潘敬貞+張應(yīng)楷

[摘 要] 課堂例題質(zhì)量的高低直接影響著課堂教學(xué)效益，科學(xué)選擇例題是高效課堂的基本保證. 文章就一次市性公開(kāi)課中的例題的兩個(gè)爭(zhēng)議（有人認(rèn)為該題答案解法有問(wèn)題，有人認(rèn)為這道例題的選材不當(dāng)）進(jìn)行梳理和反思.

[關(guān)鍵詞] 例題選擇；課堂效益；回歸分析；爭(zhēng)議；反思

課堂例題質(zhì)量的高低直接影響著課堂教學(xué)效益，科學(xué)選擇例題是高效課堂的基本保證.在一次課題為《回歸分析》的市性公開(kāi)課中，主講教師采用2016年安徽省“江南十校”高三聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題中的一道回歸分析作為本堂課的例題.不少教師聽(tīng)后，對(duì)這道例題產(chǎn)生懷疑，有教師認(rèn)為該題答案解法有問(wèn)題，也有教師覺(jué)得這道試題的選材不當(dāng).本文就這道回歸分析例題的兩個(gè)爭(zhēng)議進(jìn)行梳理與反思，僅供大家參考.

例題：（2016年安徽省“江南十?！备呷?lián)考文科數(shù)學(xué)試題）第31屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2016年8月5日—21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行. 下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)和俄羅斯代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)（單位：枚）

（Ⅰ）根據(jù)表格中兩組數(shù)據(jù)完成近五屆奧運(yùn)會(huì)兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較兩國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體數(shù)值，給出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）下表是近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和y（從第26屆算起，不包括之前已獲得的金牌數(shù)）隨時(shí)間x變化的數(shù)據(jù)：

（?。┯蓤D可以看出，金牌數(shù)之和y與時(shí)間x之間存在線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出y關(guān)于x的線性回歸方程；

幾乎所有學(xué)生的解法與參考答案一樣，很多教師對(duì)答案的解法表示贊同，但有教師認(rèn)為這種解法不妥，用這個(gè)結(jié)果去預(yù)測(cè)第31屆夏季奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)不科學(xué)、不合理. 理由是：根據(jù)所求的回歸方程求出第31屆中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的預(yù)報(bào)值為199.9枚，為什么要直接減去前五屆中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的實(shí)際值，如果前五屆某一屆由于受外界干擾因素比較大，那么這一屆的數(shù)據(jù)就直接影響著第31屆的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)的科學(xué)性與準(zhǔn)確性. 這樣簡(jiǎn)單用31屆中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的預(yù)報(bào)值直接減去前五屆中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和的實(shí)際值所得結(jié)果來(lái)預(yù)測(cè)2016年中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)說(shuō)服力就很低，他們給出第二種解法.

[?] 試題爭(zhēng)議

有教師認(rèn)為時(shí)間x（屆）與金牌數(shù)之和y（枚）沒(méi)有任何直接的相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，用時(shí)間x（屆）與金牌數(shù)之和y（枚）的關(guān)系進(jìn)行預(yù)測(cè)第31屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)的金牌數(shù)所得結(jié)果令人質(zhì)疑，對(duì)這種做法覺(jué)得不妥. 他們認(rèn)為該題與“用某個(gè)人的祖父的身高、父親的身高、他本人的身高、他兒子的身高預(yù)測(cè)這個(gè)人的孫子的身高”，“用氣溫與奶茶店銷(xiāo)售量的關(guān)系對(duì)奶茶店某一天的銷(xiāo)售量進(jìn)行預(yù)測(cè)”等有著質(zhì)的不同，認(rèn)為命題者在選材時(shí)欠缺思考. 也有教師提出質(zhì)疑，為什么要對(duì)近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)進(jìn)行求和？完全可以直接根據(jù)近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)進(jìn)行求平均數(shù)然后進(jìn)行預(yù)測(cè)第31屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)的金牌數(shù)，沒(méi)必要采用線性回歸進(jìn)行預(yù)測(cè)，如果只是為了講線性回歸而分析選擇此題就有點(diǎn)牽強(qiáng). 也有人認(rèn)為，如果對(duì)這道題進(jìn)行改進(jìn)，由于近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)中的第29屆北京奧運(yùn)會(huì)在自己的國(guó)家舉行有很多的有利因素而第31奧運(yùn)會(huì)不在自己的祖國(guó)舉辦而是在巴西舉行，故認(rèn)為直接處理掉第29屆北京奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得金牌數(shù)這個(gè)數(shù)據(jù)，這樣既體現(xiàn)數(shù)據(jù)處理，所預(yù)測(cè)的結(jié)果也更有說(shuō)服力.

[?] 問(wèn)題反思

教師們所言不無(wú)道理，首先作為市性公開(kāi)課在選題上盡量不要選擇有爭(zhēng)議的試題，避免偏離主題和出現(xiàn)不必要的麻煩，最好選擇教材試題或高考原題.

