【摘要】 本文對平面幾何中有關(guān)圓的定理進行了補充整理證明，并結(jié)合典型例題分析了這些定理的使用技巧。

【關(guān)鍵詞】 圓 切線 割線 相似

圓是初中數(shù)學關(guān)于平面幾何的最后一章，圓的問題不僅涉及自身的知識點，比如圓心角，圓周角，弦，直徑，弧等等，還常常與三角形，四邊形，全等 ，相似等方面緊密聯(lián)系，綜合性比較強。直線與圓的位置關(guān)系是近年各省市中考的重點考查知識點，是對學生平面幾何分析能力、邏輯推理能力的綜合考評。直線與圓的位置關(guān)系有三種：直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交，其中相切，相交作為重點涉及到的定理比較多，本文對這些定理加以整理給出證明，并通過綜合性題目進行總結(jié)，探索近年中考圓的題目的考查規(guī)律。

一、相關(guān)定義

切線：直線與圓只有一個交點，則這條直線稱為圓的切

線（如圖直線a）

割線：直線與圓有兩個交點，則這條直線稱為圓的割線

（如圖直線b）

二、相關(guān)定理

切線性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

推論1 過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點

推論2 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

切線判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

以上定理課本都給出了詳細的證明，這里不再贅述。下面補充幾個定義定理。

1.弦切角定理

定義 頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角。這種

角必須同時滿足三個條件：

（1）頂點在圓上，即角的頂點是圓的一條切線的切點；

（2）角的一邊和圓相交，即角的一邊是過切點的一條弦所在的射線；

（3）角的另一邊和圓相切，即角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線。

它們是判斷一個角是否為弦切角的標準，三者缺一不可，比如下圖中均不是弦切角。

弦切角是繼圓心角、圓周角之后第三種與圓有關(guān)的角。弦切角可以認為是圓周角的一個特例，即圓周角的一邊繞頂點旋轉(zhuǎn)到與圓相切時所成的角。正因為如此，弦切角具有與圓周角類似的性質(zhì)。

弦切角定理 弦切角等于它所夾的孤對的圓周角

弦切角定理是圓中證明角相等的重要定理之一，下面給出該定理的證明。

已知：如圖⊙O中，直線PQ是⊙O的切線，P是切點，PA、PB是弦.

求證：∠BPQ=∠BAP.

證明：連接PO并延長，交⊙O于點C，則線段PC是直徑，連接AC.

∵PQ與⊙O相切，

∴∠CPQ=∠CPB+∠BPQ=90°.

∵PC是直徑，

∴∠CAP=∠CAB+∠BAP=90°.

又∵弧BC=弧BC，

∴∠CPB=∠CAB，

∴∠BPQ=∠BAP.

結(jié)合弦切角定理及圓周角定理容易得到：

定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓心角的一半

推論 若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個弦切角也相等

2、有關(guān)割線的定理

切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

下面是該定理的證明：

已知：點P是⊙O外一點，PA是⊙O的一條切線，A是切點，直線PB與⊙O相交于點B、點C.求證：

證明：連接AB、AC

由弦切角定理可得：∠PAB=∠C

∵∠P=∠P

∴△PAB∽△PCA

∴PAPC=PBPA

∴PA2=PB·PC

割線定理 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

已知：點P是⊙O外一點，直線PA與⊙O相交于點A、點B，直線PC與⊙O相交于點C、點D.求證：PA·PB=PC·PD

證明：過點P作⊙O的切線PE，切點為E.由切

割線定理可得：

PE2=PA·PB，PE2=PC·PD，

∴PA·PD=PC·PD

三、典例分析

例1 如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點A作AD⊥CD于點D，交⊙O于點E，且弧BC等于弧CE.

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若tan∠CAB=34，BC=3，求DE的長.

（1）證明：連接OC

∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC，

∵弧BC等于弧CE， ∴∠CAD=∠OAC

∴∠OCA=∠CAD

∵AD⊥CD，

∴∠DCA+∠CAD=90°，

∴∠OCA+∠CAD=90°，即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線.

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，tan∠CAB=34，BC=3

∴AC=4，又由（1）可知：∠CAD=∠CAB，

∴tan∠CAB=34.在Rt△ACD中，設CD=3k，AD=4k，

由勾股定理可得：（3k）2+（4k）2=42

∴k=45，∴CD=125，AD=165

由切割線定理：CD2=DE·AD，

∴DE=95

例2 如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交于點D，與AB交于點E，過點D作DF⊥AB，垂足為F，連接DE.

（1）求證：直線DF與⊙O相切；

（2）若AE=7，BC=6，求AC的長.

（1）證明：連接OD.

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵OD=OC，∴∠ODC=∠C，∴∠ODC=∠B，

∴OD∥AB，

∵DF⊥AB，∴OD⊥DF，

∵點D在⊙O上，

∴直線DF與⊙O相切；

（2）解：∵四邊形ACDE是⊙O的內(nèi)接四邊形，

∴∠AED+∠ACD=180°，

∵∠AED+∠BED=180°，

∴∠BED=∠ACD，

∵∠B=∠B，∴△BED∽△BCA，

∴BDAB=BEBC

∵OD∥AB，AO=CO，

∴BD=CD=12BC=3，

又∵AE=7，

∴37+BE=BE6

∴BE=2，

∴AC=AB=AE+BE=7+2=9.

例3 如圖，點A、B、C分別是⊙O上的點， CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，AP=AC.

（1）若∠B=60°，求證：AP是⊙O的切線；

（2）若點B是弧CD的中點，AB交CD于點E，CD=8，AB=6，求BE的長.

（1）解：連接AD，OA，

∵ ∠ADC=∠B，∠B=60°

∴∠ADC=60°

∵CD是直徑，∴∠DAC=90°

∴∠ACO=90°-60°=30°

∵AP=AC，OA=OC

∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°

∴ ∠OAP=90°，∴OA⊥AP

∵OA是半徑，∴AP是切線。

（2）解：連接，

∵CD是直徑，∴∠DAC=90°

∵點B是弧CD的中點，∴BD=BC， ∠BAC=∠BCD

∵CD=8， ∴在Rt△BCD中， BD=BC=42，

∵∠BAC=∠BCD，∠ABC=∠CBE

∴△ABC∽△CBE，

∴BCBE=ABCB

∴42BE=642，∴BE=43

總結(jié)：在圓的計算與證明題中，有很多與相似結(jié)合起來，難度技巧較高，對于補充定理的模型圖，可以幫助我們分析問題，提高分析能力。