曲線的參數(shù)方程從直觀上來(lái)理解，就是在平面直角坐標(biāo)系中，借助一個(gè)參數(shù)t，對(duì)于曲線上的任意一個(gè)點(diǎn)（x，y）的橫坐標(biāo)x表示成關(guān)于t的方程，縱坐標(biāo)y也表示成t的方程，這兩個(gè)方程就構(gòu)成了曲線的參數(shù)方程。參數(shù)方程實(shí)際上是一種特殊的函數(shù)，它是參數(shù)t到曲線坐標(biāo)（x，y）的一一映射：每一個(gè)參數(shù)t對(duì)應(yīng)著曲線上的一個(gè)點(diǎn)；反過(guò)來(lái)，曲線上的每一個(gè)點(diǎn)也對(duì)應(yīng)著一個(gè)參數(shù)t。對(duì)于參數(shù)方程x=φ（t）

y=ψ（t），x與y是通過(guò)t聯(lián)系起來(lái)的，這種聯(lián)系來(lái)源于（x，y）是曲線上的點(diǎn)，滿(mǎn)足曲線的方差。

那么參數(shù)方程有什么作用呢？在此舉一個(gè)簡(jiǎn)單的小例子：已知橢圓x216+y29=1和直線，求橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P到直線的最大距離和最小距離。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題的解法，除了用幾何法（作兩條平行于x-2y+6=0的橢圓的切線，兩條切線對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)到直線的距離分別是所求的最大值和最小值），還可以用參數(shù)方程來(lái)解決。解決的方法是：因?yàn)镻在橢圓上，所以可設(shè)P的坐標(biāo)為（4cosθ，3sinθ），θ為參數(shù)，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，把P到直線的距離d表示成關(guān)于θ的函數(shù)，進(jìn)一步分析d的最大、最小值，即為題目所求。從這個(gè)例子可以看出，參數(shù)方程的一個(gè)好處就是可以通過(guò)參數(shù)把曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，進(jìn)一步解決問(wèn)題。如以上例題，若不借助參數(shù)方程，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示起來(lái)將較為復(fù)雜，利用點(diǎn)到直線的距離公式來(lái)計(jì)算也會(huì)較為繁瑣。

直線的參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是很多學(xué)生的一個(gè)難題。通過(guò)高中的學(xué)習(xí)我們知道，直線的參數(shù)方程可以表示為x=x0+tcosθ

y=y0+tisnθ，其中t是參數(shù)。接下來(lái)筆者將簡(jiǎn)單分析一下直線的參數(shù)方程。

我們要理解好直線參數(shù)方程中的每一字母的含義，才能真正地掌握直線的參數(shù)方程，并且?guī)椭覀兘鉀Q問(wèn)題。直線的參數(shù)方程中，x、y分別表示的是直線上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，而x0、y0分別表示的是直線上任意一個(gè)固定的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)。在這里需要提出的是，（x0，y0）這個(gè)點(diǎn)可以在直線上任意選取，如對(duì)于直線y=2x+1，（x0，y0）的選取可以是（0，1），也可以是（1，3），即（x0，y0）的選取可以是不唯一的，但必須在直線上選取一個(gè)點(diǎn)并固定下來(lái)，以確定參數(shù)方程中的x0、y0。θ表示的是直線的傾斜角，所以為了確定直線參數(shù)方程中的cosθ和sinθ，就要求出直線的傾斜角。以直線y=x+1為例，直線的斜率k=1，所以直線的傾斜角為45°，既得cosθ和sinθ均等于22。最后是參數(shù)方程中的字母t，t的含義是學(xué)生理解的一個(gè)難點(diǎn)。t的絕對(duì)值表示的是點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（x0，y0）的距離。事實(shí)上，對(duì)直線的參數(shù)方程進(jìn)行變形，可以得到，x-x0tcosθ，y-y0=tsinθ，兩式平方后相加，即得t2=（x-x0）2+（y-y0）2，即t的絕對(duì)值表示點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（x0，y0）的距離。

