陳熠林

[摘 要] 高中數學教學中，激發(fā)學生的興趣仍然是必要之舉. 從學生的認知特點出發(fā)，構建符合學生認知規(guī)律的教學過程，讓學生經由生態(tài)興趣走向生態(tài)智趣，再由生態(tài)智趣走向生態(tài)理趣，可以不斷地深化對數學知識的理解，可以有效地提升數學學科的核心素養(yǎng).

[關鍵詞] 高中數學；生態(tài)興趣；生態(tài)智趣；生態(tài)理趣；生態(tài)課堂

在高中強大的應試背景之下談教學興趣，尤其是對于數學學科來談興趣，似乎有些不合時宜，因為高中數學本身具有非常強的理性特征，其不大可能跟義務教育階段的數學一樣，還能讓學生感受到直覺的興趣刺激. 但這并不意味著高中數學教學就真的與興趣絕緣，畢竟無論哪個年齡階段的人的學習，都是以興趣來支撐的，即使是大數學家的研究，也更多的是興趣驅動的結果. 因此，高中數學教學談“趣字當頭”又是有其必要性的. 只是在筆者看來，對這個“趣”的理解要更多元一些，要讓“趣”具有更多的意味. 而當筆者在教學中總結出從興趣到智趣，從智趣到理趣的時候，筆者找到了一條通往有效數學教學的道路. 因為只要真正做到了這三趣，那學生的數學學習過程就會變得更生態(tài)——所謂生態(tài)，就是指學生在一個符合自身認知習慣的課堂上構建數學知識，這個時候的課堂就如同一個陽光、雨露、大氣、土壤等所有因素俱全的自然環(huán)境，其自然能夠有效地促進身在其中的樹木的生長. 盡管這只是一個教育比喻——興趣、智趣、理趣，就是構成生態(tài)課堂的三個必要元素，但其中蘊含的道理卻是不謬的，現借此文對“‘趣字當頭，構建高中生態(tài)數學課堂”作一些思考.

[?] 生態(tài)興趣，激活學生的數學學習直觀感覺

不是所有的興趣都是真正的興趣，譬如課堂上教師為了活躍課堂氣氛而講一個笑話，其確實可以激活學生的學習動力，但笑話本身卻常常與學科無關，因此這樣的興趣有效但卻不能稱之為生態(tài)興趣. 所謂生態(tài)興趣，是指與學科密切相關，同時又能以有趣的形態(tài)出現在學生的面前，從而在刺激學生積極參與心理的情況下幫助學生有效地構建知識.

高中數學教學中，生態(tài)興趣是普遍存在的，只是其要借助于一定思路的教學設計來實現而已. 以“圓錐曲線的統一定義”（蘇教版高中數學必修五）的教學為例，這是一個對此前學習過后的圓錐曲線基本概念、橢圓、雙曲線、拋物線等知識綜合的過程，而本課的生態(tài)興趣也就隱藏在這個“綜合”里，因為綜合既是一種基本的思維方法（其一般是與分析同時存在的），同時也是一種基本的數學方法，更是高中階段學生所喜歡的一種方法——我們常常說高中的學生已經比較理性，往往所指的就是高中學生更喜歡通過符合一定邏輯關系的方法，來建構包括數學學科知識在內的知識. 于是筆者對此內容進行了這樣的設計：先讓借助于剛剛所學的拋物線的定義——平面內到一個定點F的距離和到一條定直線l（F不在l上）的距離的比等于1的動點P的軌跡是拋物線，讓學生利用發(fā)散性思維去思考：如果這個比值不等于1，那動點P的軌跡可能是什么曲線？

事實證明，這一問題確實可以激活學生的興趣，由于這個興趣直接指向圓錐曲線，因此其就具有了生態(tài)的意味. 在實際猜想的過程中筆者注意到學生的思考過程是這樣的：在進行了一會兒的自主思考之后，他們自發(fā)地在小組內進行交流，并熱火朝天地在草稿紙上畫出草圖. 由于有此前所學習過的拋物線作為基礎，又由于此時并不需要嚴格的邏輯驗證，因此他們更多的是借助于直覺思維進行大跨度的猜想——此時不宜讓學生運用嚴格的邏輯思維來推理，因為這會讓學生失去興趣. 而學生此時的猜想結果則通常是具有一定的偶然性的，因為他們對比值的任意取值往往是唯一的，要么是大于1，要么是小于1，但不管是哪種情形，學生都可以在直覺的作用下大致發(fā)現圖形可能是橢圓，也可能是雙曲線.

這是一個重要的發(fā)現，因為用學生的話說（在學生討論的過程中筆者深入到小組跟學生對話）：如果真的是橢圓的話，那就意味著拋物線的定義也是適用于橢圓的，那前面所學的橢圓就有了好幾種定義方式了. 這樣的情形在高中數學學習中并不多見，因此學生的興趣又進一步加強了. 這個興趣起什么作用？起讓學生此時產生的興趣向智趣發(fā)展的作用（下一點詳細敘述）.

回顧這一環(huán)節(jié)的教學，可以發(fā)現學生的興趣是在問題的激發(fā)下產生的，是在發(fā)散性思維作用下得到鞏固的，是在有了新的發(fā)現之后得到加強的. 這樣的過程，無疑是高中數學教學中難得的符合學生認知規(guī)律的過程，因為符合學生的認知規(guī)律，所以確認其是生態(tài)的.