對(duì)于第一個(gè)爭(zhēng)議，兩種解法哪一種解法的預(yù)測(cè)結(jié)果更加科學(xué)、合理，筆者認(rèn)為第二種解法所預(yù)測(cè)的結(jié)果比較合理，即預(yù)測(cè)今年中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)為38枚比較合理.認(rèn)為第一種解法缺乏對(duì)線性回歸方程[y] =x+中的斜率的估計(jì)值本質(zhì)內(nèi)涵的全面理解，如本題經(jīng)計(jì)算得金牌數(shù)之和y關(guān)于時(shí)間x的線性回歸方程為[y] =38.1x-981.2，其中斜率的估計(jì)值=38.1，也就是說(shuō)解釋變量x每增加一個(gè)單位預(yù)報(bào)變量[y] 增加38.1個(gè)單位，又由于y表示近五屆奧運(yùn)會(huì)中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和，所以估計(jì)第31屆中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)之和將增加38.1枚，所增加的38.1即為今年中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)的估計(jì)值，故預(yù)測(cè)今年中國(guó)代表團(tuán)獲得的金牌數(shù)為38.1≈38枚. 故認(rèn)為第二種解法是正確的，所預(yù)測(cè)的結(jié)果也比較科學(xué)合理.

∈[0.75，1]就認(rèn)為這兩個(gè)變量具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)就可以算它們的回歸方程從而用所求回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè). 從這個(gè)角度上說(shuō)，這堂課上的這道例題是合理的. 但從實(shí)際上看時(shí)間x與金牌數(shù)之和y關(guān)聯(lián)度的確不明顯，即解釋變量x沒(méi)直接影響預(yù)報(bào)變量y，因此有很多人覺(jué)得此題不妥也是有一定道理的.

所以建議在命有關(guān)統(tǒng)計(jì)試題時(shí)在選材時(shí)首先要保證所研究的問(wèn)題本身是一個(gè)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，否則會(huì)影響學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)的認(rèn)識(shí). 我們要知道統(tǒng)計(jì)要考什么，主要考查統(tǒng)計(jì)思想，即局部（樣本）推斷整體（總體），具體地講，就是通過(guò)搜集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)和預(yù)測(cè)（或決策）這個(gè)過(guò)程，來(lái)考查統(tǒng)計(jì)思想. 現(xiàn)在高考主要采取建立統(tǒng)計(jì)模型（回歸分析模型和獨(dú)立檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停┙鉀Q實(shí)際問(wèn)題，來(lái)體現(xiàn)考生對(duì)上述過(guò)程的認(rèn)識(shí)，從而考查利用統(tǒng)計(jì)思想和統(tǒng)計(jì)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法.另外，由于針對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的考查，所以一般都會(huì)與概率結(jié)合，因?yàn)楦怕屎徒y(tǒng)計(jì)都是以隨機(jī)現(xiàn)象作為研究對(duì)象，而且都是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科，只不過(guò)概率是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律演繹的研究，而統(tǒng)計(jì)則是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律歸納的研究，所以?xún)烧呤蔷哂新?lián)系的. 概率是統(tǒng)計(jì)的理論和方法的依據(jù)，統(tǒng)計(jì)則是概率的應(yīng)用. 高考解答題則重點(diǎn)圍繞統(tǒng)計(jì)進(jìn)行考查，并通過(guò)隨機(jī)現(xiàn)象聯(lián)系概率，在概率基礎(chǔ)上進(jìn)一步考查應(yīng)用，并重點(diǎn)對(duì)樣本隨機(jī)發(fā)生的頻率進(jìn)行考查.切記，只考查計(jì)算，而計(jì)算并非是統(tǒng)計(jì)的主要內(nèi)容，只是獲取數(shù)據(jù)或得到模型而采取的一種手段而已.

獨(dú)立性檢驗(yàn)是研究隨機(jī)現(xiàn)象中分類(lèi)變量之間的關(guān)系，如果具有相關(guān)性，就可以進(jìn)一步進(jìn)行回歸分析. 獨(dú)立性檢驗(yàn)的過(guò)程是這樣的：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，先通過(guò)條形圖主要等高圖直觀的觀察分類(lèi)變量之間是否存在明顯的差異，從而初步判斷變量間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，對(duì)有明顯差異的情況，再通過(guò)列聯(lián)表計(jì)算K2的值，然后由K2分布得到所求概率，并根據(jù)所求概率進(jìn)行變量關(guān)系的判斷. 因此在命題選材時(shí)一定注意問(wèn)題的背景以及可能產(chǎn)生的爭(zhēng)議，盡量回避產(chǎn)生爭(zhēng)議的試題素材，把大家的關(guān)注點(diǎn)放在試題所涉及的問(wèn)題上，問(wèn)題的分析與求解盡可能體現(xiàn)應(yīng)用已學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，提高學(xué)生的分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).endprint