分析完直線參數(shù)方程中字母的意義，我們來(lái)分析一下直線參數(shù)方程使用過(guò)程中的易錯(cuò)點(diǎn)。在上面的討論中，我們證明出了t的幾何意義，其絕對(duì)值表示的是兩點(diǎn)間的距離，但是這個(gè)證明的前提是，在直線的參數(shù)方程中，t前面的系數(shù)分別是tcosθ和tsinθ，否則結(jié)論不成立。這反映到實(shí)際的做題中，學(xué)生若不注意|t|表示距離的前提條件，單純地認(rèn)為t就是表示距離，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤。除此之外，還要注意對(duì)于每一個(gè)固定的t，|t|表示的是與t對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（x0，y0）的距離，而不是到其他點(diǎn)的距離，下面我們通過(guò)一道例題來(lái)進(jìn)行分析。

例題：已知直線l的參數(shù)方程為x=t

y=5+2t，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），直線l與雙曲線y2-x2=4交于M，N兩點(diǎn)，求|AM|+|AN|的值。

分析：首先，這是一道關(guān)于直線的問(wèn)題，并且要求的是直線上的兩個(gè)點(diǎn)各自到一個(gè)固定的點(diǎn)A的距離的和。面對(duì)這種關(guān)于直線上點(diǎn)的距離的問(wèn)題，我們可以聯(lián)想到用直線參數(shù)方程的幾何意義來(lái)解決。對(duì)于這道題，我們可以把直線參數(shù)方程中的x0，y0、分別取為0和5，由于參數(shù)方程中的t與點(diǎn)（x，y）是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，我們可以嘗試用兩個(gè)不同的參數(shù)t1、t2來(lái)對(duì)應(yīng)M、N兩點(diǎn)，則由參數(shù)t的幾何意義可知，|t1|和|t2|分別表示M，N到A（0，5）的距離，所求即為|t1|+|t2|。大題思路出來(lái)后，接下來(lái)便是細(xì)節(jié)分析。首先，|t|表示距離當(dāng)且僅當(dāng)它前面的系數(shù)分別是傾斜角的余弦值與正弦值，但是題干中的參數(shù)方程不滿(mǎn)足這一條件，很多學(xué)生因?yàn)闆](méi)注意就落入“陷阱”。所以第一步，我們要先改寫(xiě)l的參數(shù)方程，通過(guò)題干的參數(shù)方程我可以知道直線的斜率k=2，所以?xún)A斜角的余弦值與正弦值分別是15和25，所以直線的參數(shù)方程可改寫(xiě)為x=15t

y=5+25t。接下來(lái)第二步，我們要求出t1和t2的值。要注意到t1和t2分別對(duì)應(yīng)著M和N，而M，N是直線與雙曲線y2-x2=4的交點(diǎn)，所以我們可以將直線的參數(shù)方程與雙曲線的方程聯(lián)立起來(lái)，得到一個(gè)關(guān)于t的二次方程：3t2+20t+5=0，則t1、t2是方程的兩個(gè)解，由韋達(dá)定理，t1+t2=-203，t1×t2=53。由此可以推出t1、t2均為負(fù)數(shù)，所以|t1|=-t1，|t2|=-t2，所以所求的|AM|+|AN|的值即為-（t1+t2），算出來(lái)結(jié)果為203。

從上面這道題可以看出，要真正掌握好直線的參數(shù)方程，不能只是機(jī)械地記憶，還要深入地了解參數(shù)方程中每個(gè)字母的意義。字母化的表示是比較抽象的，教師應(yīng)該多舉具體例子，讓學(xué)生真正地去理解每個(gè)字母的意義，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化。

此外，在實(shí)際考試中，無(wú)論是圓錐曲線的必做題，還是參數(shù)方程、極坐標(biāo)的選做題，與直線有關(guān)的考法通常是將直線與橢圓、圓、雙曲線、拋物線結(jié)合起來(lái)考。所以教師在單獨(dú)講完每個(gè)知識(shí)板塊的內(nèi)容，應(yīng)該多舉一些比較綜合的題目，讓學(xué)生能夠融會(huì)貫通，真正地體會(huì)到參數(shù)方程的美妙之處！