[?] 生態(tài)智趣，引領學生感受數學自身的魅力

生態(tài)智趣是指在生態(tài)興趣的基礎上，通過與數學學科直接關聯，以使學生在進一步的數學探究中發(fā)現數學規(guī)律的過程. 這個過程中，與學生感覺、知覺直接相關的興趣可能會少一些，但與數學學科自身的規(guī)律發(fā)現則會多一些，其更多地體現出“智”的成分，因此筆者以之為生態(tài)智趣.

在上面的生態(tài)興趣出現之后，學生的思維出現了一個重大的變化，他們面對著一個看起來觸手可及，但卻一下子無法找到有效的證明的問題：如果到定點F與到定直線l的距離之比不等于1，更精確地說如果大于1或者小于1，那么這個軌跡是不是真的是橢圓或者是拋物線？這個過程中還包括少許學生的質疑：會不會這么巧？這個質疑在筆者看來也是極有價值的，因為學生所說的“巧”實際上就是指數學規(guī)律，也就是說學生懷疑會不會真的存在這樣的一個規(guī)律，而其后如果真的得到了證明的話，學生就會視之為規(guī)律，這實際上也是一個重要的思維基礎.

共后的智趣基本上是在嚴密的邏輯推理中獲得的：其一，教師可以通過數據處理軟件，輸入符合條件的不同的比值（此時可以告知學生以e表示），然后看軟件生成的圖形，那學生可以看到由于e值的不同，所生成的圖形也有所不同，但基本上可以斷定如果e值小于1，那生成的就是橢圓；而如果e值大于1，那得到的就是拋物線. 但這樣的證明過程其實嚴格來講并非是數學的，因為數學證明一定是基于已有的數學規(guī)律，并經過嚴格的邏輯推理得出結論的過程. 因此，教學還應該進一步深入：讓學生去證明！endprint

如何證明呢？起點在哪里？終點又在哪里？這是教學中遇到的另一個困難，很多學生到了這個時候都感覺無法下手. 這個時候可以發(fā)現學優(yōu)生往往會率先有所突破，正如有學生說，如果要證明其為橢圓，那最終還是要得到橢圓的標準方程的，那我們現在要證明的就是：當e值小于1時，可以從某個地方出發(fā)得到這個橢圓的標準方程. 那么，從哪里出發(fā)呢？學生自然會想到當時橢圓標準方程的得出過程，于是教師跟學生一起回顧這個過程……這個過程通常數學教學中都有比較普遍的強調，這里就不贅述了. 這里需要說明的是，這個思路的得出過程本身是充滿了思維含量的，是需要一定的“智”作為支撐的，而一旦此處有了突破，那學生就會興奮起來，因為他們發(fā)現原來在推導橢圓標準方程的時候，就已經埋下了本課經由另一條路徑推導得出橢圓標準方程的方式. 這種新的發(fā)現可以拓寬學生對本知識更為深刻的認識，因而可以讓學生的內心產生一種學習的興趣，這個興趣實際上就是超越了生態(tài)興趣后的生態(tài)智趣.

從某種程度上講，生態(tài)智趣實際上對應著傳統數學教學中最核心的那個部分，即構建數學概念、形成數學理解、生成數學問題解決的能力，其也是與數學核心素養(yǎng)相關的一部分. 只是當我們從“趣”的角度強調時，可以發(fā)現數學規(guī)律發(fā)現過程輕松的一面，而這可能正是當下高中數學學習所稀缺的.

[?] 生態(tài)理趣，走向數學核心素養(yǎng)提升的境界

生態(tài)理趣是指向數學自身的特點的，數學發(fā)展至今，經歷的事件無數，其中很多事件都彰顯著數學自身的魅力，譬如今天所學之幾何是以歐幾里得幾何作為基礎的，而當從歐氏幾何拓展到非歐幾何，從直角坐標拓展到極坐標，每一次變化其實都是數學自身特性的彰顯. 如果在高中數學教學中能夠讓學生感受到這種數學發(fā)展的脈搏，那就可以讓學生發(fā)現數學的生態(tài)理趣. 也因此我們可以給生態(tài)理趣下一個定義：與數學學科相關，以讓學生在數學學習的過程中感受數學自身的發(fā)展規(guī)律，進而發(fā)現數學美的一種內在的興趣.

高中數學教學中追求生態(tài)理趣的有效途徑，在于構建數學知識的時候滲透進一定的數學史（這個當前有不少的研究，此處不贅述）；也在于為學生編制一些原始的數學問題，這類數學問題與生活相近，從而可以拉近數學與生活的距離，而學生在解決問題的過程中需要建立數學模型，需要進行數學抽象，而當學生完成了這些過程之后，其會生成一種將生活與數學聯系起來，并以數學眼光觀看生活事物的意識甚至是習慣. 一旦這樣的意識或能力形成，就意味著學生能夠感受到生態(tài)理趣.

在筆者看來，生態(tài)理趣就是高中數學教學的一種境界，其直指數學核心素養(yǎng)的提升，因為數學學科核心素養(yǎng)的基本要義就是學科與生活的聯系以及學科知識在生活中的運用！endprint