錯(cuò)誤原因。此時(shí)若教師不直接告知學(xué)生，而是讓他們經(jīng)過畫圖討論和交流，學(xué)生加深了對(duì)坐標(biāo)系中怎樣“用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段長(zhǎng)度”這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)（有的學(xué)生發(fā)自內(nèi)心地說：原來是這樣，下次我會(huì)注意的）。這種把學(xué)生錯(cuò)誤解答作為資源，糾正他們對(duì)知識(shí)的錯(cuò)誤認(rèn)知，在教學(xué)中起到的效果大于教師正面的講解和引導(dǎo)，從而優(yōu)化了課堂結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了生態(tài)課堂的形成。

錯(cuò)題是學(xué)生學(xué)習(xí)、教師教學(xué)過程中動(dòng)態(tài)生成的“利教、研學(xué)”資源，善待并巧用“錯(cuò)題”，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，增加學(xué)生學(xué)習(xí)信心，促進(jìn)學(xué)生合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維，提升學(xué)生反思能力，從而優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)。總之，教師有效利用初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的錯(cuò)題資源可以使數(shù)學(xué)課堂綻放別樣的“精彩”。

參考文獻(xiàn)：

[1]李宗梅.讓創(chuàng)新之花盛開在數(shù)學(xué)課堂——談在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究：教研版2010，（20）.

[2]涂榮豹.試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，（4）.endprint